2025-2026学年河北衡水中学高三下学期数学3月综合素质评价二试卷（含答案）

2025-2026 学年度高三年级下学期综合素质评价二 数学试卷
考试时间: 120 分钟; 试卷满分: 150 分
注意事项:
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷 (共 58 分)
一、单选题(共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分)
1. 已知集合 ,则 ( )
A.(0,3) B.
C. D.(-1,3)
2. 已知等比数列 满足 ,则 的公比为 ( )
A. -2 B. -3 C. 2 D. 3
3. 已知随机变量 ,且 ,则当 时, 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 国庆假期,某人计划去 五个不同的景点游览. 在确定景点的游览顺序时,要求 在 之前, 与 相邻,则不同的游览顺序共有( )
A. 18 种 B. 24 种 C. 48 种 D. 60 种
5. 已知双曲线 的右焦点为 ,半焦距为 . 过 作 的一条渐近线的垂线,垂足为 ,且 的面积为 ,则 的离心率为 ( )
A. 2 B.2或 C.2或 D.2或
6. 已知定义域为 的函数 满足 ,且 为奇函数,则一定有( )
A. 6 为 的一个周期 C. D.
7. 如图,将两个相同大小的圆柱垂直放置,两圆柱的底面直径与高相等,且中心重合,它们所围成的几何体称为“牟合方盖”,已知两圆柱的高为 2 ,则该“牟合方盖”内切球的体积为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知实数 ,且 ,则( )
A. B. C. D.
二、多选题 (每题 6 分, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有错选的得 0 分, 共 18 分)
9. 已知复数 满足 ,则下列关于复数 的结论正确的是 ( )
A.
B. 的虚部为
C. 复数 的共轭复数
D. 复数 是方程 的一个根
10. 函数 的部分图象如图所示,其中 , 则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 在区间 恰有一个零点
D. 将 图象向左移 个单位后关于 轴对称
11. 已知数列 满足 ,且 ,则( )
A. 存在唯一的实数 ,使得 为常数列
B. 当 时, 的取值范围为(-2,0)
C. 当 时, 为递减数列
D. 当 时, 前 项和为 ,则
第 II 卷 (共 92 分)
三、填空题(每题 5 分,共 15 分)
12. 的展开式的常数项是_____(用数字作答).
13. 已知 , ,则 _____.
14. 已知函数 为奇函数,则不等式 的解集为_____.
四、解答题(共 5 题,满分 77 分)
15. 在 中,内角 所对的边长分别是 .
(1)求角 ；
(2)若 ,求 边上的高.
16. 在马年春节联欢晚会上, 多款人形机器人惊艳亮相,其精彩的表演赢得了观众的一致好评. 某款人形机器人在排练时, 导演对机器人下达了 7 个动作指令, 机器人成功完成了其中 5 个. 现从这 7 个指令中随机抽取 4 个进行回放分析,以 表示抽取的指令中成功完成的个数.
(1)求 的分布列和数学期望；
(2)若对机器人下达的动作指令表述清晰,则机器人成功完成指令的概率为 0.9 ；若对机器人下达的动作指令表述模糊, 则成功完成指令的概率为 0.5 . 设下达的动作指令表述模糊的概率为 ,若该机器人成功完成指令的概率为 0.8,求 的值;
17. 已知椭圆 的一个焦点为 ,且过点 .
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)过点 且与 轴不重合的直线 与椭圆 交于 两点,与直线 交于点 ,点 满足 轴, 轴,试求直线 的斜率与直线 的斜率的比值.
18. 如图,球 的半径为 是球 的一条直径, 是线段 上的动点,过点 且与 垂直的平面与球 的球面交于 是 的一个内接正六边形. (1)若 是 的中点.
(i) 求六棱锥 的体积;
(ii)求二面角 的余弦值；
(2) 设 的中点为 ,求证: 为定值.
19. 已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)若 在 上单调递增,求 的取值范围；
(3)若 存在极大值和极小值,且极大值小于极小值,求 的取值范围
《2025-2026 学年度高三年级下学期综合素质评价二》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A C B D C D B AC ACD BCD
12. -160
设展开式的通项为 ,
令 ,解得 ,为所求常数项.
故答案为: -160 .
13.
14.
: 为奇函数, 定义域需关于原点对称,
的解集关于原点对称,即 ,
为奇函数,
,则 ,解得 ,
,定义域 ,
当 时, ,则 ,
当 时, ,则 ,
又 在 和 单调递增,
在 和 单调递减,
在 和 单调递减,
即
即 ,
解得 或 或 ,
故不等式 的解集为 .
故答案为: .
15. (1)
(2)
( 1 )因为 ,
根据正弦定理得, .
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
因为 ,所以 .
(2)根据余弦定理得, ,
将 代入上式整理得, ,
又因为 且 ,解得 ,
所以 ,所以 为以 为斜边的直角三角形,
所以斜边 上的高为 .
16. (1) 分布列为:
2 3 4
期望为
(2) 0.25
(1)由题意知随机变量 服从超几何分布,其中 ,
且 的所有可能取值为 2,3,4, ,
故 的分布列为:
2 3 4
法一: 所以 的数学期望 .
法二: 根据超几何分布的期望公式知 .
(2)记“下达的动作指令表述清晰”为事件 ,
记“下达的动作指令表述模糊”为事件 ,
记“机器人成功完成指令”为事件 .
由已知得 .
因为 ,
所以 .
17. (1)
(2)2
( 1 )由题设有 ,故 ,故椭圆 的方程为 ,
故离心率为 .
(2)由题设可得 的斜率必存在且不为零,
设 ,则 ,
由 可得 ,
故 ,
由 可得 ,
故 即 ,且 ,
又 ,
故
18.(1)(i)因为 到 的距离为 2,所以 的半径为 , 所以正六边形 的边长为 , 所以正六边形 的面积为 , 且 到 的距离为 6,所以六棱锥 的体积为 ; (ii) 以 为原点, 为 轴, 的中垂线为 轴, 为 轴建系,
则 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量 ,
则
令 ,得 ,
设平面 的一个法向量
则 ,
令 ,得 ,
所以 .
(2)由已知, 点在过 且与 所在平面垂直的一个平面内,记这个平面为 .
在平面 内,以 为坐标原点,以 为 轴,以 中垂线为 轴建立平面直角坐标系,
设 ,则 ,
因为 ,所以 ,
即 ,又 的坐标分别为 ,
所以
19. (1)
.
( 1 )由 ,
得 ,
当 时, ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .
( 2 )因为 在 上单调递增,所以 . 由 (1) 知 ,
因为 ,所以 ,即 在 上恒成立,
所以 ,又 ,所以 ,
即 的取值范围为 .
(3)①当 时, 在 上恒成立,所以 在 上单调递增,
所以 不存在极值,不合题意;
② 当 时, ,所以当 时, ；当 时,
,所以 在(-1,1)上单调递减,在 上单调递增,
所以 无极大值,不合题意;
③当 时, 的定义域为 ,
令 ,得 ,当 时, ,当
时, ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 的极大值为 ,极小值为 ,且 ,不合题意;
④当 时, 的定义域为 ,且 ,
令 ,得 ,且 ,
当 时, ; 当 时, ; 当 时, ;
当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 的极大值为 ,极小值为 ,且 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
即 ,符合题意.
综上所述, 的取值范围为(0,1).