2026年中考数学第一轮复习分层练专题二 概率（含解析）

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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第八章 统计与概率
专题二 概率
命题点1事件的分类
1．[2025年山西吕梁模拟]在下列事件中，不可能事件是( )
A.投掷一枚硬币，正面向上 B.从只有红球的袋子中摸出黄球
C.任意画一个圆，它是轴对称图形 D.射击运动员射击一次，命中靶心
2．[2025年山西太原模拟题]如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下，下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是( )
A.只闭合1个开关 B.只闭合2个开关 C.只闭合3个开关 D.闭合4个开关
3．[2025年山西大同模拟]下列事件中,属于不可能事件的是( )
A.经过红绿灯路口,遇到绿灯 B.射击运动员射击一次,命中靶心
C.班里的两名同学的生日是同一天 D.从一个只装有白球的袋中摸球,摸出黄球
4．[2025年山西晋中模拟]校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.
(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是( )
A.必然事件B.随机事件C.不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
命题点2频率与概率
1．[2025年山西中考真题]如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是______________.
2．[2023年山西中考真题]中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是____________________.
3．（22025山西晋中模拟）博物馆是保护和传承人类文明的重要殿堂.小华了解到我们市区内有晋中市博物馆、晋之源壁画艺术博物馆、山西中医药大学中医药博物馆、山西流金岁月传媒博物馆，他想从这四所博物馆中任选两所去感受历史温度，领略晋中文化，则他选去晋中市博物馆和晋之源壁画艺术博物馆的概率是________.
4．[2025届·山西太原·模拟考试联考]阿尔法狗可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师用人类围棋对弈分别训练了三只阿尔法狗，简记为甲、乙、丙.测试阶段让某围棋手与甲、乙、丙中的两只阿尔法狗各比赛一局，则该围棋手会与甲比赛的概率为________________.
5．[2025届·山西·一模]八路军太行纪念馆，是全国中小学生研学实践教育基地．某校有5000名学生，随机调查了200名学生，其中有90名学生去过八路军太行纪念馆．在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是____________．
6．[2025届·山西太原·模拟考试]2025年山西省中考体育新增的球类项目有篮球、足球、排球（学生自选一项），九年级的小明、小颖同学决定自己选择其中一种球类参加中考体育考试，他们同时选中篮球的概率为__________________.
7．[2024年山西中考真题]一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是( )
A. B. C. D.
8．[2025届·山西太原·一模]山西是具有光荣传统的革命老区，也是红色文化资源的重要聚集地.为追忆历史、缅怀先烈，假期学校准备组织学生去山西国民师范旧址革命活动纪念馆、徐向前纪念馆、刘胡兰纪念馆参观学习，由于时间有限，每个学生只能选择其中一个纪念馆参观学习，则小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的概率是( )
A. B. C. D.
9．社会主义核心价值观是社会主义核心价值体系的内核，其三个层面分别是国家层面、社会层面和公民个人层面.国家层面的价值目标是富强、民主、文明、和谐；社会层面的价值取向是自由、平等、公正、法治；公民个人层面的价值准则是爱国、敬业、诚信、友善.小文将国家层面的4组词写在卡片上，并将它们背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，放回后摇匀，然后再抽取一张，两次抽到的卡片恰好是“民主”和“文明”的概率是( )
A. B. C. D.
10．[2025届·山西大同·二模]如图，有3张卡片，它们除正面图案外其余都相同.把这3张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小义从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图案是“化学变化”的概率是( )
A. B. C. D.
11．[2025届·山西运城·一模]共享经济已经进入人们的生活.小明收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）.现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是( )
A. B. C. D.
12．[2025春·九年级·山西·期中]在一个不透明的袋子中,装有3个红球和若干个黑球,每个球除颜色外都相同,若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为,则袋中黑球的个数为( )
A.12 B.9 C.6 D.3
命题点3概率的计算
1．[2025年山西太原模拟]京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等.现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同.将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张.利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率.
2．[2025山西吕梁模拟]我市有A,B,C,D,E五个景区很受游客喜爱,一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是________________人,________________
(2)若该小区有居民1200人,试估计去B地旅游的居民约有多少人？
(3)小军同学已去过E地旅游,暑假期间计划与父母从A,B,C,D四个景区中,任选两个去旅游,求选到A,C两个景区的概率.（要求画树状图或列表求概率）
3．[2025年山西晋中模拟]某班开展主题为“我爱山西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式.同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同.
(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______________；
(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向.将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率.
4．[2025年山西长治模拟]校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.
(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是( )
A.必然事件B.随机事件C.不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
5．[2025山西运城模拟]李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A.转移注意力，B.合理宣泄，C.自我暗示，D.放松训练.
（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是____________；
（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率.
6．（2025山西晋城模拟）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
最高气温与需求量统计表
最高气温T（单位：℃） 需求量（单位：杯）
200
250
400
（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元.
7．(2025山西吕梁模拟)某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件。用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）。已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品.
（1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率;
（2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么
1．假如鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同.如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为( )
A. B. C. D.
2．山西是具有光荣传统的革命老区，也是红色文化资源的重要聚集地.为追忆历史、缅怀先烈，假期学校准备组织学生去山西国民师范旧址革命活动纪念馆、徐向前纪念馆、刘胡兰纪念馆参观学习，由于时间有限，每个学生只能选择其中一个纪念馆参观学习，则小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的概率是( )
A. B. C. D.
3．如图，有4张分别印有Q版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：A哪吒、B敖丙、C太乙真人、D无量仙翁.现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“A哪吒”、“B敖丙”的概率为( )
A. B. C. D.
4．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562
“有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是( )
A.0.82 B.0.78 C.0.77 D.0.76
5．学校计划举行“文明环保，从我做起”征文比赛.甲班的2名同学A和B与乙班的2名同学C和D在预赛中成绩优秀.
(1)若从4名同学中选取1名同学参加学校决赛，则同学C被选中的概率是____________；
(2)学校决定从4名同学中随机选取2名同学参加决赛，请用画树状图或列表的方法，求选中的2名同学恰好来自同一个班级的概率.
6．如图，这是某商场的地下停车场，现仅剩下“082”“083”“084”“085”四个依次相邻的车位.
(1)若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“085”号车位是__________事件.（填“随机”“必然”或“不可能”）
(2)分别记这四个车位为A，B，C，D，小明和小红同时来到该地下停车场停车，用画树状图法或列表法，求两人停在相邻车位的概率.
7．百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注.现有甲、乙、丙三款聊天机器人.
(1)若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是__________；
(2)小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评.求两人选择的聊天机器人互不相同的概率.
8．笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开.松鼠要先经过第一道门（A或B），再经过第二道门（C或D或E）才能出去.
(1)松鼠经过第一道门时，从B口出去的概率是____________；
(2)请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过E门出去的概率.
9．如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光.
(1)求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率.
(2)求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率.
10．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是__________.
1．【项目主题】估计的值
【项目实施】
步骤一：画一个边长为2的正六边形，再画出它的内切圆（正六边形内切圆的直径等于正六边形的对边距离，正六边形对边距离为，即内切圆半径为）.设内切圆与正六边形的面积比值为p，求p的值.
步骤二：随机撒1000粒芝麻到正六边形及其内切圆的纸上，统计落在圆内的芝麻数为900，计算频率（记为q）.
落在正六边形内的芝麻粒数/粒 落在内切圆内的芝麻粒数/粒 频率q
1000 900
步骤三：利用p与q的关系，估计的值.
(1)①__________；__________；
②当取1.7时，__________（结果保留整数）；
【项目反思】若想提高估计精度，给出一条合理化建议.
(2)建议：_____.
2．【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案.
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面.喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积.
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.
【探索发现】
(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______.
(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置.与(1)中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由.
(3)如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率.已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时的值.
【问题解决】
(4)该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可）
3．如图，将半径为的圆形纸片，按如下方式折叠，若和都经过圆心O，使之落在阴影部分的概率为__________.
1．下列成语所描述的事件为随机事件的是( )
A.张冠李戴 B.水中捞月 C.瓮中捉鳖 D.拔苗助长
2．下列事件：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；②足球队员在射门时，球射入球门内；③将抛物线沿x轴翻折得到的抛物线经过原点，其中是随机事件的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
3．山西是具有光荣传统的革命老区，也是红色文化资源的重要聚集地.为追忆历史、缅怀先烈，假期学校准备组织学生去山西国民师范旧址革命活动纪念馆、徐向前纪念馆、刘胡兰纪念馆参观学习，由于时间有限，每个学生只能选择其中一个纪念馆参观学习，则小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的概率是( )
A. B. C. D.
4．雨季即将来临，小林和小红决定报名成为抗涝志愿者，志愿者进行随机分配，参与A（淤泥清理），B（垃圾搬运），C（街道冲洗），D（消毒灭杀）几种不同的工作中，则小林和小红恰好被分到同一组的概率是( )
A. B. C. D.
5．3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是( )
A. B. C. D.
6．图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘.现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动.随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是( )
A. B. C. D.0
7．小李广花荣是《水浒传》中的108将之一，有着高超的箭术.如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为.将一支箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为( )
A. B. C. D.
8．如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为________________.
9．在一个不透明的盒子里装有6个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.2左右，则估计盒子中大约有_______________个白色乒乓球.
10．一个不透明的布袋里装有2个红球,1个白球,它们除颜色外其余都相同．
(1)摸出1个球,记下颜色后不放回,再摸出1个球,求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）．
(2)现再将n个白球放入布袋,搅匀后,使摸出1个球是白球的概率为,求n的值．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第八章 统计与概率
专题二 概率（解析版）
命题点1事件的分类
1．[2025年山西吕梁模拟]在下列事件中，不可能事件是( )
A.投掷一枚硬币，正面向上 B.从只有红球的袋子中摸出黄球
C.任意画一个圆，它是轴对称图形 D.射击运动员射击一次，命中靶心
答案：B
解析：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；
选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；
选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；
选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；
综上，只有选项B符合不可能事件的定义，
故选：B.
2．[2025年山西太原模拟题]如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下，下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是( )
A.只闭合1个开关 B.只闭合2个开关 C.只闭合3个开关 D.闭合4个开关
答案：B
解析：A选项，只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；B选项，只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；C选项，只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；D选项，闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意.
故选B.
3．[2025年山西大同模拟]下列事件中,属于不可能事件的是( )
A.经过红绿灯路口,遇到绿灯 B.射击运动员射击一次,命中靶心
C.班里的两名同学的生日是同一天 D.从一个只装有白球的袋中摸球,摸出黄球
答案：D
解析：A、经过红绿灯路口,遇到绿灯是随机事件,不符合题意；
B、射击运动员射击一次,命中靶心是随机事件,不符合题意；
C、班里的两名同学的生日是同一天是随机事件,不符合题意；
D、从一个只装有白球的袋中摸球,摸出黄球是不可能事件,符合题意；
故选D.
4．[2025年山西晋中模拟]校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.
(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是( )
A.必然事件B.随机事件C.不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
答案：(1)B
(2)
解析：(1)∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能，
∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件.
故选B.
(2)“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，
根据题意列表如下：
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2.
所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为.
命题点2频率与概率
1．[2025年山西中考真题]如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是______________.
答案：
解析：画出树状图如下：
由图知，所有可能的结果数为4，其中回到格子A的可能结果数为2，
则回到格子A的概率为；
故答案为：.
2．[2023年山西中考真题]中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是____________________.
答案：
解析：将《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别用A，B，C，D表示，根据题意列表如下：
A B C D
A (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C)
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A和C的结果有2种，故所求概率是.
3．（22025山西晋中模拟）博物馆是保护和传承人类文明的重要殿堂.小华了解到我们市区内有晋中市博物馆、晋之源壁画艺术博物馆、山西中医药大学中医药博物馆、山西流金岁月传媒博物馆，他想从这四所博物馆中任选两所去感受历史温度，领略晋中文化，则他选去晋中市博物馆和晋之源壁画艺术博物馆的概率是________.
答案：
解析：将“晋中市博物馆”“晋之源壁画艺术博物馆”“山西中医药大学中医药博物馆”“山西流金岁月传媒博物馆”四个专题展览分别记作A、B、C、D，
列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表知，共有12种等可能结果，其中同时选取“晋中市博物馆”和“晋之源壁画艺术博物馆”专题展览的有2种结果，
所以同时选取“晋中市博物馆”和“晋之源壁画艺术博物馆”专题展览的概率为，
故答案为：.
4．[2025届·山西太原·模拟考试联考]阿尔法狗可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师用人类围棋对弈分别训练了三只阿尔法狗，简记为甲、乙、丙.测试阶段让某围棋手与甲、乙、丙中的两只阿尔法狗各比赛一局，则该围棋手会与甲比赛的概率为________________.
答案：
解析：根据题意列表如下，
甲 乙 丙
甲 乙甲 丙甲
乙 甲乙 丙乙
丙 甲丙 乙丙
共有6种等可能结果，其中含有甲的有4种情况，
∴该围棋手会与甲比赛的概率为
故答案为：.
5．[2025届·山西·一模]八路军太行纪念馆，是全国中小学生研学实践教育基地．某校有5000名学生，随机调查了200名学生，其中有90名学生去过八路军太行纪念馆．在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是____________．
答案：
解析：随机调查了200名学生，其中有90名学生去过八路军太行纪念馆，
在该校随机调查一名学生，他去过八路军太行纪念馆的概率约是，
故答案为：．
6．[2025届·山西太原·模拟考试]2025年山西省中考体育新增的球类项目有篮球、足球、排球（学生自选一项），九年级的小明、小颖同学决定自己选择其中一种球类参加中考体育考试，他们同时选中篮球的概率为__________________.
答案：
解析：将篮球、足球、排球考试项目分别记为，画出树状图如下：
由图可知，小明和小颖分别随机选择一个项目共有9种等可能的结果，其中，他们选择同时选中篮球的结果有1种，
则他们选择同一个项目的概率为，
故答案为：.
7．[2024年山西中考真题]一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：
8．[2025届·山西太原·一模]山西是具有光荣传统的革命老区，也是红色文化资源的重要聚集地.为追忆历史、缅怀先烈，假期学校准备组织学生去山西国民师范旧址革命活动纪念馆、徐向前纪念馆、刘胡兰纪念馆参观学习，由于时间有限，每个学生只能选择其中一个纪念馆参观学习，则小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的概率是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：分别用A表示山西国民师范旧址革命活动纪念馆，B表示徐向前纪念馆，C表示刘胡兰纪念馆，列出表格如下：
小明小花 A B C
A
B
C
由表格可知，共有9种等可能的情况，其中小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的情况有3种，
∴P小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习.
故选：B
9．社会主义核心价值观是社会主义核心价值体系的内核，其三个层面分别是国家层面、社会层面和公民个人层面.国家层面的价值目标是富强、民主、文明、和谐；社会层面的价值取向是自由、平等、公正、法治；公民个人层面的价值准则是爱国、敬业、诚信、友善.小文将国家层面的4组词写在卡片上，并将它们背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，放回后摇匀，然后再抽取一张，两次抽到的卡片恰好是“民主”和“文明”的概率是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：列表如下，
富强 民主 文明 和谐
富强 富强，富强 民主，富强 文明，富强 和谐，富强
民主 富强，民主 民主，民主 文明，民主 和谐，民主
文明 富强，文明 民主，文明 文明，文明 和谐，文明
和谐 富强，和谐 民主，和谐 文明，和谐 和谐，和谐
共有16种等可能结果，其中两次抽到的卡片恰好是“民主”和“文明”的有2种，
两次抽到的卡片恰好是“民主”和“文明”的概率为
故选：B.
10．[2025届·山西大同·二模]如图，有3张卡片，它们除正面图案外其余都相同.把这3张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小义从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图案是“化学变化”的概率是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：铁器生锈和陶瓷烧制2张是化学变化，
将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，
则抽取的卡片正面图案描述的变化是“化学变化”的概率是，
故选：D.
11．[2025届·山西运城·一模]共享经济已经进入人们的生活.小明收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）.现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：根据题意画树状图，如下：
由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，
所以
故选：D
12．[2025春·九年级·山西·期中]在一个不透明的袋子中,装有3个红球和若干个黑球,每个球除颜色外都相同,若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为,则袋中黑球的个数为( )
A.12 B.9 C.6 D.3
答案：B
解析：由题意可得,
黑球的个数为：
,
故选：B.
命题点3概率的计算
1．[2025年山西太原模拟]京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等.现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同.将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张.利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率.
答案：
解析：画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果数有6种，
∴抽取到的两张卡片中有“生”的概率是.
2．[2025山西吕梁模拟]我市有A,B,C,D,E五个景区很受游客喜爱,一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是________________人,________________
(2)若该小区有居民1200人,试估计去B地旅游的居民约有多少人？
(3)小军同学已去过E地旅游,暑假期间计划与父母从A,B,C,D四个景区中,任选两个去旅游,求选到A,C两个景区的概率.（要求画树状图或列表求概率）
答案：(1)200；35
(2)420人
(3)
解析：(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是（人）,
,
；
(2)估计去B地旅游的居民约有（人）；
(3)画树状图如下：
由树状图知,共有12种等可能结果,其中选到A,C两个景区的有2种结果, 所以选到A,C两个景区的概率为.
3．[2025年山西晋中模拟]某班开展主题为“我爱山西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式.同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同.
(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______________；
(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向.将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率.
答案：(1)
(2)
解析：(1)依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，
∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为，
故答案为：.
(2)依题意，画树状图如下所示：
∴一共有25种可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有20种，
∴这两个小组研究方向不同的概率.
4．[2025年山西长治模拟]校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.
(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是( )
A.必然事件B.随机事件C.不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
答案：(1)B
(2)
解析：(1)∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能，
∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件.
故选B.
(2)“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，
根据题意列表如下：
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2.
所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为.
5．[2025山西运城模拟]李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A.转移注意力，B.合理宣泄，C.自我暗示，D.放松训练.
（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是____________；
（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率.
答案：（1）
（2）图见解析，
解析：解：（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，
小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为.
6．（2025山西晋城模拟）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
最高气温与需求量统计表
最高气温T（单位：℃） 需求量（单位：杯）
200
250
400
（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元.
答案：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于30℃的天数为.
（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为.
（3）（元）.
答：这一天销售这种鲜奶所获得的利润为700元.
解析：
7．(2025山西吕梁模拟)某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件。用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）。已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品.
（1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率;
（2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么
答案：解：（1）因为,
所以4月份生产的该产品抽样检测的合格率是.
（2）3月份生产的产品中，不合格的件数是
4月份生产的产品中，不合格的件数是.
因为，所以估计4月份生产的产品中不合格的件数多.
解析：
1．假如鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同.如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：根据题意画图如下：
共8种等可能的情况，三只雏鸟中恰有两只雄鸟有3种情况，
∴雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为
故选：B.
2．山西是具有光荣传统的革命老区，也是红色文化资源的重要聚集地.为追忆历史、缅怀先烈，假期学校准备组织学生去山西国民师范旧址革命活动纪念馆、徐向前纪念馆、刘胡兰纪念馆参观学习，由于时间有限，每个学生只能选择其中一个纪念馆参观学习，则小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的概率是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：分别用A表示山西国民师范旧址革命活动纪念馆，B表示徐向前纪念馆，C表示刘胡兰纪念馆，列出表格如下：
小明小花 A B C
A
B
C
由表格可知，共有9种等可能的情况，其中小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的情况有3种，
∴P小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习.
故选：B
3．如图，有4张分别印有Q版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：A哪吒、B敖丙、C太乙真人、D无量仙翁.现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“A哪吒”、“B敖丙”的概率为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：画出树状图，
共有12种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“A哪吒”、“B敖丙”的结果数为2，
∴两次取出的2张卡片中图案为“A哪吒”、“B敖丙”的概率为，
故选：A.
4．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562
“有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是( )
A.0.82 B.0.78 C.0.77 D.0.76
答案：B
解析：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78.
故选：B.
5．学校计划举行“文明环保，从我做起”征文比赛.甲班的2名同学A和B与乙班的2名同学C和D在预赛中成绩优秀.
(1)若从4名同学中选取1名同学参加学校决赛，则同学C被选中的概率是____________；
(2)学校决定从4名同学中随机选取2名同学参加决赛，请用画树状图或列表的方法，求选中的2名同学恰好来自同一个班级的概率.
答案：(1)；
(2)
解析：(1)从4名同学中选取1名同学参加学校决赛，则同学C被选中的概率是；
(2)列表如下：
A B C D
A
B
C
D
所有的等可能的结果有12种，2名同学恰好来自同一个班级的结果数为：4种，
所以选中的2名同学恰好来自同一个班级的概率为：
6．如图，这是某商场的地下停车场，现仅剩下“082”“083”“084”“085”四个依次相邻的车位.
(1)若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“085”号车位是__________事件.（填“随机”“必然”或“不可能”）
(2)分别记这四个车位为A，B，C，D，小明和小红同时来到该地下停车场停车，用画树状图法或列表法，求两人停在相邻车位的概率.
答案：(1)随机
(2)
解析：(1)若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“085”号车位是随机事件.
故答案为：随机；
(2)根据题意，画出树状图如下，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人停在相邻车位的结果有6种，
所以，两人停在相邻车位的概率为.
7．百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注.现有甲、乙、丙三款聊天机器人.
(1)若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是__________；
(2)小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评.求两人选择的聊天机器人互不相同的概率.
答案：(1)抽到丙款的概率是
(2)两人选择的聊天机器人互不相同的概率是
解析：(1)∵有甲、乙、丙三款聊天机器人，
∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是；
(2)画树状图，如图，
共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种，
∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是.
8．笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开.松鼠要先经过第一道门（A或B），再经过第二道门（C或D或E）才能出去.
(1)松鼠经过第一道门时，从B口出去的概率是____________；
(2)请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过E门出去的概率.
答案：(1)
(2)
解析：(1)∵松鼠经过第一道门时，要么选择A，要么选择B，
∴松鼠经过第一道门时，从B口出去的概率是，
故答案为：
(2)画树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中松鼠经过E门出去的情况有2种，
∴松鼠经过E门出去的概率是
9．如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光.
(1)求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率.
(2)求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率.
答案：(1)
(2)
解析：(1)共有四个开关A，B，C，D，
当闭合一个开关时，单独闭合A时小灯不亮，单独闭合B时小灯不亮，单独闭合C时小灯不亮，单独闭合D时小灯亮，
∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是；
(2)闭合其中两个开关时，出现可能的结果如图所示，
共有12种可能结果，其中小灯泡发光的是，，，，，，共6种，
∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是.
10．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是__________.
答案：
解析：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种，
和是偶数的概率为，
故答案为：.
1．【项目主题】估计的值
【项目实施】
步骤一：画一个边长为2的正六边形，再画出它的内切圆（正六边形内切圆的直径等于正六边形的对边距离，正六边形对边距离为，即内切圆半径为）.设内切圆与正六边形的面积比值为p，求p的值.
步骤二：随机撒1000粒芝麻到正六边形及其内切圆的纸上，统计落在圆内的芝麻数为900，计算频率（记为q）.
落在正六边形内的芝麻粒数/粒 落在内切圆内的芝麻粒数/粒 频率q
1000 900
步骤三：利用p与q的关系，估计的值.
(1)①__________；__________；
②当取1.7时，__________（结果保留整数）；
【项目反思】若想提高估计精度，给出一条合理化建议.
(2)建议：_____.
答案：(1)①，0.9，②3
(2)增加随机撒芝麻的数量
解析：(1)①如图，连接，，过点O作，
∵正六边形由6个大小相同的等边三角形组成，其边长为2，
∴
又∵的半径为，为的半径，
∴，
∴，
，
∴，
由题意知，，
故答案为：，0.9.
②∵，
∴，
当取1.7时，得，
解得，
故答案为：3.
(2)建议：增加随机撒芝麻的数量，
因为当随机撒的芝麻数量越多时，
落在圆内和正六边形内的芝麻数的频率就越接近理论上的概率，
这样根据p与q的关系估计出的值就会更精确，
故答案为：增加随机撒芝麻的数量.
2．【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案.
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面.喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积.
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.
【探索发现】
(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______.
(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置.与(1)中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由.
(3)如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率.已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时的值.
【问题解决】
(4)该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可）
答案：(1)
(2)不能，理由见解析
(3)；当y取得最小值时
(4)9
解析：(1)当喷洒半径为时，喷洒的圆面积.
正方形草坪的面积.
故喷洒覆盖率.
(2)对于任意的n，喷洒面积，
而草坪面积始终为.
因此，无论n取何值，喷洒覆盖率始终为.
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用.
(3)如图所示，连接，
要使喷洒覆盖率，即要求，
其中s为草坪面积，k为喷洒面积.
∴，，，都经过正方形的中心点O，
在中，，，
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴当时，y取得最小值，此时
解得：
(4)由(3)可得，当的面积最小时，
此时圆为边长为的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为
而草坪的边长为，，
即将草坪分为9个正方形，将半径为的
自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率
3．如图，将半径为的圆形纸片，按如下方式折叠，若和都经过圆心O，使之落在阴影部分的概率为__________.
答案：
解析：作于点D，延长线交于点E，连接，
∵弓形折叠后为弓形过圆心，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
将弓形绕着点O顺时针旋转得弓形，弓形绕着点O逆时针旋转得弓形，
∴阴影部分的面积，
∵，
∴落在阴影部分的概率为，
故答案为：.
1．下列成语所描述的事件为随机事件的是( )
A.张冠李戴 B.水中捞月 C.瓮中捉鳖 D.拔苗助长
答案：A
解析：A、张冠李戴,是随机事件,故本选项符合题意；
B、水中捞月,是不可能事件,故本选项不符合题意；
C、瓮中捉鳖,是必然事件,故本选项不符合题意；
D、拔苗助长,是不可能事件,故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列事件：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；②足球队员在射门时，球射入球门内；③将抛物线沿x轴翻折得到的抛物线经过原点，其中是随机事件的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
答案：A
解析：∵事件①：掷硬币正面朝上，结果不确定，是随机事件；
∵事件②：足球射门进球，结果不确定，是随机事件；
∵事件③：翻折后抛物线为，代入恒成立，是必然事件；
∴随机事件的是①②，
故选：A.
3．山西是具有光荣传统的革命老区，也是红色文化资源的重要聚集地.为追忆历史、缅怀先烈，假期学校准备组织学生去山西国民师范旧址革命活动纪念馆、徐向前纪念馆、刘胡兰纪念馆参观学习，由于时间有限，每个学生只能选择其中一个纪念馆参观学习，则小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的概率是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：分别用A表示山西国民师范旧址革命活动纪念馆，B表示徐向前纪念馆，C表示刘胡兰纪念馆，列出表格如下：
小明小花 A B C
A
B
C
由表格可知，共有9种等可能的情况，其中小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的情况有3种，
∴P小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习.
故选：B
4．雨季即将来临，小林和小红决定报名成为抗涝志愿者，志愿者进行随机分配，参与A（淤泥清理），B（垃圾搬运），C（街道冲洗），D（消毒灭杀）几种不同的工作中，则小林和小红恰好被分到同一组的概率是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根据题意，作出列表如下，
小红小林 A B C D
A
B
C
D
由列表可知，共有16种等可能的结果，其中小林和小红恰好被分到同一组的情况有4种，
∴小林和小红恰好被分到同一组的概率.
故选：A.
5．3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，
小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为，
故选：C.
6．图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘.现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动.随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是( )
A. B. C. D.0
答案：B
解析：由于、、、，
则掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9，
共有4种情况，
当数字之和为6时，棋子跳动到点A处，
当数字之和为7时，棋子跳动到点B处，
当数字之和为8时，棋子跳动到点C处，
当数字之和为9时，棋子跳动到点D处，
因此，棋子跳动到点C处的概率是，
故选：B.
7．小李广花荣是《水浒传》中的108将之一，有着高超的箭术.如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为.将一支箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：设圆的直径为R，则正方形的对角线长为，
∴圆的面积为，正方形的面积为，
∴箭穿过正方形孔的概率为，
故选：B.
8．如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为________________.
答案：4.2
解析：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为，
则不规则图案的面积为：，
故答案为：4.2.
9．在一个不透明的盒子里装有6个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.2左右，则估计盒子中大约有_______________个白色乒乓球.
答案：24
解析：设白色乒乓球有x个，则总球数为个，
由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，
∴估计盒子中大约有24个白色乒乓球，
故答案为：24.
10．一个不透明的布袋里装有2个红球,1个白球,它们除颜色外其余都相同．
(1)摸出1个球,记下颜色后不放回,再摸出1个球,求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）．
(2)现再将n个白球放入布袋,搅匀后,使摸出1个球是白球的概率为,求n的值．
答案：(1)
(2)
解析：(1)树状图如下：
一共有6种等可能的结果,两次摸出的球恰好颜色不同的有2种,
两次摸出的球恰好颜色不同的概率为：．
(2)由题意得：
解得：．
经检验,是所列方程的解,且符合题意,
．
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