2025-2026学年下学期安徽铜陵高三数学3月第一次质检试卷含（答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期安徽铜陵高三数学3月第一次质检试卷含（答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 491.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-26 00:00:00 | ||
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文档简介
数学试卷
考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3. 考生作答时,请将答案答在答题卡上. 选择题每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效, 在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 ,则 的最小值为 ( )
A. 3 B. 2 C. D. 1
3. 已知复数 ,则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 2026 年央视春晚舞蹈机器人节目《武 Bot》惊艳全球！其中,机器人以 “似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合. 根据系统日志,一个机器人执行“后空翻”任务时,落地状态仅存在三种互斥的情况:
①平稳落地 (概率为 0.7):动作精准,必定能站稳；
②踉跄落地 (概率为 0.2):重心略偏,90% 能站稳；
③近乎倒地 (概率为 0.1 ):姿态失衡,50% 能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为( )
A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93
5. 已知双曲线 分别为左、右焦点,过 且倾斜角为 的直线 与 在第一象限的交点为 的平分线与线段 交于点 . 若 ,则该双曲线的离心率是 ( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数, 关于(2,0)中心对称,则下列说法正确的是 ( )
A. 的一个周期为 6 B.
C. D.
7. 黑龙江省实验中学科技节活动,将 4 位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动,若每个地点至少需要 1 名学生,每位志愿者仅去一个地点,则不同的分配方法种数为 ( )
A. 81 B. 72 C. 36 D. 12
8. 已知函数 ,若对任意的 ,存在唯一的 ,使得 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.(e,8)
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则函数 的最小值为 3
B. 若 ,则 的最小值为
C. 函数 的最小值为
D. 若 ,且 ,则
10. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. B. 数列 有最小项
C. 数列 为递减数列 D.
11. 已知双曲线 的离心率为 ,其左、右焦点分别为 ,点 在 的右支上,直线 与 交于另一点 的中点为 为坐标原点,则下列说法错误的是 ( )
A. 存在点 ,使得直线 的斜率为 2 B. 存在点 ,使得
C. 存在点 ,使得 D. 存在点 ,使得点 的横坐标为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 双曲线 的一个焦点在抛物线 的准线上,则抛物线的标准方程为_____.
13. 在 中,角 的对边分别为 ,若 且 ,则 _____.
14. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币 (正面向上和反面向上的概率均为 ),当向上的结果出现 “正面- 反面”或“反面 - 正面”时,游戏结束. 若抛掷 50 次,向上的结果没有出现 “正面 - 反面” 或 “反面 - 正面”,游戏也结束. 游戏结束时,记抛掷总次数为 ,若 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的内角 的对边分别是 .
(1) 求角 的大小;
(2)若 ,求 .
16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效, 从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取 2000 名得到如下列联表:
效果明显 效果不明显 合计
甲方案 1000 200 1200
乙方案 600 200 800
合计 1600 400 2000
(1)根据小概率值 的独立性检验,分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在 800 名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取 8 人,再从这 8 名患者中随机抽取 4 人,设 表示 4 名患者中效果不明显的人数,求 的分布列和数学期望.
附: 。
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
17. 如图, 分别是圆柱 的上底面,下底面的直径,且 , , 分别是圆 上在 同侧的两点,且 是线段 上一点 (不含端点).
(1) 求证: 平面 ;
(2)已知圆柱 的高为 6,表面积为 ,求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知函数 .
(1) 若 ,求 的单调区间;
(2) 成立,求实数 的取值范围；
(3) 若 时, 与 的图象有三个交点,横坐标分别为 ,求证: .
19. 已知双曲线 的左顶点 ,一条渐近线方程为 .
(1) 求双曲线 的标准方程;
(2)设双曲线 的右顶点为 为直线 上的动点,连接 交双曲线于 两点 (异于 ,记直线 与 轴的交点为 .
① 求证: 为定点;
②直线 交直线 于点 ,记 . 求证: 为定值.
数学试卷
考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3. 考生作答时,请将答案答在答题卡上. 选择题每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效, 在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】
,则 ,
故选:
2. 已知 ,则 的最小值为 ( )
A. 3 B. 2 C. D. 1
【答案】
因为 ,所以 ,当且仅当 时取等号,
.
故选: .
3. 已知复数 ,则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】
,
.
故选: .
4. 2026 年央视春晚舞蹈机器人节目《武 Bot》惊艳全球! 其中,机器人以 “似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合. 根据系统日志,一个机器人执行“后空翻”任务时,落地状态仅存在三种互斥的情况:
①平稳落地 (概率为 0.7):动作精准,必定能站稳；
②踉跄落地 (概率为 0.2):重心略偏,90% 能站稳；
③近乎倒地 (概率为 0.1 ): 姿态失衡,50% 能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为( )
A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93
【答案】
.
5. 已知双曲线 分别为左、右焦点,过 且倾斜角为 的直线 与 在第一象限的交点为 的平分线与线段 交于点 . 若 ,则该双曲线的离心率是 ( )
A. B. C. D.
【答案】
因为直线 的 ,由角平分线性质定理可知 ,
所以 ,由双曲线的定义可知 ,所以 ,
在 中由余弦定理可得 ,
即 ,整理得 ,
两边同除以 可得 ,解得 或 (舍去).
故选:
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数, 关于(2,0)中心对称,则下列说法正确的是 ( )
A. 的一个周期为 6 B.
C. D.
【答案】
选项 的图像向左平移 1 个单位得到 ,
又 关于(2,0)中心对称,
关于(1,0)中心对称, ,
将 式子中的 用 代替,得到 ,
是定义在 上的偶函数, ,
,将此式子中的 用 代替,得到 ,
则 是一个以 4 为周期的周期函数,故选项 错误;
选项 关于(1,0)中心对称, 的定义域为 ,
是定义在 上的偶函数, ,故选项 正确;
选项 ,但是 根据题中已知条件无法得到,故选项 错误;
选项 是一个以 4 为周期的周期函数,
,
,
,
,
,
仅根据已知条件无法确定其值,故不能得出 ,故选项 错误.
7. 黑龙江省实验中学科技节活动,将 4 位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动,若每个地点至少需要 1 名学生,每位志愿者仅去一个地点,则不同的分配方法种数为 ( )
A. 81 B. 72 C. 36 D. 12
【答案】
先从四人中选出两人当成一组,共 种分法,
再将三组人进行分配,共 种,
故共有 种分配方法.
8. 已知函数 ,若对任意的 ,存在唯一的 ,使得 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.(e,8)
【答案】
由 可得 ,
当 时, ; 当 时, ;
所以 在(-1,0)单调递减,在(0,1)单调递增,
所以 ,
所以 在 上的值域为 ,记 ,
,的对称轴为 ,
所以函数 的值域为 ,
又 ,且 ,在 上单调递减,
要使方程 有唯一解,则 的取值集合为 ,
所以 ,记 ,
若对任意的 ,存在唯一的 ,使得 ,
则 ,所以 ,解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则函数 的最小值为 3
B. 若 ,则 的最小值为
C. 函数 的最小值为
D. 若 ,且 ,则
【答案】
对于 ,
,
当且仅当 ,即 时,取得最大值 -1 ,故 错误;
对于 ,
当且仅当 时, 取到最小值为 ,故 正确;
对于
当且仅当 时,取等号,故 正确;
对于 ,当 ,且 时, ,
当且仅当 取最大值 ,故 正确.
故选:
10. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. B. 数列 有最小项
C. 数列 为递减数列 D.
【答案】
设正项等比数列 公比为 ,
对于 ,由题意得 ,
结合 ,解得 或 (舍去),故 正确;
对于 和 , ,故数列 为递减数列,无最小项,故 错误, 正确；
对于 ,则 ,故 正确,
故选: .
11. 已知双曲线 的离心率为 ,其左、右焦点分别为 ,点 在 的右支上,直线 与 交于另一点 的中点为 为坐标原点,则下列说法错误的是 ( )
A. 存在点 ,使得直线 的斜率为 2 B. 存在点 ,使得
C. 存在点 ,使得 D. 存在点 ,使得点 的横坐标为
【答案】
设点 ,
由题知离心率 ,解得 ,
故有 ,双曲线 的渐近线为 ,
对于 选项,如果存在点 ,使得直线 的斜率为 2,
直线 与渐近线平行,不会与双曲线有两个交点,故 错误;
对于 选项: ,若 ,即 ,
可得 ,即: (①),
而 位于双曲线右支上,其中 ,
故有: ,即: ,
联立①②两个等式可得: ,又 ,此时 ,由选
项 可知不合题意,故 选项错误;
对于 选项: 由 ,即: ,化简得: ,由点 在 的右支上可知: ,故存在点 ,使得 ,故 选项正确;
对于 选项: 设 ,
而 ,带入化简得: ,而 ,
故 ,可知不存在这样的点 使等式成立,
故不存在点 ,使得点 的横坐标为 ,故 选项错误.
下面为证明: ,
的中点为 ,根据中点坐标公式可知 ,故 ,
,故 ,
而 两点均位于双曲线上,故: (③)
,用③ 减④ 得: ,
化简得 ,故 ,证毕.
故选:
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 双曲线 的一个焦点在抛物线 的准线上,则抛物线的标准方程为
_____.
【答案】
由双曲线 ,可得 ,则 ,
又由抛物线 的准线的方程为 ,
因为双曲线 的一个焦点在抛物线 的准线上,
所以 ,解得 ,所以抛物线的标准方程为 .
故答案为: .
13. 在 中,角 的对边分别为 ,若 且 ,则 _____.
【答案】4
三角形内角和 ,
,
,
,故 ,
是三角形内角, ,故 ,则 ,
,
根据正弦定理得 ,
,
.
故答案为: 4.
14. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币(正面向上和反面向上的概率均为 ),当向上的结果出现 “正面- 反面”或“反面 - 正面”时,游戏结束. 若抛掷 50 次,向上的结果没有出现 “正面 - 反面”或 “反面 - 正面”,游戏也结束. 游戏结束时,记抛掷总次数为 ,若 ,则 的最小值为_____.
【答案】3
抛掷总次数
,其中
所以
相减得
所以 ,所以正整数 的最小值为 3 .
故答案为: 3 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的内角 的对边分别是 .
(1) 求角 的大小;
(2)若 ,求 .
【答案】
【小问 1 】
已知 边角互换得 ,
因为 ,
则 ,即 .
又因为 是 的内角,所以
可得 .
【小问 2 】
余弦定理: ,将 代入得
整理得
解得 。
16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效, 从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取 2000 名得到如下
列联表:
效果明显 效果不明显 合计
甲方案 1000 200 1200
乙方案 600 200 800
合计 1600 400 2000
(1)根据小概率值 的独立性检验,分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在 800 名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取 8 人,再从这 8 名患者中随机抽取 4 人,设 表示 4 名患者中效果不明显的人数,求 的分布列和数学期望.
附: .
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
【小问 1 】
零假设为 : 治疗效果与选择甲、乙方案无关联,
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,故治疗效果与选择甲、乙方案有关联.
【小问 2 】
根据分层随机抽样方法可知,从效果明显的患者中抽取 名,从效果不明显的患者中抽取
名,
的取值分别为0,1,2,
则 ,
所以 的分布列为
0 1 2
17. 如图, 、 分别是圆柱 的上底面,下底面的直径,且 , , 分别是圆 上在 同侧的两点,且 是线段 上一点 (不含端点).
(1) 求证: 平面 ;
(2)已知圆柱 的高为 6,表面积为 ,求平面 与平面 夹角的余弦值.
【小问 1 】
证法一: 因为 分别是圆 上在 同侧的两点,
且 ,
所以 是等边三角形, ,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 分别是圆柱 的上底面,下底面的直径,且 ,
所以 ,
所以四边形 是平行四边形,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 平面 平面 ,
所以平面 平面 ,又 平面 ,所以 平面 ,
证法二: 如图,在线段 上取一点 ,使得 ,
因为 分别是圆 上在 同侧的两点,且 ,
所以 是等边三角形, ,所以 ,
又 ,所以四边形 是平行四边形, ,
因为 分别是圆柱 的上底面,下底面的直径,且 ,
所以 ,
所以 ,四边形 是平行四边形,所以 .
又 平面 平面 ,所以 平面 ;
【小问 2 】
解: 在圆 中过点 作 ,又 平面 平面 ,
所以 ,以 为原点, 所在直线分别为 轴,
轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设圆柱 的底面半径为 ,
因为圆柱 的高为 6,表面积为 ,
所以 ,即 ,
解得 或 ,
因为 ,
所以 ,
,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得 ,
即 为平面 的一个法向量,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得 ,
即 为平面 的一个法向量,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18. 已知函数 .
(1) 若 ,求 的单调区间;
(2) 成立,求实数 的取值范围；
(3) 若 时, 与 的图象有三个交点,横坐标分别为
,求证: .
19.【答案】( 1 )递减区间为 ,递增区间为
(2)
(3) 略
考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3. 考生作答时,请将答案答在答题卡上. 选择题每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效, 在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 ,则 的最小值为 ( )
A. 3 B. 2 C. D. 1
3. 已知复数 ,则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 2026 年央视春晚舞蹈机器人节目《武 Bot》惊艳全球！其中,机器人以 “似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合. 根据系统日志,一个机器人执行“后空翻”任务时,落地状态仅存在三种互斥的情况:
①平稳落地 (概率为 0.7):动作精准,必定能站稳；
②踉跄落地 (概率为 0.2):重心略偏,90% 能站稳；
③近乎倒地 (概率为 0.1 ):姿态失衡,50% 能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为( )
A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93
5. 已知双曲线 分别为左、右焦点,过 且倾斜角为 的直线 与 在第一象限的交点为 的平分线与线段 交于点 . 若 ,则该双曲线的离心率是 ( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数, 关于(2,0)中心对称,则下列说法正确的是 ( )
A. 的一个周期为 6 B.
C. D.
7. 黑龙江省实验中学科技节活动,将 4 位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动,若每个地点至少需要 1 名学生,每位志愿者仅去一个地点,则不同的分配方法种数为 ( )
A. 81 B. 72 C. 36 D. 12
8. 已知函数 ,若对任意的 ,存在唯一的 ,使得 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.(e,8)
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则函数 的最小值为 3
B. 若 ,则 的最小值为
C. 函数 的最小值为
D. 若 ,且 ,则
10. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. B. 数列 有最小项
C. 数列 为递减数列 D.
11. 已知双曲线 的离心率为 ,其左、右焦点分别为 ,点 在 的右支上,直线 与 交于另一点 的中点为 为坐标原点,则下列说法错误的是 ( )
A. 存在点 ,使得直线 的斜率为 2 B. 存在点 ,使得
C. 存在点 ,使得 D. 存在点 ,使得点 的横坐标为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 双曲线 的一个焦点在抛物线 的准线上,则抛物线的标准方程为_____.
13. 在 中,角 的对边分别为 ,若 且 ,则 _____.
14. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币 (正面向上和反面向上的概率均为 ),当向上的结果出现 “正面- 反面”或“反面 - 正面”时,游戏结束. 若抛掷 50 次,向上的结果没有出现 “正面 - 反面” 或 “反面 - 正面”,游戏也结束. 游戏结束时,记抛掷总次数为 ,若 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的内角 的对边分别是 .
(1) 求角 的大小;
(2)若 ,求 .
16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效, 从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取 2000 名得到如下列联表:
效果明显 效果不明显 合计
甲方案 1000 200 1200
乙方案 600 200 800
合计 1600 400 2000
(1)根据小概率值 的独立性检验,分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在 800 名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取 8 人,再从这 8 名患者中随机抽取 4 人,设 表示 4 名患者中效果不明显的人数,求 的分布列和数学期望.
附: 。
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
17. 如图, 分别是圆柱 的上底面,下底面的直径,且 , , 分别是圆 上在 同侧的两点,且 是线段 上一点 (不含端点).
(1) 求证: 平面 ;
(2)已知圆柱 的高为 6,表面积为 ,求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知函数 .
(1) 若 ,求 的单调区间;
(2) 成立,求实数 的取值范围；
(3) 若 时, 与 的图象有三个交点,横坐标分别为 ,求证: .
19. 已知双曲线 的左顶点 ,一条渐近线方程为 .
(1) 求双曲线 的标准方程;
(2)设双曲线 的右顶点为 为直线 上的动点,连接 交双曲线于 两点 (异于 ,记直线 与 轴的交点为 .
① 求证: 为定点;
②直线 交直线 于点 ,记 . 求证: 为定值.
数学试卷
考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3. 考生作答时,请将答案答在答题卡上. 选择题每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效, 在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】
,则 ,
故选:
2. 已知 ,则 的最小值为 ( )
A. 3 B. 2 C. D. 1
【答案】
因为 ,所以 ,当且仅当 时取等号,
.
故选: .
3. 已知复数 ,则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】
,
.
故选: .
4. 2026 年央视春晚舞蹈机器人节目《武 Bot》惊艳全球! 其中,机器人以 “似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合. 根据系统日志,一个机器人执行“后空翻”任务时,落地状态仅存在三种互斥的情况:
①平稳落地 (概率为 0.7):动作精准,必定能站稳；
②踉跄落地 (概率为 0.2):重心略偏,90% 能站稳；
③近乎倒地 (概率为 0.1 ): 姿态失衡,50% 能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为( )
A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93
【答案】
.
5. 已知双曲线 分别为左、右焦点,过 且倾斜角为 的直线 与 在第一象限的交点为 的平分线与线段 交于点 . 若 ,则该双曲线的离心率是 ( )
A. B. C. D.
【答案】
因为直线 的 ,由角平分线性质定理可知 ,
所以 ,由双曲线的定义可知 ,所以 ,
在 中由余弦定理可得 ,
即 ,整理得 ,
两边同除以 可得 ,解得 或 (舍去).
故选:
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数, 关于(2,0)中心对称,则下列说法正确的是 ( )
A. 的一个周期为 6 B.
C. D.
【答案】
选项 的图像向左平移 1 个单位得到 ,
又 关于(2,0)中心对称,
关于(1,0)中心对称, ,
将 式子中的 用 代替,得到 ,
是定义在 上的偶函数, ,
,将此式子中的 用 代替,得到 ,
则 是一个以 4 为周期的周期函数,故选项 错误;
选项 关于(1,0)中心对称, 的定义域为 ,
是定义在 上的偶函数, ,故选项 正确;
选项 ,但是 根据题中已知条件无法得到,故选项 错误;
选项 是一个以 4 为周期的周期函数,
,
,
,
,
,
仅根据已知条件无法确定其值,故不能得出 ,故选项 错误.
7. 黑龙江省实验中学科技节活动,将 4 位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动,若每个地点至少需要 1 名学生,每位志愿者仅去一个地点,则不同的分配方法种数为 ( )
A. 81 B. 72 C. 36 D. 12
【答案】
先从四人中选出两人当成一组,共 种分法,
再将三组人进行分配,共 种,
故共有 种分配方法.
8. 已知函数 ,若对任意的 ,存在唯一的 ,使得 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.(e,8)
【答案】
由 可得 ,
当 时, ; 当 时, ;
所以 在(-1,0)单调递减,在(0,1)单调递增,
所以 ,
所以 在 上的值域为 ,记 ,
,的对称轴为 ,
所以函数 的值域为 ,
又 ,且 ,在 上单调递减,
要使方程 有唯一解,则 的取值集合为 ,
所以 ,记 ,
若对任意的 ,存在唯一的 ,使得 ,
则 ,所以 ,解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则函数 的最小值为 3
B. 若 ,则 的最小值为
C. 函数 的最小值为
D. 若 ,且 ,则
【答案】
对于 ,
,
当且仅当 ,即 时,取得最大值 -1 ,故 错误;
对于 ,
当且仅当 时, 取到最小值为 ,故 正确;
对于
当且仅当 时,取等号,故 正确;
对于 ,当 ,且 时, ,
当且仅当 取最大值 ,故 正确.
故选:
10. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. B. 数列 有最小项
C. 数列 为递减数列 D.
【答案】
设正项等比数列 公比为 ,
对于 ,由题意得 ,
结合 ,解得 或 (舍去),故 正确;
对于 和 , ,故数列 为递减数列,无最小项,故 错误, 正确；
对于 ,则 ,故 正确,
故选: .
11. 已知双曲线 的离心率为 ,其左、右焦点分别为 ,点 在 的右支上,直线 与 交于另一点 的中点为 为坐标原点,则下列说法错误的是 ( )
A. 存在点 ,使得直线 的斜率为 2 B. 存在点 ,使得
C. 存在点 ,使得 D. 存在点 ,使得点 的横坐标为
【答案】
设点 ,
由题知离心率 ,解得 ,
故有 ,双曲线 的渐近线为 ,
对于 选项,如果存在点 ,使得直线 的斜率为 2,
直线 与渐近线平行,不会与双曲线有两个交点,故 错误;
对于 选项: ,若 ,即 ,
可得 ,即: (①),
而 位于双曲线右支上,其中 ,
故有: ,即: ,
联立①②两个等式可得: ,又 ,此时 ,由选
项 可知不合题意,故 选项错误;
对于 选项: 由 ,即: ,化简得: ,由点 在 的右支上可知: ,故存在点 ,使得 ,故 选项正确;
对于 选项: 设 ,
而 ,带入化简得: ,而 ,
故 ,可知不存在这样的点 使等式成立,
故不存在点 ,使得点 的横坐标为 ,故 选项错误.
下面为证明: ,
的中点为 ,根据中点坐标公式可知 ,故 ,
,故 ,
而 两点均位于双曲线上,故: (③)
,用③ 减④ 得: ,
化简得 ,故 ,证毕.
故选:
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 双曲线 的一个焦点在抛物线 的准线上,则抛物线的标准方程为
_____.
【答案】
由双曲线 ,可得 ,则 ,
又由抛物线 的准线的方程为 ,
因为双曲线 的一个焦点在抛物线 的准线上,
所以 ,解得 ,所以抛物线的标准方程为 .
故答案为: .
13. 在 中,角 的对边分别为 ,若 且 ,则 _____.
【答案】4
三角形内角和 ,
,
,
,故 ,
是三角形内角, ,故 ,则 ,
,
根据正弦定理得 ,
,
.
故答案为: 4.
14. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币(正面向上和反面向上的概率均为 ),当向上的结果出现 “正面- 反面”或“反面 - 正面”时,游戏结束. 若抛掷 50 次,向上的结果没有出现 “正面 - 反面”或 “反面 - 正面”,游戏也结束. 游戏结束时,记抛掷总次数为 ,若 ,则 的最小值为_____.
【答案】3
抛掷总次数
,其中
所以
相减得
所以 ,所以正整数 的最小值为 3 .
故答案为: 3 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的内角 的对边分别是 .
(1) 求角 的大小;
(2)若 ,求 .
【答案】
【小问 1 】
已知 边角互换得 ,
因为 ,
则 ,即 .
又因为 是 的内角,所以
可得 .
【小问 2 】
余弦定理: ,将 代入得
整理得
解得 。
16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效, 从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取 2000 名得到如下
列联表:
效果明显 效果不明显 合计
甲方案 1000 200 1200
乙方案 600 200 800
合计 1600 400 2000
(1)根据小概率值 的独立性检验,分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在 800 名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取 8 人,再从这 8 名患者中随机抽取 4 人,设 表示 4 名患者中效果不明显的人数,求 的分布列和数学期望.
附: .
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
【小问 1 】
零假设为 : 治疗效果与选择甲、乙方案无关联,
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,故治疗效果与选择甲、乙方案有关联.
【小问 2 】
根据分层随机抽样方法可知,从效果明显的患者中抽取 名,从效果不明显的患者中抽取
名,
的取值分别为0,1,2,
则 ,
所以 的分布列为
0 1 2
17. 如图, 、 分别是圆柱 的上底面,下底面的直径,且 , , 分别是圆 上在 同侧的两点,且 是线段 上一点 (不含端点).
(1) 求证: 平面 ;
(2)已知圆柱 的高为 6,表面积为 ,求平面 与平面 夹角的余弦值.
【小问 1 】
证法一: 因为 分别是圆 上在 同侧的两点,
且 ,
所以 是等边三角形, ,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 分别是圆柱 的上底面,下底面的直径,且 ,
所以 ,
所以四边形 是平行四边形,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 平面 平面 ,
所以平面 平面 ,又 平面 ,所以 平面 ,
证法二: 如图,在线段 上取一点 ,使得 ,
因为 分别是圆 上在 同侧的两点,且 ,
所以 是等边三角形, ,所以 ,
又 ,所以四边形 是平行四边形, ,
因为 分别是圆柱 的上底面,下底面的直径,且 ,
所以 ,
所以 ,四边形 是平行四边形,所以 .
又 平面 平面 ,所以 平面 ;
【小问 2 】
解: 在圆 中过点 作 ,又 平面 平面 ,
所以 ,以 为原点, 所在直线分别为 轴,
轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设圆柱 的底面半径为 ,
因为圆柱 的高为 6,表面积为 ,
所以 ,即 ,
解得 或 ,
因为 ,
所以 ,
,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得 ,
即 为平面 的一个法向量,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得 ,
即 为平面 的一个法向量,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18. 已知函数 .
(1) 若 ,求 的单调区间;
(2) 成立,求实数 的取值范围；
(3) 若 时, 与 的图象有三个交点,横坐标分别为
,求证: .
19.【答案】( 1 )递减区间为 ,递增区间为
(2)
(3) 略
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