2026学年七年级数学下册月考复习卷（第1-3章）--北师大版（含答案）

2026学年七年级数学下册月考复习卷（第1-3章）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分，共30分)
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知与互余，，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图， ABC中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（ ）
A． B． C．6 D．8
5．从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　）
A．成语“刻舟求剑”是随机事件 B．诗句“手可摘星辰”是必然事件
C．成语“水中捞月”是不可能事件 D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件
6．如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（ ）．
A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”（如右图），因此我们把这个图中的三角形叫作“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角解释了二项式的乘方规律，其两腰上都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．例如，此三角形中第六行的6个数1，5，，，5，1，恰好对应着展开式中的系数，则的展开式中的系数是（ ）
A．7 B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11.定义新运算：．例：．若为完全平方公式，且，则的值为___________．
12．若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则它的面积为_____．
13．已知展开式中不含x的一次项，则m的取值为___．
14．如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角，，则与所夹锐角为___．
15．若，代数式的值是____________．
16．著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________．
17．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是 _____________°（用含α的代数式表示）．
18．如图，，A，B分别为直线上两点，且，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且a、b满足．若射线绕点A顺时针先转动18秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动______秒时，射线 与射线互相平行．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算
（1）； （2）．
（3） （4）
20．（10分）化简求值：，其中．
21．（10分）根据下面的推理过程，在括号内写明理由．
如图，点A、B、C在同一条直线上，已知平分，，，求证：．
证明：（已知），
（______）
平分，（已知），
（______）
（已知）
（______）
（______）
22．（10分）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是．
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．
23．（10分）已知：在如下四个图形中，，
（1）图（1）中与的关系满足：，请说明理由．
（2）分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由．
24．（12分）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式．
图1：________；图2：________；图3：________．
（2）通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
例如：如图4，已知，，求的值．
方法一：从“数”的角度 方法二：从“形”的角度
解：， 解：，
，即：， 又，
又 ，
． ．
即． 即．
根据所给材料，解决以下问题：
如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
参考答案
一、选择题
1．A
解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减
∴，故A选项正确
∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加
∴，故B选项错误
∵与不是同类项，不能直接合并
∴无法化简为，故C选项错误
∵幂的乘方，底数不变，指数相乘
∴，故D选项错误
故选：A
2．C
解：∵与互余，，
∴．
3．C
解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算；
B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算；
C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算；
D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算．
4．A
解：，，，
到的距离为，
点是边上的动点，
则的长不可能是．
故选A．
5．C
解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，
∴A. 成语“刻舟求剑”是不可能事件，判断错误；
B. 诗句“手可摘星辰”是不可能事件，判断错误；
C. 成语“水中捞月”是不可能事件，判断正确；
D. 谚语“竹篮打水一场空”是必然事件，判断错误．
故选：C．
6．B
解：根据科学记数法的要求，．
7．A
解：①，不能判断，故①错误；
②，可以判断，不能判断，故②错误；
③，可以判断，不能判断，故③错误；
④，可以判断，故④正确；
综上，正确的有1个．
故选：A．
8．B
解：∵负整数指数幂法则：，零指数幂法则：
∴，
，
，
∵，
∴，
故选：B．
9．D
解：如图，由题意，得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
10．D
解：，
的系数是，
故选：D．
二、填空题
11．
解：由定义，，，
则 ，
∵为完全平方公式，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：．
12．
解：根据三角形面积公式，该三角形的面积为：
；
故答案为：．
13．8
解：展开 ，
得，
∵展开式中不含x的一次项，
∴，
解得，，
故答案为：8 ．
14．75
解：如图所示，设与交于点E，过点E作
由反射性质得，，
∵，
∴，
∵由题意有，
∴，
∴，
∴．
故答案为：75．
15．-2025
解：由 ，得 ．
代入代数式 ．
又∵ ，即 ，
∴ ．
故答案为：．
16．5
解：由题意得
∵正方形与正方形的边长分别为a，b，
∵
∴．
故答案为：5．
17．
解：根据图a，，
，
，
根据图b，，
根据图c，，
故答案为：．
18．或
解：，
，，
设射线再转动秒时，射线、射线互相平行，
如图，射线绕点顺时针先转动18秒后，转动至的位置，，
分两种情况：
①当到达前，
，，
，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得：；
②当到达后，
，，，

，
，
当时，，
此时，，
解得：；
综上，射线再转动或36秒时，射线、射线互相平行．
故答案为：或36．
三、解答题
19．
解：（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
20．
解：∵，
∴，，
∴，．
原式
．
当，时，
原式．
21．
解：证明：（已知），
（垂直的定义）,
平分，（已知），
（角平分线的定义）,
（已知）,
（等角的余角相等）,
（内错角相等，两直线平行）,
故答案为：垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 ．
22．
解：（1）解：红球的个数为个，黄球的个数为个，
蓝球个数为个，
答：盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个；
（2）解：游戏不公平，理由为：
列表为：
红1 红2 黄 蓝
红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1 蓝，红1
红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2 蓝，红2
黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄 蓝，黄
蓝 红1，蓝 红2，蓝 黄，蓝 蓝，蓝
由表格可知共有16种等可能结果，甲胜出的结果数有6种，乙胜出的结果数有10种，
故甲胜的概率为，乙胜的概率为，
∵，
∴游戏不公平．
23．
解：（1）解：过点作 ，
∵，
∴，
，，
两式相加得∶ ，
即；
（2）解：如图（2），过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
即 ；
如图（3），过点作，设交点为，
，
，
，
，，
，
即；
如图（4），过点作，
，
∴，
，
，
即．
24．
解：（1）解：
；
（2）解：设，，
则．
因为，
即，
，
即阴影部分的面积为12．