山西省临汾市2025-2026学年下学期高三数学3月一模试卷（含答案）

临汾市 2026 年高三年级质量监控第一次模拟测试 数学
注意事项:
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2. 全部答案在答题卡上完成, 答在本试题上无效。
3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案用 0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知向量 满足 ,则 ( )
A. B. 1 . C. 2 D. 3
2. 已知直线 与直线 平行,则 ( )
A. 2 B. -1 或 2
C. -1 D. -2 或 1
3. 从1,3,5,7,9这五个数中,依次取出两个不同的数分别为 ,共可得到 的不同值的个数是( )
A. 10 B. 16 C. 18 D. 20
4. 已知 ,则 的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
5. 甲、乙、丙三人去看电影,每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《·年年有熊》五部电影中任选一部,则三人看同一部电影的概率为( )
A. B. C. D.
6. 如图,在三棱锥 中, 平面 , ,则三棱锥 外接球的表面积为 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知 ,数列 满足: , 则 为( )
A. 2025 B. 2026 C. 4050 D. 4052
8. 阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大, 还享有 “数学之神” 的称号, 圆锥曲线上任意两点 处的切线交于点 ,称 为 “阿基米德三角形”. 已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线 交抛物线 于 两点,且 ,抛物线 在 处的切线交于点 ,则 的面积为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的四个选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列函数中既是偶函数,又在 上单调递减的是 ( )
A. B. C. D.
10. 已知四棱锥 的底面是边长为 1 的菱形, 平面 , 与 相交于点 是线段 上的动点,则( )
A.
B. 与底面 所成角的正切值为 2
C. 二面角 的余弦值为
D. 面积的取值范围是
11. 已知函数 的部分图象如图,则( )
A. 是 图象的一条对称轴
B. 在区间 上单调递增
C. 在区间 上的零点之和为
D. 函数 的零点个数为 11 个
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知随机变量 服从正态分布 ,则 _____.
13. 已知在底面边长为 ,高为 4 的正三棱柱 内有一个半径为 1 的小球,该小球可以在正三棱柱内自由活动, 当任意旋转、晃动正三棱柱过程中小球至少与正三棱柱的一个面相切时, 小球球心的轨迹在正三棱柱的内部又会形成一个新的几何体, 则该几何体的体积为_____.
14.2026 年马年春晚,魔法原子、银河通用、宇树科技及松延动力等机器人厂商的机器人参与了武术、小品、歌曲、微电影等四大类节目演出,我们国家已经成为人形机器人领域的强劲竞争者. 现有一人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作:如图,先从原点 沿东偏北 方向行走一段时间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不定. 假定机器人行走速度为 ,则机器人行走 时距原点的最远距离是_____m,最近距离是_____m. (第 1 空 2 分, 第 2 空 3 分)
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) 令 ,求数列 的前 项和 .
16.(15分)
水体富营养化导致藻类大量繁殖, 以 2017 年中国太湖蓝藻爆发为例: 5 月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升 50 万个,随着气温升高至 25-30℃ 且氮磷营养盐浓度超标(总磷浓度达 0.15mg/L ),蓝藻进入增长期. 5 月 10 日细胞密度增至每升 200 万个,5 月 15 日突破每升 800 万个,5 月 20 日达到每升 3200 万个,形成面积超 150 平方公里的绿色水华带. 此次爆发导致湖区溶解氧骤降至 以下,大量鱼类死亡,自来水厂被迫停产、 所以对水资源的保护刻不容缓,现对某区域的藻类面积 (单位: 平方公里) 与时间 (单位:年)的关系,进行监测,得到如下数据:
/年 1 2 3 4 5 6 7
/平方公里 6 11 21 34 66 101 196
根据以上数据,绘制成如图所示的散点图:
观察散点图,两个变量不具有线性相关关系,现考虑用对数函数模型 和指数函数模型 分别对两个变量的关系进行拟合.
(1)根据散点图判断 与 ( 均为常数) 哪一个更适合作为藻类面积 (单位:平方公里)与时间 (单位:年)的关系的回归方程类型 (给出判断即可, 不必说明理由);
(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,求出 关于 的回归方程；
(3)若不及时保护水质,当第八年检测时,请估计藻类面积为多少平方公里.
参考数据:
-v
62.14 1.54 2535 50.12 3.47
其中 .
参考公式: 对于一组数据 ,其回归直线 的斜率和截
距的最小二乘估计公式分别为 . 17.(15 分)
在锐角 中,角 的对边分别为
(1)求角 ；
(2)当 时, 的面积为 ,周长为 ,求 的取值范围.
18.(17分)
已知椭圆 的右焦点为 ,离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作直线 (与 轴不垂直)与椭圆 交于 、 两点,在直线 上取点 ,使 轴,证明: 直线 恒过定点;
(3)设点 为椭圆 上异于其左右顶点的一点,过 分别作椭圆 的两条切线 ,切点分别为 ,设直线 的斜率分别为 ,证明: 为定值. 19.(17分) 已知函数 . (1) 当 时, 在 处的切线斜率为 0,求 的值; (2)若对任意的 ,函数 有两个不同的零点,求 的取值范围; (3) 当 时,若函数 有两个不相等的零点 ,证明: .
临汾市 2026 年高三年级质量监控第一次模拟测试 数学试题参考答案和评分参考
评分说明:
1.本解答只给出了某些解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。
3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4. 只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一. 单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A C D B B
二. 多项选择题
题号 9 10 11
答案 BC ABD BCD
三. 填空题
12. 3 13. 14. 第一空 30 ,第二空
14. 解: 设改变方向的地点为 ,终点为 ,
由于 ,所以 , ,
由余弦定理得
当 时,
当 时,
结合二次函数的性质可知当 时,
取得最小值
.
结合二次函数的性质可知当 或 时,
取得最大值 .
综上所述, ,最远距离是 ,最近距离是 .
四. 解答题
15. 解: ①
当 时 ②
①-②得 3 分
当 时, ,符合上式 5 分
综上: . 6 分
(2) , 9 分
11 分
. 13 分
16. 解:(1)根据散点图判断, 更适宜作为藻类面积 与时间
的关系的回归方程类型. 2 分
( 2 )由 ,两边同时取常用对数得 .
设 , 4 分
, 6 分
8 分
把(4,1.54)代入 ,得 9 分
, 10 分
,
即 关于 的回归方程为 . 12 分
(3)当 时, (平方公里) 14 分
所以, 若不加治理, 第 8 次检测时, 海藻面积约为 347 平方公里. 15 分
17. 解:(1)由题可得
,
即 1 分
化简可得 , 3 分
因为
所以 ,即 .. 4 分
因为 ,所以 . 6 分
(2)解法一:
7 分
由余弦定理可得:
,即 . 8 分
因为 ,即 . 10 分
分
由正弦定理可得, 12 分
13 分
因为 ,所以 14 分
所以 ,所以 . 15 分
解法二:
由正弦定理可得, 7 分
8 分
10 分
. 12 分
因为 ,所以 , 13 分
所以 , 14 分
所以 . 15 分
18. 解: (1) 由题意可知: ,又 ,故
解得: ,故椭圆 的方程为: . 2 分
(2)当 时,直线 方程为: . 3 分
当 时,设直线 的方程为: , 4 分
且交椭圆 分别为点 ,联立
得:
故 6 分
故 7 分
由图形的对称性知,直线 恒过的定点在 轴上,
设定点为
则有 ,即 8 分
故 9 分
综上,直线 恒过定点 10 分
(3)设 ,设切线为: ,
联立 得:
, 12 分
由
得:
即
即
故 , 41 分
又 在椭圆 上,即 ①
将①代入得 16 分
故 为定值 . 17 分
19. 解: (1) 由 知 ,
由题知, ,故 3 分
(2)解法一:
有两个不同的零点等价于
方程 有两个不同的根 4 分
令 ,则 ,由 得 ,
当 和 时, 单减,
当 时, 单增,
又 6 分
时, 时,
时, 时,
7 分
由题知, ,方程 有两个不同的根,
故 8 分
得: 9 分解法二:
当 时, ,对 无零点 4 分
当 时,令 ,得 ,
即
令 ,
则对 有两个不同零点,而
则当 时, 单增
当 时, 单减 6 分
又 时, 时, , 7 分
故
得 ,即 8 分
故 ,又 ,故 9 分
(3)解法一:
由题知, 时,
10 分
令 ,则2 有 ,
即 , 11 分
则 在 单减,在 单增,
不妨设 , 12 分
构造
14 分
令 ,则 在 上单减, ,