湖南多校2025-2026学年下学期高二数学3月阶段检测试卷（含答案）

数 学
(试卷满分: 150 分, 考试时间: 120 分钟)
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号；回答非选择题时,用 的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 请将答题卡上交。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系 中, 关于 轴的对称点为 ,则 的坐标为
A.(1, - 2, - 3) B.(1,2,3) C.(1,3, - 2) D.(-1,2,3)
2. 直线 与直线 垂直,则
A. B. 1 C. 0 D.-2
3. 已知数列 满足 ,则
A. -1 B. C. 2 D.
4. 如图,在三棱锥 中, 为 中点, 为 中点,则
A.
B.
C.
D.
5. 已知双曲线 的一条渐近线为 ,则该双曲线的方程是
A. 或 B. 或
C. D.
6. 已知抛物线 ,过其焦点 作直线 交抛物线 于 两点,点 在第一象限, 且满足 ,则直线 的方程为
A. B.
C. D.
7. 已知数列 满足 ,记 的前 项的和为 ,则
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,椭圆 上存在一点 使 ,且 为锐角三角形,则椭圆 的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法中, 正确的有
A. 直线 的倾斜角为
B. 直线 ,直线 ,则 和 之间的距离为
C. 直线 与坐标轴围成的三角形的面积为 3
D. 直线 恒过的定点在圆 上
10. 已知圆 ,下列说法正确的是
A. 是外离的关系
B. 是圆 上的动点, 是圆 上的动点,则
C. 已知圆 与 均有交点,则 的面积的最小值是
D. 是 的公切线
11. 已知点列 在函数 上,点列 在 轴上,如图所示,以 为边长作正方形,依次向右排列,即 ,已知 ,数列 的前 项的和为 ,则
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 双曲线 的右顶点与抛物线 的焦点重合,则 _____.
13. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一, 现为世界文化遗产, 龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟. 现有一石窟的某处 “浮雕像” 共 层,每上层的 “浮雕像” 数量比下层少的个数是定值,记最上层浮雕个数为 ,依次往下每层的浮雕个数组成数列 ,其前 项的和为 ,若 ,则 _____.
14. 如图所示,已知一正四面体 在平面 内,点 均在 同侧, 三点到平面 的距离分别是3,3,4,则正四面体的边长是_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知正项递增数列 为等比数列,满足 ,数列 满足
(1) 求 的通项公式;
(2) 数列 满足 ,求 的前 项的和 .
16. (本小题满分 15 分)
如图,已知正四棱台 ,四棱台的高为 2 .
(1) 证明: 平面 ;
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点的距离之比为定值 的点的轨迹是圆,后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆. 已知在平面直角坐标系 中, ,若点 满足 ,记 的轨迹为圆 .
(1)求圆 的方程；
(2)已知动点 ,过 作圆 的两条切线(两条切线的斜率都存在),分别交 轴于 两点,求 的面积的最小值.
18.(本小题满分 17 分)
已知椭圆 ,其中焦距与短轴长相等,左、右顶点分别为 ,动直线 与 相交于 两点,直线 的交点为 的轨迹记作 ,当 经过 的右焦点时, .
(1)求 的方程；
(2)过 点分别作两条直线 ,直线 交 于 两点(异于点 ),直线 交 于 两点 (异于点 ),证明: 直线 与直线 的交点在一定直线上.
19.(本小题满分 17 分)
已知数列 满足 ,对于 ,都有 .
(1) 证明: ;
(2)求 的通项公式；
(3) 数列 满足 ,是否存在正整数 ,使得 成等差数列,若存在,请求出 ; 若不存在,请说明理由.
高二年级 3 月测评 数学 参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C C B D A C
题号 9 10 11
答案 BCD ABD ABC
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
点 关于 轴的对称点为(-1,2,3),故选 D.
2.【答案】A
由 可知, ,解得 ,故选 A.
3.【答案】
由 ,故 是周期为 3 的数列,则 ,故选 C.
4.【答案】
,故选 C.
5.【答案】B
若焦点在 轴上,则 ,则双曲线的方程为 . 若焦点在 轴上, , ,则双曲线的方程为 ,故选 B.
6.【答案】D
设 ,设直线 的方程为 ,则 ,又 ,即 ,故选 D.
7.【答案】A
当 为奇数时,可得 ,故选 A.
8.【答案】C
设 , 因为 是锐角三角形,故 ,故 ,故选 C.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分,部分 选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.【答案】BCD
A 选项,斜率为 ,倾斜角为 ,故 A 错误;
选项, ,故 ,两直线间距离为 ,故 正确;
选项, 与 轴, 轴的截距为 ,故围成三角形的面积为 ,故 正确;
D 选项,直线 可以化为 ,恒过的定点为 方程组的解,即为(6,6)点,满足圆的方程 ,故 正确. 故选 BCD.
10.【答案】ABD
选项,圆心距是 4,两个圆的半径的和为 2,故为外离关系,故 正确;
选项, ,故 正确;
选项,圆 与 均有交点,则 的最小直径为 ,面积为 ,故 错误;
D 选项, 圆心到直线 的距离为 圆心到直线 的距离也为 1,故 是 的公切线,故 正确,故选 ABD.
11.【答案】ABC
选项,将 代入可得 ,则 ,故 正确;
选项, ,故 正确;
选项,由 知 ,故 正确;
选项,由 知 , ,故 D 错误,故选 ABC.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.【答案】2
该双曲线的右顶点为(1,0),则 .
13.【答案】6
由已知条件可得 为等差数列,由等差数列前 项和的性质, 为等差数列,则有 ,即 ,解得 . 当 时, , ,得 ,故 (舍),故 . 14.【答案】
设正四面体的边长为 ,设平面 的法向量为 ,由于 均在同侧,设 . ,由题意 ②,① + ② + ③ 可得
④,故得 ,则 ,令 ,则有
,代入④得 ,故正四面体的边长为 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.【答案】
(舍), 3 分
4 分
所以 ; 5 分
(2) ,
①, 6 分
② 7 分
①-②得,
10 分
13 分
16.【答案】(1)详见解析(2)
(1) 连接 交 于点 ,连接 ,
为正四棱台, , 2 分
四边形 和四边形 为正方形, , 4 分
, 5 分
四边形 为平行四边形, , 6 分
平面 平面 平面 ; 7 分
(2)如图所示,设上底面的中心为 ,以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,
8 分
设平面 的法向量为 , ,
则有 ,令 ,则 , 10 分
设平面 的法向量为 ,
则有 ,令 ,则 , 12 分
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 , 14 分
则 . 15 分
17.【答案】 (2)2
(1) 设 ,由已知 ,
4 分
即圆 的方程为 ; 5 分
(2) ,设 , 6 分设过 与圆相切的直线为 , 利用点到直线的距离公式 , 8 分由韦达定理可得 , 9 分
分别表示两条切线 的斜率,故可得 , 10 分
则
11 分
故 的面积表示为 , 13 分
令 ,
故 , 14 分
当 ,即 时,等号成立,故 的面积的最小值为 2 . 15 分
18.【答案】( 1 ) 详见解析
(1) 对于椭圆 ,当 经过右焦点时, , 1 分
又 ,解得 ,故椭圆 的方程为 , 3 分
设 ,
则 ① ②, 5 分
① ② 得 ,
化简得 即为 的方程; 8 分
(2) 设 , 9 分
联立 ,解得 , 10 分
联立 ,解得 , 11 分
观察到: , 12 分
同理可得 , 13 分
设直线 的方程为: ③,
则有 , 14 分
同理可得: ,故 的直线方程为 15 分
联立③④得,
16 分
即直线 与直线 的交点在 上. 17 分
19.【答案】(1) 详见解析 存在 或
(1) 令 ,则有 ① , 1 分
令 ,则有 ②, 2 分
②一①得: , 3 分
4 分
(2) 令 ③,故 是公比为 2 的等比数列, 5 分
令 ④, 6 分
由③ 得 ⑤, 7 分
⑤一④得 ⑥, 8 分
③一⑥得 ,即 是公比为 2 的等比数列, 9 分
故 ； 10 分
(3)假设存在 ,使得 成等差数列, 11 分
已知 ,则有 ,
因为 ,所以 从第二项开始单调递减, 12 分
I. 当 时, ,
所以 ,即 且 单调递减,因为 ,所以 或 .
当 时,则 ,即 ,此时 ,不符合题意,舍去.
当 时,则 ,故 .
所以 符合要求. 14 分
II. 当 时,
当 时,则 ,可得 ,
所以 ,所以 不成立. 15 分
当 时,则 ,所以 .
令 ,则 .
又因为 ,所以 ,
所以 . 16 分
综上,存在 或 满足要求. 17 分