新人教版七年级数学下学期第一次月考学情检测培优试卷（含解析）

新人教版七年级数学下学期第一次月考学情检测培优试卷
考试时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第7章相交线与平行线~第8章实数
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1． “的立方根”用数学符号表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（ ）
A．减少 B．不变 C．减少 D．增加
3．（25-26七年级上·山东东营·期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列实数中，属于无理数的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　）
A． B． C． D．
7．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．的度数无法确定
8．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
9．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________．
12．如图，直线截，，其中内错角有__________对．
13．计算的结果是____．
14．如图，已知，则__________°．
15．若，则的值为_____
16．如图，，的平分线交于点B，G是上一点，连结，，的平分线交于点D，连结．给出下面四个结论：
①；②与的面积相等；③与互余的角有2个；④若，则．
上述结论中，正确结论的序号有______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．（6分）如图，已知直线与直线相交于点，，．
(1)则；
(2)若平分，求的度数．
19．（8分） (1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求的值．
(2)已知是的小数部分，求的算术平方根．
20．（8分）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数．阅读下面的解题过程并填空(理由或数学式)．
解：∵，
∴（ ），
∵，
∴，
∵，
∴ （ ），
∴ (两直线平行，同位角相等)，
∵是的平分线，
∴．
21．（10分）观察下列各式：
第1个等式： 第2个等式：
第3个等式： 第4个等式：
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)直接写出第5个等式：______．
(2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______．
(3)利用上述规律化简：．
22．（10分）如图，在中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，且．
(1)求证：；
(2)若且，求的度数．
23．（12分）（1）利用求平方根、立方根解方程：
①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0．
（2）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729
（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　
（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：
①=　； ②=　；③=　．
24．（12分）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______；
(2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数．
答案解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1． “的立方根”用数学符号表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是解题的关键．根据立方根定义表示出的立方根即可．
【详解】解：“的立方根”用数学符号表示为．
故选：A．
2．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（ ）
A．减少 B．不变 C．减少 D．增加
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴减小时，减小，
故选：C．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根，解决此题的关键在于掌握平方根和算术平方根的意义．根据平方根和算术平方根的定义计算即可判断．
【详解】解：A、，故A选项运算错误；
B、，故B选项运算错误；
C、，故C选项运算正确；
D、无意义，故D选项运算错误．
故选：C．
4．如图，直线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过的顶点作直线平行于直线，借助平行线的传递性得到平行于，再利用平行线的性质得到相等的角，将转化为与的和，进而通过角的差求出的度数．
【详解】解：如图，过的顶点作直线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
5．下列实数中，属于无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．
根据无理数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．是分数，属于有理数，故不符合题意；
B．是整数，属于有理数，故不符合题意；
C．是有限小数，属于有理数，故不符合题意；
D．是无理数，故符合题意．
故选：D．
6．如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定、平角定义，利用即可求解．
【详解】解：如图，，，则，
当，，
故选：C．
7．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．的度数无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，垂线定义，过点A作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可．
【详解】解：过点A作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
【答案】A
【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意，对2026逐步进行操作：
∵ ，
∴ ，可得第一次操作结果；
∵，，
∴ ，可得第二次操作结果；
∵，
∴，可得第三次操作结果；
∵，可得第四次操作结果；
因此对2026只需进行4次操作后变为2．
9．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了翻折变换，平行线的性质．根据长方形纸带的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减去即可得的度数．
【详解】解：如图：延长到H，由于纸带是长方形，
∴，
∴，
根据翻折不变性得，
∴，
又∵，
∴，．
在梯形中，，
根据翻折不变性，．
故选：C．
10．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质与判定，过点作，利用平行线性质得到，过点作，利用平行线性质得到 进行求解，即可解题．
【详解】解：过点作，
，
，
，
，
，
，即
过点作，
，，
，
，
，
，
，
；
∴
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________．
【答案】±
【分析】本题考查了算术平方根和平方根．
根据“算术平方根是指一个正数的正的平方根”即可求解．
【详解】解：∵一个正数的算术平方根是，
∴这个正数是，
故这个正数的平方根是．
故答案为：．
12．如图，直线截，，其中内错角有__________对．
【答案】
【分析】本题考查内错角，如果两条直线被第三条直线所截，那么位于截线的两侧，在两条被截直线之间的两个角是内错角．两条直线被第三条直线所截，可形成两对内错角，据此解决即可．
【详解】解：如图，设直线分别交，于点，，
形成的内错角有①与，
②与，
③与，
④与，共对．
故答案为：．
13．计算的结果是____．
【答案】/0.5
【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根，先计算算术平方根和立方根，再根据有理数的加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴原式．
故答案为：．
14．如图，已知，则__________°．
【答案】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，先根据平行线的判定证明，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：38．
15．若，则的值为_____
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出，的值，是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定的取值，再求出的值，最后计算有理数的乘方运算．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得
解此不等式组，得．
将代入，得．
则．
故答案为：．
16．如图，，的平分线交于点B，G是上一点，连结，，的平分线交于点D，连结．给出下面四个结论：
①；②与的面积相等；③与互余的角有2个；④若，则．
上述结论中，正确结论的序号有______．
【答案】①②④
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、余角的定义以及三角形面积的相关知识，解题的关键是掌握平行线的性质．
根据定义和性质判断即可．
【详解】解：的平分线交于点B，的平分线交于点D，
，
，
,
，故①正确；
与等底等高，
与的面积相等，故②正确；
与互余的角有，共4个，故③错误；
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)12
【分析】本题考查了实数的混合运算，正确掌握运算法则是解题的关键．
（1）先化简绝对值，根据立方根，算术平方根的性质进行化简，进行解答即可；
（2）根据立方根，算术平方根的性质进行化简，进行解答即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（6分）如图，已知直线与直线相交于点，，．
(1)则；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查对顶角、邻补角、角平分线的性质，正确的识图和推理是解决问题的关键．
（1）由对顶角的概念可知；
（2）由邻补角及角分线的性质可得，再根据计算即可．
【详解】（1）由题可知，（对顶角相等）；
故答案为：；
（2），
，
平分，
，
．
19．（8分） (1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求的值．
(2)已知是的小数部分，求的算术平方根．
【答案】(1)，；
(2)2
【分析】（1）根据平方根的性质以及立方根的概念，列出方程即可求解；
（2）利用平方根、立方根的概念求出a、b的值，通过估算无理数，可得x的值，进而即可求解
【详解】解：（1）某正数的平方根分别是和，
∴，解得：，
∵的立方根为2，
∴，解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分是2，小数部分为，
∵是的小数部分，
∴，
∴，
∵4的算术平方根为2，即的算术平方根为2．
20．（8分）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数．阅读下面的解题过程并填空(理由或数学式)．
解：∵，
∴（ ），
∵，
∴，
∵，
∴ （ ），
∴ (两直线平行，同位角相等)，
∵是的平分线，
∴．
【答案】垂直的定义；，同旁内角互补，两直线平行；
【分析】先利用垂直的定义得到直角，计算出的度数；再根据同旁内角互补判定，利用平行线的同位角相等得到；最后结合角平分线的定义求出的度数．
【详解】解：∵，
∴(垂直的定义)，
∵，
∴，
∵，
∴(同旁内角互补，两直线平行)，
∴(两直线平行，同位角相等)，
∵是的平分线，
∴．
21．（10分）观察下列各式：
第1个等式： 第2个等式：
第3个等式： 第4个等式：
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)直接写出第5个等式：______．
(2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______．
(3)利用上述规律化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律．
（1）由前几个等式的规律，即可得到答案；
（2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案
（3）根据规律化简，再计算即可．
【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：，
故答案为：；
（2）解：∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
，
∴第n个等式是：，
故答案为：；
（3）解：
．
22．（10分）如图，在中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，且．
(1)求证：；
(2)若且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
（）首先根据，同位角相等，两直线平行得，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明；
（）由题意，易得，利用三角形外角得，即有，结合已知条件，即可得到结果．
【小问1】
证明：∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同旁内角互补，两直线平行）；
【小问2】
解：∵由（）知，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
23．（12分）（1）利用求平方根、立方根解方程：
①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0．
（2）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729
（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　
（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：
①=　； ②=　；③=　．
【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81．
【分析】（1）直接利用解方程的基本步骤求解；
（2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可．
【详解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3;
②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8，
∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1．
（2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27
（ⅱ）①； ②；③．
故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81．
【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．
24．（12分）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______；
(2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）直接根据平行线的性质求解即可；
（2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，，，
∴，，
∴
故答案为：，．
（2）解：由题意可得：，
如图：过E点作，
，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．