八年级数学下册试题 20.1 勾股定理及其应用 小节习题--人教版（含答案）

20.1《勾股定理及其应用》小节习题
一、单选题
1．下列三组数中，是勾股数的是（　　）
A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6
2．如图，在 ABC中，，，，垂足为，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
3．如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图， ABC中，于D，垂直平分， 交于F， 交于E，， 若，， 则 ABC的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　）
A．64 B．54 C．108 D．48
7．如图，在中，平分交于点，作交于点．若则的面积为（ ）
A． B． C．12 D．
二、填空题
8．如图，在 ABC中，，是上一点，连接，若，，平分，则的长为___________．
9．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺．
10．如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号）
11．如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形时，的长为_____．
12．如图，在等边 ABC中，平分，，分别为，上一点，且，连结，．当时，则的最小值是_____．
三、解答题
13．如图，在 ABC中，于点D，E为上一点，连接交于点F，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
14．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：．
(1)如图1，已知：．求证．
下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整：
证明：四个直角三角形全等，且，
正方形的边长为　　　　　，
，且（等面积法），
　　　　　+　　　　　=a2+b2
．
(2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：．
(3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积．
15.（1）【阅读材料】
如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________；
（2）【类比探究】
如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系．
（3）【应用结论】
如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证．
16.如图，我们运用图1中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即可得到，由此推导出一个重要的结论，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．
(1)如图2，它由两个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请用其中面积的不同表示方法证明勾股定理．
(2)观察图3，分解因式______；若、、为实数，，，利用上述结论求的值．
参考答案
一、单选题
1．C
解：对选项A，∵，，，
∴A不是勾股数；
对选项B，∵，，，
∴B不是勾股数；
对选项C，∵，，
∴，且三个数均为正整数，
∴C是勾股数；
对选项D，∵，，，
∴D不是勾股数．
2．A
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
3．B
解：如图，圆柱侧面展开图是长方形，
长方形的长为圆柱的底面周长为，宽为圆柱的高为，
根据勾股定理得：
，
根据两点之间线段最短，可得这条彩带的最小长度是为．
4．A
解：在中，设，
，
由勾股定理可得，则，
则
，
，
，
，即，
则，
，
则，即，
，
故选：A．
5．B
解：∵垂直平分，，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ABC的周长为
故选：B．
6．B
解：由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴每个直角三角形的面积为，
故选：B．
7．A
解：∵BD平分，
，
∵，
，，
，
，
如图，过作于，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A
二、填空题
8．
解：如图，过点作，垂足为，
平分，，
，
在中，，，
，
设，
， 即，
，即，
．
9．
解：如下图所示，
由题意可知,尺，
设尺，则尺，
在中，，
，
解得：，
尺，
答：水深尺．
10．
解：先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则，
所以，
根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程，
在中，，根据勾股定理得，
故答案为：．
11．或
解：当时，
∵将沿直线折叠，点A的对应点为F．
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在中，．
∴，
∴，
当时，点F与点B重合，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：或．
12．
解：如图，过点作，使，连接、，
∴， ∵是等边三角形，∴，，
∴，∵平分，∴，
∴，又∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴当、、三个点在同一直线上时，的值最小，即有最小值，最小值为，
在中，，
∴，
∴的最小值是．
三、解答题
13．（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
由勾股定理得：，
．
14．（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，，
∴正方形的边长为，
∵，且（等面积法），
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
，
∴，
又∵，，
∴；
（3）解：解：由题意，如下图：
∵外围轮廓的总长度为，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
将，代入可得，
，
解得，
∴小正方形的边长为，
∴风车的面积为：．
15．（1）解：∵长方形，
∴；
在中，，
由勾股定理得：；
（2）解：①∵，，
，
，
在中，，
由勾股定理得：；
∵对称，
∴垂直平分，
设与交于点，则，
∵，即：，
∴，
∴；
②设平移中的三角形为，如图：
由对称点性质可知，．，
由平移性质可知，．
①当点落在上时，
，
，
，
，即；
②当点落在上时，
，
，
，
，
∵，
∴，
为等腰三角形，
，
，即．
16．（1）解：，，解得，
如图1，过点C作轴于点H，
，
、，
，
在和中，，
，
、，
，
点C坐标为；
（2）解：如图2，过点C作轴于点H，同理（1）可证明：、，设点、，
、E为的中点，
，，
、，，
，，
，解得，，
点G坐标为；
（3），证明过程如下：证明：如图3，过点C作轴于点M，在上取一点N，使得，连接，
同（1）可证明：，
、，、，
是等边三角形，
、，，
是等边三角形，
、，
在和中，，
，、，，
轴，
，
，
．
17.解：（1）图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
由面积的不同算法可得乘法公式：；
故答案为：
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（3）由（2）得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18.（1）证明：如图，连接，
∵
（2）解：由图形可知，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在长方形中，，．
(1)则的长为______；
(2)如图2，，垂足是E，作点关于的对称点F，连接，．
①若连接，试求的长；
②若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段、上时，请求出相应的m的值．
16．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，已知，，且，交y轴于E点．
(1)如图1，若，求C点坐标；
(2)如图2，A，B两点分别在x轴，y轴正半轴上，E为的中点，交x轴于G点，连接，若，求G点的坐标；
(3)如图3，A在x轴的负半轴上，以为边在的右侧作等边，连接，当时，请探究线段、、之间的数量关系，并证明．