湖南省长沙市明德中学2025-2026学年下学期高一数学3月月考试卷（含答案）

2026 年上学期高一 3 月阶段测试 数学
全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应区域。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如有改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案；回答非选择题时,将答案写在答题卡上, 写在试卷上无效。
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的。
1. 已知全集 ,集合 ,则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C. D.
2. 设 ,则 的大小关系是( )
A. B. C. D.
3. 函数 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
4. 在 中, ,则 的面积为( )
A. 6 B. 8 C. 24 D. 48
5. 已知函数 满足: 对任意的 ,有 ,则实数 的取值范围是( )
A.(2,5) B. C.(1,5) D.
6. 在梯形 中, ,点 在对角线 上,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 在 中, 的交点为 ,过 作动直线 分别交线段 于 两点. 若 ,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 我国古代数学家僧一行应用 “九服晷影算法” 在《大衍历》中建立了影长 . 与太阳天顶距 的对应数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表. 根据三角学知识可知,晷影长 等于表高 与太阳天顶距 正切值的乘积,即 . 对同一 “表高” 测量两次,第一次和第二次太阳天顶距分别为 ,若第一次的 “晷影长” 是 “表高” 的 2 倍,且 ,则第二次的 “晷影长” 是 “表高” 的( )
A. 倍 B. 3 倍 C. 倍 D. 7 倍
二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合 要求。全部选对得 6 分,部分选对得部分分,选错得 0 分。
9. 下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数 ,则( )
A. 的图象关于点(1,0)对称 B. 的图象关于直线 对称
C. 在(0,1)单调递增 D. 函数 有两个零点
11. 窗花是中国古老的传统民间艺术之一, 它最初用于民俗活动中的剪贴画, 后发展为独立的艺术门类, 图 1 是一个正八边形窗花, 图 2 是从窗花图中抽象出的几何图形, 已知正八边形 的边长为 4, 是正八边形 边上任意一点,则下列说法正确的是 ( )
图 1
图2
A.
B. 在 方向上的投影向量为
C. 的最大值为
D. 若函数 ,则函数 的最小值为
三. 填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 . 若 ,则 _____.
13. 已知扇形的圆心角为 ,弧长为 ,则该扇形的面为_____.
14. 将函数 的图象向右平移 个单位后,再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 ,纵坐标不变,得到函数 的图象,若 在区间 内没有零点, 则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答过程应写出文字说明、证明过程、演算步骤等。
15. 设 ,已知 是平面内两个不共线的向量,
,且 三点共线.
(1)求 的值:
(2)若 ,
①求向量 与 的夹角的余弦值；
②已知点 的坐标为(3,4),若四边形 为平行四边形. 求点 的坐标.
16. 已知函数 .
( 1 )求函数 的单调递增区间及在 上的值域；
(2)若 为锐角且 ,求 的值.
17. 函数 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 .
( 1 )求 的解析式,并用函数单调性的定义证明 在(-1,1)上的增函数；
(2)解不等式 .
18. 在梯形 中, ,满足 . (1)求 的大小；
(2)若 ,且 , ,求 的面积； (3)若 , , ,动点 , 分别在线段 , 上运动,且 ,求 的最小值.
19. 定义函数 ,若存在实数 ,使得方程 在 上恰有两个不同的实数根,则称 为 在 上的一个 “二重值”. 记所有 “二重值” 组成的集合为 . 已知 ,其中 , .
(1) 当 时,求函数 的值域:
(2)若 ,求实数 取值范围；
(3)设函数 ,且对任意 ,均有 ,求实数 取值范围.
明德中学 2026 年上学期高一 3 月阶段测试 高一数学试题 2026 年 3 月
时量:120 分钟 总分:150 分 命题:数学备课组
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1. B 2. 4. C 5.B 6. A 7.C 8. D
二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求。全部 选对得 6 分,部分选对得部分分,选错得 0 分。
9. BD 10. ACD 11.ACD
三. 填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答过程应写出文字说明、证明过程、演算步骤等。
15. 设 ,已知 是平面内两个不共线的向量, , , ,且 , 三点共线.
(1)求 的值:
(2)若 ,
①求向量 与 的夹角的余弦值；
②已知点 的坐标为(3,4),若四边形 为平行四边形. 求点 的坐标.
【解】( 1 )由已知得 ,
因为 三点共线,所以 ,即 .
( 2 )由已知得 ,
① ; 8 分
②由平行四边形得 ,又 ,
所以 ,解得 ,即 . 13 分
16. 已知函数 .
( 1 )求函数 的单调递增区间及在 上的值域；
(2)若 为锐角且 ,求 的值.
【解】( 1 )依题意,函数 2 分
由 ,解得 , 4 分
所以函数 的单调递增区间为 ; 5 分
由 ,得 ,
所以当 的值域为 . 8 分
( 2 )由( 1 )知, ,由 ,得 ,
由 ,得 ,所以 ,
12 分
所以
15 分
17. 函数 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 .
(1)求 的解析式,并用函数单调性的定义证明 在(-1,1)上的增函数；
(2)解不等式 .
【解】(1) 函数 在(-1,1)上是奇函数
,即
又 ,即 ,
的解析式为: 5 分
证明: 任取 ,且
,
即
函数 在区间(-1,1)上为增函数; 10 分
(2) 函数 在(-1,1)上是奇函数
不等式 等价为
又 在(-1,1)上是增函数 解得 . 15 分 18. 在梯形 中, ,满足 .
(1) 求 的大小;
(2)若 ,且 ,求 的面积； (3)若 ,动点 分别在线段 上运动,且 , 求 的最小值.
【解】( 1 )因为 ,
由正弦定理得 ,
所以 , 2 分
因为 ,所以 ,所以 ,
因为 ,所以 ; 4 分
(2)因为 ,所以 ,
又 ,由余弦定理得 ,
即 ,解得 或-1 (舍去), 7 分
所以 的面积为 ; 9 分
(3)以 为坐标原点, 所在直线为 轴,垂直 的直线为 轴,建立平面直角坐标系,
因为 ,所以 , 11 分
由 得, ,所以 , 12 分
因为 ,所以设 ,
由 得 ,
由 得, , 14 分
所以
16 分
当 时, 取得最小值,最小值为 , 17 分
所以 的最小值为 .
19. 定义函数 ,若存在实数 ,使得方程 在 上恰有两个不同的实数
根,则称 为 在 上的一个“二重值”. 记所有 “二重值” 组成的集合为 . 已知
,其中 .
(1)当 时,求函数 的值域；
(2)若 ,求实数 取值范围；
(3) 设函数 ,且对任意 ,均有 ,求实数 取值范围.
【解】( 1 )当 时, ,
,当 时取得最大值 .
函数 的值域为 . 4 分
(2)方法一、令 ,则 在 上递增,在 上递减
又 为增函数,所以 在 上递增,在 上递减. 7 分
故由题意得: ,使 ,
,得 ,实数 取值范围是 . 10 分
方法二、方程 ,即
由题意知方程 在 内有两个不同的实数根. 6 分
令 ,对称轴为 ,且开口向下,
则应满足 ,解得 . 9 分
,故 ,即
实数 取值范围是 . 10 分
(3)由(2)知: 在 上递增,在 上递减
且 ,
令 ,则 ,
当 ,即 时, 在 上递减,
在 上递增,则 ,
对任意 ,方程 恰有两解,即满足 12 分
当 ,即 时, 在 上递增,
在 上递减,则 ,
对任意 ,方程 恰有两解,即满足 14 分
当 时, ,使 ,
即有
所以函数 在(0,1)上存在两个不同的零点,设为
此时 在 上递减, 上递增, 上递减, 上递增.
则当 时,方程 有四解,不合题意.
综上所述,实数 取值范围是 . 17 分