重庆南开中学2025-2026学年下学期高一数学3月周数学练习3试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 重庆南开中学2025-2026学年下学期高一数学3月周数学练习3试卷（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 403.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-26 00:00:00 | ||
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文档简介
重庆南开中学高 2028 届高一数学练习 (3.22) 数学试卷
本试卷分为第 卷 (选择题) 和第 卷 (非选择题) 两部分. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第 I 卷和第 II 卷都答在答题卷上.
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知 是不共线的向量,下列向量 共线的是( )
A. B.
C. D.
2. 在四边形 中,“ ” 是 “四边形 是平行四边形” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下面四个数中,与 最接近的是 ( )
A. -1 B. C. D. 0
4. 在 中, , , 分别为内角 , , 所对的边,若 ,则此三角形一定是 ( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
5. 如图所示的 中,点 是线段 上靠近 的三等分点,点 是线段 的中点, 则 ( )
A. B.
C. D.
6. 在 中,角 的对边分别是 ,若 ,则角 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 在 中,若 ,则 为( )
A. B. C. D.
8. 在平面四边形 中, ,则四边形 面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的四个选项中,有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 若 与 都是单位向量,则
B. 只有零向量的模长等于 0
C. 若 与 是平行向量,则
D. 向量 与 不共线,则 与 都是非零向量
10. 在锐角 中, , , 分别为 三个内角 , , 的对边,若 ,则 的取值可能为( )
A. B. C. D.
11. 已知 为 的外心, ,下面说法错误的是( )
A. 的最小值为 ,此时 为直角三角形
B. 的最大值为 ,此时 为直角三角形
C. 的最小值为 ,此时 为等边三角形
D. 的最大值为 ,此时 为等边三角形
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知 ,则 _____.
14. 已知三角形 为等腰三角形,其中 ,在 上分别取
两点,若沿线段 折叠该三角形时,顶点 恰好落在边 上. 则线段 的长度的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题润分 13 分)
已知 的内角 的对边分别为 ,满足 .
(1)求角 ；
(2)若 ,求 的周长.
16. (本小题满分 15 分)
如图,在 中,点 满足 , 是线段 的中点,过点 的直线与线段 , 分别交于点 .
( 1 )若 ,调用向量 来表示向量 ；
(2)若 ,求 的最小值.
17. (本小题满分 15 分)
在 中, 为钝角, .
(1) 求 :
(2)若 为 边上一点,再从条件①,条件②:条件③这三个条件中选择一个作为已知,使 存在且唯一确定,求 的面积.
条件①: ；
条件②: ;
条件③: 的周长为 .
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
18. (本小题满分 17 分)
如图,在等边 中, ,点 , , 分别在边 , , 上,且 , .
(1)用 表示
(2)若 为等腰直角三角形,求 的取值范围；
(3)若 ,求 面积的最小值.
19. (本小题满分 17 分)
三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816 年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意. 1875 年,布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现,并用他的名字命名. 当 内一点 满足条件 时,则称点 为 的布洛卡点,角 为布洛卡角. 如图,在 中,角 所对边长分别为 ,点 为 的布洛卡点,其布洛卡角为 .
(1)求证: ；
( 2 )若 ,是否存在常数 ,使得 ,若存在,
求 的值；若不存在,请说明理由.
(3)若 ,试判断 的形状.
参考答案
第1题
D
第2题
答案:B
平行四边形时条件必然成立 条件是必要条件
条件成立时四边形不一定是平行四边形→条件不是充分条件
综上, 是平行四边形的必要不充分条件
本题考查向量的模长性质与平行四边形判定条件的关系。解题关键在于理解向量 的几何意义,
以及充分条件和必要条件的定义。需要通过向量运算验证条件与结论之间的逻辑关系。
第一步:分析平行四边形时的条件
当四边形ABCD是平行四边形时:
因此:
说明平行四边形成立时条件一定满足,即条件是必要条件。
第二步:验证条件满足时是否一定是平行四边形
假设 成立,但四边形不一定是平行四边形。例如:
当 且 时:
若 的长度也取 ,但此时四边形不是平行四边形。
说明条件成立时结论不一定成立,即条件不是充分条件。
第3题
因为 ,
所以 ,
又 非常接近 ,
所以 最接近 .
故选: .
利用三角函数的诱导公式,将- 化简为一个锐角三角函数,再根据特殊角的三角函数值判断其最接近的值.
第4题
由题意 中, , , 分别为内角 , , 所对的边,若 ,
可得 ,即 ,
因为 ,
所以 ,
整理为 ,
所以 ,
所以 是等腰三角形.
故选: .
根据诱导公式和正弦定理化简为 ,再根据 ,结合两角和的正弦公式化简,即可求解.
第5题
解题心得 1. 进行向量运算时, 要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中, 充分利用相等向量、相反向量、 三角形的中位线及相似三角形的对应边成比例等性质, 把未知向量用已知向量表示出来.
2. 向量的线性运算类似于代数多项式的运算, 实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量的线性运算中同样适用.
【例3】B 依题意, .
第6题
解: ,即 ,
由余弦定理得:
,
当且仅当 时取等号,
又 不是三角形的最大边,
为锐角,
则角 的取值范围是 .
故选
利用余弦定理表示出 ,将已知的等式左右两边同时除以 表示出 ,代入 中,整理后利用基本不等式化简,可得出 的最小值,由 不是三角形的最大边,得到 为锐角,利用余弦函数的图象与性质可得出 的取值范围.
第7题
B
本题考查余弦定理和正弦定理的应用。
先利用余弦定理求出边 、 的值,再根据同角三角函数的基本关系求出 的值,最后利用正弦定理求出 的值。
1. 利用余弦定理求出边 、 的值
已知 , ,即 , 。
根据余弦定理 ,将 代入可得:
。
展开式子得: 。
合并同类项得: 。
等式两边同时乘以2得: 。
移项化为标准的一元二次方程形式: , 两边同时除以5得 。
分解因式得 ,解得 或 (边长不能为负舍去)。
因为 ,所以 。
2. 求出 的值
因为 , 且 是三角形内角,即 , 根据同角三角函数的基本关系
,可得: 。
3. 利用正弦定理求出 的值
根据正弦定理 ,将 , , 代入可得: 。
交叉相乘得: 。
化简得: 。
因此,答案为B选项。
第8题
【答案】A 由余弦定理知: 在 中,有 ,在 中,有 ,则 , 由四边形 的面积 三角形 的面积+三角形 的面积, 故 , 在三角形中,易知 , ,当且仅当 时等号成立, 此时 , 故 ,故选 A.
第9题
BD
第10题
BC
本题考查正弦定理以及三角函数的性质。
本题可先利用正弦定理将 转化为角的关系,再结合锐角三角形的性质求出角 的取值范围,进而求出 的取值范围,最后据此判断选项。
1. 利用正弦定理将 转化为角的关系
根据正弦定理 ( 为 外接圆半径),可得 , 。 那么 ,已知 ,所以 。 根据二倍角公式 ,可得 。 2. 求出角 的取值范围因为 是锐角三角形,所以 。 解不等式 ,可得 ； 解不等式 ,移项可得 ,两边同时除以-3,不等号方向改变,可得 。 综合可得 。 3. 求出 的取值范围由 ,根据余弦函数的单调性, 在 上单调递减,可得 ,即 。 那么 , 即 。 对不等式 两边同时取倒数,不等号方向改变,可得 , 即 。
4.判断选项
逐一分析选项:
选项A: 不满足 ,所以A选项错误。
选项B:因为 ,所以B选项正确。
选项C:因为 ,所以C选项正确。
选项D: 不满足 ,所以D选项错误。
综上,答案是BC。
第11题
若 ,则 ,
此时 为钝角三角形；
当 时,如图,设直线 交直线 于点 ,
不失一般性,记 ,又 ,
则 ,
故可得 ,
若 ,此时 ,而 ,
当且仅当 为等边三角形时 取最小值 (此值为等边三角形的高),
故此时 , ,
若 ,则 ,
而 , 故 ,
综上, 的取值范围是( , ],
当 取得最大值 时, 为等边三角形.
故选: .
根据向量的运算及性质,结合三角形形状的判定,对各选项进行分析判定即可得出结论.
第12题
12. ,
,即 .
可得 ,则 .
第13题
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ；
①当 , 时, , , 故
；
②当 , 时, , , 故 ;
综合①②,得 或3.
故答案为 或3.
利用诱导公式可得 ,根据同角三角函数关系式,得 ,从而求得 ,
的值,进而求得 .
第14题
1. 解:设等腰△ABC中, AB=AC=2,
BC=2√3,顶点A折叠后落在BC上的点A’(t,0)。
以B(-√3,0)、C(√3,0)、A(0,1)建立坐标系。DE
为 的垂直平分线, 在 上,设 ,满
足 且 。
AB的方程为 , AA’的中点为
,斜率为_ ,故DE的斜率为 ,方程
为 。
联立AB与DE方程,结合AD=A’D条件,解得D点
横坐标 。AD长度为 ,
化简得 。
分析函数最小值,当 时, AD取得最小
值 。
答:线段AD的长度的最小值为 。
第15题
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式,考查运算求解能力.
(1)由正弦定理化简已知等式可得 ,利用余弦定理可求 ,结合范围 ,可求 的值; (2)由已知利用三角形的内角和定理可求 的值,由正弦定理可得 , 的值,即可计算得解 的周长.
解:(1)因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 .
(2)因为 ,
所以 ,
由正弦定理 ,可得 ,
解得 ,
所以 的周长 .
第16题
13.(1) 由题可得
( 6 分)
(2) 由 可得 ,即
对于 当 时,点 与点 重合,显然不符合题意,同理当 时,也不符合题意,所以 ,(8 分) 由 可得 ,即
因为 三点共线,所以 , (10 分)
则 (13 分)
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 的最小值为 . (15 分) 第17题
3.【解】( 1 )由 ,得 .
在 中,由正弦定理得
.
因为 ,
所以 .
又 , 所以 .
(2)选条件①: .
在 中,由正弦定理得
,则 .
因为 为钝角,所以 .
在 中, ,所以由余弦定理得
即 ,
解得 或 (舍).
所以
选条件 ②: 因为 为钝角,所以 为锐角,而 ,
点悟:运用三角函数的单调性判断角的大小时, 需说明两角在同一单调区间内
所以 ,
因为 ,与 矛盾,此时 不存在.
选条件③: 的周长为 .
在 中,由正弦定理得 ,则 .
因为 为钝角,所以 .
因为 的周长为 ,所以 .
在 中,由余弦定理得 ,
即 ,解得 .
所以
第18题
(1)由 , ,不妨设 ,则 ,
在等边 中, ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,
在 中, , , , ,
,所以 ,
同理可求: ；
(2)要使 为等腰直角三角形,只需 ,
所以 ,
整理得 ,
因为 ,所以 ,
所以 ;
(3)由 可得: ,则 ,
所以 ,
令 ,则 ,其中
所以 , 解得: ,
所以当 时,存在 ,使得 ,
所以 .
(1)分别利用正弦定理表示出 , ;
(2)由 得到 ,利用三角函数求出 的取值范围；
(3)建立三角形面积的函数关系式,利用三角函数求出最小值.
第19题
所以 .
(2)存在实数 使等式成立,理由如下:
由(1)得 ,
由余弦定理得: , ,
I
所以 时,存在实数 使 .
(3)当 时,由(1)得 ,
由(2)得, ,
在 中,由余弦定理得 ,
于是
,当且仅当 且 时取等号,
由 ,得 ,
即当且仅当 且 时取等号,
因此 ,而 ,所以 为等边三角形.
(1)利用三角形面积公式推理得证.
(2)利用余弦定理,结合(1)的结论及二倍角的正弦公式求解.
(3)由(1)(2)的结论可得 ,再利用余弦定理、三角形面积公式,结合辅助角公式及基本不等式推理判断即可得解.
本试卷分为第 卷 (选择题) 和第 卷 (非选择题) 两部分. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第 I 卷和第 II 卷都答在答题卷上.
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知 是不共线的向量,下列向量 共线的是( )
A. B.
C. D.
2. 在四边形 中,“ ” 是 “四边形 是平行四边形” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下面四个数中,与 最接近的是 ( )
A. -1 B. C. D. 0
4. 在 中, , , 分别为内角 , , 所对的边,若 ,则此三角形一定是 ( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
5. 如图所示的 中,点 是线段 上靠近 的三等分点,点 是线段 的中点, 则 ( )
A. B.
C. D.
6. 在 中,角 的对边分别是 ,若 ,则角 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 在 中,若 ,则 为( )
A. B. C. D.
8. 在平面四边形 中, ,则四边形 面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的四个选项中,有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 若 与 都是单位向量,则
B. 只有零向量的模长等于 0
C. 若 与 是平行向量,则
D. 向量 与 不共线,则 与 都是非零向量
10. 在锐角 中, , , 分别为 三个内角 , , 的对边,若 ,则 的取值可能为( )
A. B. C. D.
11. 已知 为 的外心, ,下面说法错误的是( )
A. 的最小值为 ,此时 为直角三角形
B. 的最大值为 ,此时 为直角三角形
C. 的最小值为 ,此时 为等边三角形
D. 的最大值为 ,此时 为等边三角形
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知 ,则 _____.
14. 已知三角形 为等腰三角形,其中 ,在 上分别取
两点,若沿线段 折叠该三角形时,顶点 恰好落在边 上. 则线段 的长度的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题润分 13 分)
已知 的内角 的对边分别为 ,满足 .
(1)求角 ；
(2)若 ,求 的周长.
16. (本小题满分 15 分)
如图,在 中,点 满足 , 是线段 的中点,过点 的直线与线段 , 分别交于点 .
( 1 )若 ,调用向量 来表示向量 ；
(2)若 ,求 的最小值.
17. (本小题满分 15 分)
在 中, 为钝角, .
(1) 求 :
(2)若 为 边上一点,再从条件①,条件②:条件③这三个条件中选择一个作为已知,使 存在且唯一确定,求 的面积.
条件①: ；
条件②: ;
条件③: 的周长为 .
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
18. (本小题满分 17 分)
如图,在等边 中, ,点 , , 分别在边 , , 上,且 , .
(1)用 表示
(2)若 为等腰直角三角形,求 的取值范围；
(3)若 ,求 面积的最小值.
19. (本小题满分 17 分)
三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816 年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意. 1875 年,布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现,并用他的名字命名. 当 内一点 满足条件 时,则称点 为 的布洛卡点,角 为布洛卡角. 如图,在 中,角 所对边长分别为 ,点 为 的布洛卡点,其布洛卡角为 .
(1)求证: ；
( 2 )若 ,是否存在常数 ,使得 ,若存在,
求 的值；若不存在,请说明理由.
(3)若 ,试判断 的形状.
参考答案
第1题
D
第2题
答案:B
平行四边形时条件必然成立 条件是必要条件
条件成立时四边形不一定是平行四边形→条件不是充分条件
综上, 是平行四边形的必要不充分条件
本题考查向量的模长性质与平行四边形判定条件的关系。解题关键在于理解向量 的几何意义,
以及充分条件和必要条件的定义。需要通过向量运算验证条件与结论之间的逻辑关系。
第一步:分析平行四边形时的条件
当四边形ABCD是平行四边形时:
因此:
说明平行四边形成立时条件一定满足,即条件是必要条件。
第二步:验证条件满足时是否一定是平行四边形
假设 成立,但四边形不一定是平行四边形。例如:
当 且 时:
若 的长度也取 ,但此时四边形不是平行四边形。
说明条件成立时结论不一定成立,即条件不是充分条件。
第3题
因为 ,
所以 ,
又 非常接近 ,
所以 最接近 .
故选: .
利用三角函数的诱导公式,将- 化简为一个锐角三角函数,再根据特殊角的三角函数值判断其最接近的值.
第4题
由题意 中, , , 分别为内角 , , 所对的边,若 ,
可得 ,即 ,
因为 ,
所以 ,
整理为 ,
所以 ,
所以 是等腰三角形.
故选: .
根据诱导公式和正弦定理化简为 ,再根据 ,结合两角和的正弦公式化简,即可求解.
第5题
解题心得 1. 进行向量运算时, 要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中, 充分利用相等向量、相反向量、 三角形的中位线及相似三角形的对应边成比例等性质, 把未知向量用已知向量表示出来.
2. 向量的线性运算类似于代数多项式的运算, 实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量的线性运算中同样适用.
【例3】B 依题意, .
第6题
解: ,即 ,
由余弦定理得:
,
当且仅当 时取等号,
又 不是三角形的最大边,
为锐角,
则角 的取值范围是 .
故选
利用余弦定理表示出 ,将已知的等式左右两边同时除以 表示出 ,代入 中,整理后利用基本不等式化简,可得出 的最小值,由 不是三角形的最大边,得到 为锐角,利用余弦函数的图象与性质可得出 的取值范围.
第7题
B
本题考查余弦定理和正弦定理的应用。
先利用余弦定理求出边 、 的值,再根据同角三角函数的基本关系求出 的值,最后利用正弦定理求出 的值。
1. 利用余弦定理求出边 、 的值
已知 , ,即 , 。
根据余弦定理 ,将 代入可得:
。
展开式子得: 。
合并同类项得: 。
等式两边同时乘以2得: 。
移项化为标准的一元二次方程形式: , 两边同时除以5得 。
分解因式得 ,解得 或 (边长不能为负舍去)。
因为 ,所以 。
2. 求出 的值
因为 , 且 是三角形内角,即 , 根据同角三角函数的基本关系
,可得: 。
3. 利用正弦定理求出 的值
根据正弦定理 ,将 , , 代入可得: 。
交叉相乘得: 。
化简得: 。
因此,答案为B选项。
第8题
【答案】A 由余弦定理知: 在 中,有 ,在 中,有 ,则 , 由四边形 的面积 三角形 的面积+三角形 的面积, 故 , 在三角形中,易知 , ,当且仅当 时等号成立, 此时 , 故 ,故选 A.
第9题
BD
第10题
BC
本题考查正弦定理以及三角函数的性质。
本题可先利用正弦定理将 转化为角的关系,再结合锐角三角形的性质求出角 的取值范围,进而求出 的取值范围,最后据此判断选项。
1. 利用正弦定理将 转化为角的关系
根据正弦定理 ( 为 外接圆半径),可得 , 。 那么 ,已知 ,所以 。 根据二倍角公式 ,可得 。 2. 求出角 的取值范围因为 是锐角三角形,所以 。 解不等式 ,可得 ； 解不等式 ,移项可得 ,两边同时除以-3,不等号方向改变,可得 。 综合可得 。 3. 求出 的取值范围由 ,根据余弦函数的单调性, 在 上单调递减,可得 ,即 。 那么 , 即 。 对不等式 两边同时取倒数,不等号方向改变,可得 , 即 。
4.判断选项
逐一分析选项:
选项A: 不满足 ,所以A选项错误。
选项B:因为 ,所以B选项正确。
选项C:因为 ,所以C选项正确。
选项D: 不满足 ,所以D选项错误。
综上,答案是BC。
第11题
若 ,则 ,
此时 为钝角三角形；
当 时,如图,设直线 交直线 于点 ,
不失一般性,记 ,又 ,
则 ,
故可得 ,
若 ,此时 ,而 ,
当且仅当 为等边三角形时 取最小值 (此值为等边三角形的高),
故此时 , ,
若 ,则 ,
而 , 故 ,
综上, 的取值范围是( , ],
当 取得最大值 时, 为等边三角形.
故选: .
根据向量的运算及性质,结合三角形形状的判定,对各选项进行分析判定即可得出结论.
第12题
12. ,
,即 .
可得 ,则 .
第13题
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ；
①当 , 时, , , 故
；
②当 , 时, , , 故 ;
综合①②,得 或3.
故答案为 或3.
利用诱导公式可得 ,根据同角三角函数关系式,得 ,从而求得 ,
的值,进而求得 .
第14题
1. 解:设等腰△ABC中, AB=AC=2,
BC=2√3,顶点A折叠后落在BC上的点A’(t,0)。
以B(-√3,0)、C(√3,0)、A(0,1)建立坐标系。DE
为 的垂直平分线, 在 上,设 ,满
足 且 。
AB的方程为 , AA’的中点为
,斜率为_ ,故DE的斜率为 ,方程
为 。
联立AB与DE方程,结合AD=A’D条件,解得D点
横坐标 。AD长度为 ,
化简得 。
分析函数最小值,当 时, AD取得最小
值 。
答:线段AD的长度的最小值为 。
第15题
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式,考查运算求解能力.
(1)由正弦定理化简已知等式可得 ,利用余弦定理可求 ,结合范围 ,可求 的值; (2)由已知利用三角形的内角和定理可求 的值,由正弦定理可得 , 的值,即可计算得解 的周长.
解:(1)因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 .
(2)因为 ,
所以 ,
由正弦定理 ,可得 ,
解得 ,
所以 的周长 .
第16题
13.(1) 由题可得
( 6 分)
(2) 由 可得 ,即
对于 当 时,点 与点 重合,显然不符合题意,同理当 时,也不符合题意,所以 ,(8 分) 由 可得 ,即
因为 三点共线,所以 , (10 分)
则 (13 分)
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 的最小值为 . (15 分) 第17题
3.【解】( 1 )由 ,得 .
在 中,由正弦定理得
.
因为 ,
所以 .
又 , 所以 .
(2)选条件①: .
在 中,由正弦定理得
,则 .
因为 为钝角,所以 .
在 中, ,所以由余弦定理得
即 ,
解得 或 (舍).
所以
选条件 ②: 因为 为钝角,所以 为锐角,而 ,
点悟:运用三角函数的单调性判断角的大小时, 需说明两角在同一单调区间内
所以 ,
因为 ,与 矛盾,此时 不存在.
选条件③: 的周长为 .
在 中,由正弦定理得 ,则 .
因为 为钝角,所以 .
因为 的周长为 ,所以 .
在 中,由余弦定理得 ,
即 ,解得 .
所以
第18题
(1)由 , ,不妨设 ,则 ,
在等边 中, ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,
在 中, , , , ,
,所以 ,
同理可求: ；
(2)要使 为等腰直角三角形,只需 ,
所以 ,
整理得 ,
因为 ,所以 ,
所以 ;
(3)由 可得: ,则 ,
所以 ,
令 ,则 ,其中
所以 , 解得: ,
所以当 时,存在 ,使得 ,
所以 .
(1)分别利用正弦定理表示出 , ;
(2)由 得到 ,利用三角函数求出 的取值范围；
(3)建立三角形面积的函数关系式,利用三角函数求出最小值.
第19题
所以 .
(2)存在实数 使等式成立,理由如下:
由(1)得 ,
由余弦定理得: , ,
I
所以 时,存在实数 使 .
(3)当 时,由(1)得 ,
由(2)得, ,
在 中,由余弦定理得 ,
于是
,当且仅当 且 时取等号,
由 ,得 ,
即当且仅当 且 时取等号,
因此 ,而 ,所以 为等边三角形.
(1)利用三角形面积公式推理得证.
(2)利用余弦定理,结合(1)的结论及二倍角的正弦公式求解.
(3)由(1)(2)的结论可得 ,再利用余弦定理、三角形面积公式,结合辅助角公式及基本不等式推理判断即可得解.
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