浙江省金华市曙光学校2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、错选均不得分.
1．（2025高二下·金东期中）设集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x+1>0}，则集合A∩B等于（ ）
A．{x|-2≤x≤-1} B．{x|-2≤x<-1}
C．{x|-12．（2025高二下·金东期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高二下·金东期中）设是一个离散型随机变量，其分布列为
0 1
则等于（ ）
A．1 B．或 C． D．
4．（2025高二下·金东期中）已知函数，则=（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2
5．（2025高二下·金东期中）判断下面结论正确的个数是（ ）
①函数的单调递减区间是；
②对于函数，，若，且，则函数在D上是增函数；
③函数是R上的增函数；
④已知，则
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2025高二下·金东期中）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·金东期中）函数有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高二下·金东期中）将《傲慢与偏见》《巴黎圣母院》等六本不同的国外名著按如图所示的方式竖放在一起，则《傲慢与偏见》放在最前面或最后面的不同放法共有（ ）
A．120种 B．240种 C．200种 D．180种
9．（2025高二下·金东期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025高二下·金东期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025高二下·金东期中）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025高二下·金东期中）已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错得0分.
13．（2025高二下·金东期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
14．（2025高二下·金东期中）饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班（A班，B班）5月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（ ）
A．班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41
B．班5月产生饮料瓶数的第75百分位数
C．已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在之间
D．
15．（2025高二下·金东期中）已知函数的定义域为R，对任意都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．的周期为4 D．为偶函数
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.
16．（2025高二下·金东期中）设函数.若函数的图象过点，则的值为 .
17．（2025高二下·金东期中）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人.
18．（2025高二下·金东期中）已知是定义在上的偶函数，则 .
19．（2025高二下·金东期中）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数有 个
四、解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
20．（2025高二下·金东期中）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：
（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．
21．（2025高二下·金东期中）已知是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）作的图象；
（3）若函数在区间上单调递增，求的取值范围．（不必写出演算过程）
22．（2025高二下·金东期中）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有最大值，且，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合B={x|x+1>0}={x|x>-1}，集合A={x|-2≤x≤3}，则A∩B={x|-1故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：当时，若，则，即“”不是“”充分条件；
当时，，即“”是“”必要条件，
综上所述，“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件；若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件.由不等式性质可知，若，则；若，则（ 两边同时乘以一个正数不会改变不等式的方向 ），因此条件为结论的必要不充分条件.
3．【答案】D
【知识点】概率分布列
【解析】【解答】解：由离散型随机变量分布列的性质得，解得．
故答案为：D．
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，列不等式组求解即可.
4．【答案】B
【知识点】函数的值；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数，易知，，
则.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数直接求值即可.
5．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解|：①、函数的单调递减区间不能，故①错误；
②、由，可得，则与同号，即函数在D上是增函数，故②正确；
③、当和时，，所以不是R上的增函数，故③错误；
④、因为，所以，故④正确.
故答案为：B.
【分析】根据函数的单调区间不能即可判断①；根据函数单调性的定义即可判断②；举例即可判断③；利用配凑法求解析式即可判断④.
6．【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，
则甲以4比2获胜的概率为．
故答案为：D．
【分析】根据题意，只需前5场甲赢3场，再利用独立事件乘法求概率公式，从而得出甲以4比2获胜的概率．
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为有极值，所以函数有变号零点，即有2个不相等的实数根，
则，解得.
故答案为：B．
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得有变号零点，即有2个不相等的实数根，则，解一元二次不等式即可得实数a的取值范围 ．
8．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：除了 《傲慢与偏见》 其它的5本书任意排列有种方法；
则《傲慢与偏见》放在最前面或最后面的不同放法共有：种.
故答案为：B．
【分析】先排列除《傲慢与偏见》 其它的5本书，再分《傲慢与偏见》排在最前面或最后面有两种选择结合排列数公式求解即可.
9．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：要使有意义，则，解得，
则，且，
满足，即为奇函数，排除BC；
当且时，，排除A.
故答案为：D．
【分析】根据有意义，列式求得函数的定义域，化简函数解析式，确定函数的奇偶性，结合函数值的变化判断即可．
10．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：设，则圆的半径为，
，
在中，，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故答案为：D.
【分析】设，求得圆的半径，利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理求，根据，即可得正确答案．
11．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】对于A：因为h(x)= f(x-1)-1，则h(-X)h(X)，所以h(X)不是奇函数，故A不符合；
对于B：因为h(x)= f(x-1)+1，则h(-X)＝h(X)，所以h(X)是奇函数，故B符合；
对于C：h(x)= f(x+1)－1，则h(-X)h(X)，所以C不符合； 对于D：h(x)= f(x+1)+1，则h(-X)≠h(X)，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】设选项的各个函数是h(x)，分别计算h(-x)，与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。
12．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的图像，如图所示：
若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，
则函数的图像与直线有三个交点，
若直线经过原点时，m＝0，
若直线与函数的图像相切，
令，
令，解得，故.
故答案为：D．
【分析】作出函数的图象，问题转化为函数的图像与直线有三个交点，数形结合求解即可.
13．【答案】C,D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，，故C正确；
D、，，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据根式与分数指数幂的互化求解，逐项判断即可.
14．【答案】A,B,D
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为
，故A正确；
B、，
，
故班5月产生饮料瓶数的第75百分位数位于中，
所以，解得，故B正确；
C、A班和B班5月份产生饮料瓶数在的频率均为，
故该校学生5月份产生饮料瓶数在的频率也为，
因为，所以该校约有200人5月份产生饮料瓶数在之间，故C错误；
D、根据频率分布直方图各矩形面积和1可得：，
解得，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据频率分布直方图计算平均值即可判断A；先根据频率分布直方图各矩形面积和1列式求m的值，再计算百分位数即可判断B；先计算饮料瓶数在之间的频率，再计算瓶数即可判断C ；根据频率分布直方图各矩形面积和1列式求解即可判断D．
15．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由，可得的图象关于直线对称，故A正确，B错误；
因为函数的图象关于直线对称，所以，
又因为，所以，则函数的周期为4，故C正确；
函数，则为偶函数，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】由求得函数的对称轴即可判断AB；根据函数的对称性可得，再根据求得函数的周期即可判断C；由得为偶函数即可判断D.
16．【答案】10
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数的图象过点 ，所以，解得.
故答案为：10.
【分析】将点代入求的值即可.
17．【答案】8
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为考试的成绩X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
因为，所以.
则该班数学成绩在120分以上的人数为.
故答案为：8.
【分析】由考试的成绩X服从正态分布，可得正态曲线关于对称，由求得，再计算该班学生数学成绩在120分以上的人数即可 .
18．【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数是定义在上的偶函数，
所以，解得，
则
故答案为：．
【分析】根据为偶函数，定义域关于原点对称，且列式求得a、b的值，即可得的值．
19．【答案】12
【知识点】函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，所以，即函数是周期为2函数，
当时，，
作出它的图象，则的图象，再作出函数的图象，如图所示：
由图可知：交点为12个，则函数在区间内的零点个数有12个.
故答案为：.
【分析】由可得函数是周期为2函数，作出函数和的图像，问题转化为与图象交点个数问题，数形结合求解即可.
20．【答案】解：（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同，
设其打破世界纪录的项目数为随机变量，
“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则；
（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知，，
则，
，
，
，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
期望．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）设其打破世界纪录的项目数为随机变量，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同，根据二项分布的概率公式和互斥事件的概率公式求解即可；
（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知，，利用二项分布求得相应的概率，列出分布列，再求数学期望即可.
21．【答案】（1）解：当时，，则，
因为函数是奇函数，所以，则；
（2）解：当时，，当时，，
当时，，
则函数图象，如图所示：
（3）解：由图可知：若在区间上单调递增，则，解得，
故实数a的取值范围是．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【分析】（1）当时，，根据函数解析式，结合函数为奇函数求的值即可；
（2）结合二次函数的图象画出分段函数的图象即可；
（3）由（2）的函数图象，利用函数的单调性列不等式求解即可.
（1）设，则，所以，
因为函数是奇函数，所以，
所以；
（2）当时，，当时，，
当时，，
故函数图象如图所示：
（3）要使在区间上单调递增，
结合图象可知，，解得，
所以实数a的取值范围是．
22．【答案】解：（1）函数的定义域为，求导可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，无最大值，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，取得最大值，
即，
因此有，得，
设，则，所以在内单调递增，
又，所以，得，
故实数的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导函数，分、讨论判断导函数的符号，即可求解函数的单调性；
（2）根据（1）可知： 函数有最大值 ，得，设，求导，利用导数判断函数的单调性，结合求解即可．
1 / 1浙江省金华市曙光学校2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、错选均不得分.
1．（2025高二下·金东期中）设集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x+1>0}，则集合A∩B等于（ ）
A．{x|-2≤x≤-1} B．{x|-2≤x<-1}
C．{x|-1【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合B={x|x+1>0}={x|x>-1}，集合A={x|-2≤x≤3}，则A∩B={x|-1故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025高二下·金东期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：当时，若，则，即“”不是“”充分条件；
当时，，即“”是“”必要条件，
综上所述，“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件；若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件.由不等式性质可知，若，则；若，则（ 两边同时乘以一个正数不会改变不等式的方向 ），因此条件为结论的必要不充分条件.
3．（2025高二下·金东期中）设是一个离散型随机变量，其分布列为
0 1
则等于（ ）
A．1 B．或 C． D．
【答案】D
【知识点】概率分布列
【解析】【解答】解：由离散型随机变量分布列的性质得，解得．
故答案为：D．
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，列不等式组求解即可.
4．（2025高二下·金东期中）已知函数，则=（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2
【答案】B
【知识点】函数的值；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数，易知，，
则.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数直接求值即可.
5．（2025高二下·金东期中）判断下面结论正确的个数是（ ）
①函数的单调递减区间是；
②对于函数，，若，且，则函数在D上是增函数；
③函数是R上的增函数；
④已知，则
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解|：①、函数的单调递减区间不能，故①错误；
②、由，可得，则与同号，即函数在D上是增函数，故②正确；
③、当和时，，所以不是R上的增函数，故③错误；
④、因为，所以，故④正确.
故答案为：B.
【分析】根据函数的单调区间不能即可判断①；根据函数单调性的定义即可判断②；举例即可判断③；利用配凑法求解析式即可判断④.
6．（2025高二下·金东期中）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，
则甲以4比2获胜的概率为．
故答案为：D．
【分析】根据题意，只需前5场甲赢3场，再利用独立事件乘法求概率公式，从而得出甲以4比2获胜的概率．
7．（2025高二下·金东期中）函数有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为有极值，所以函数有变号零点，即有2个不相等的实数根，
则，解得.
故答案为：B．
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得有变号零点，即有2个不相等的实数根，则，解一元二次不等式即可得实数a的取值范围 ．
8．（2025高二下·金东期中）将《傲慢与偏见》《巴黎圣母院》等六本不同的国外名著按如图所示的方式竖放在一起，则《傲慢与偏见》放在最前面或最后面的不同放法共有（ ）
A．120种 B．240种 C．200种 D．180种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：除了 《傲慢与偏见》 其它的5本书任意排列有种方法；
则《傲慢与偏见》放在最前面或最后面的不同放法共有：种.
故答案为：B．
【分析】先排列除《傲慢与偏见》 其它的5本书，再分《傲慢与偏见》排在最前面或最后面有两种选择结合排列数公式求解即可.
9．（2025高二下·金东期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：要使有意义，则，解得，
则，且，
满足，即为奇函数，排除BC；
当且时，，排除A.
故答案为：D．
【分析】根据有意义，列式求得函数的定义域，化简函数解析式，确定函数的奇偶性，结合函数值的变化判断即可．
10．（2025高二下·金东期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：设，则圆的半径为，
，
在中，，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故答案为：D.
【分析】设，求得圆的半径，利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理求，根据，即可得正确答案．
11．（2025高二下·金东期中）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】对于A：因为h(x)= f(x-1)-1，则h(-X)h(X)，所以h(X)不是奇函数，故A不符合；
对于B：因为h(x)= f(x-1)+1，则h(-X)＝h(X)，所以h(X)是奇函数，故B符合；
对于C：h(x)= f(x+1)－1，则h(-X)h(X)，所以C不符合； 对于D：h(x)= f(x+1)+1，则h(-X)≠h(X)，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】设选项的各个函数是h(x)，分别计算h(-x)，与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。
12．（2025高二下·金东期中）已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的图像，如图所示：
若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，
则函数的图像与直线有三个交点，
若直线经过原点时，m＝0，
若直线与函数的图像相切，
令，
令，解得，故.
故答案为：D．
【分析】作出函数的图象，问题转化为函数的图像与直线有三个交点，数形结合求解即可.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错得0分.
13．（2025高二下·金东期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】C,D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，，故C正确；
D、，，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据根式与分数指数幂的互化求解，逐项判断即可.
14．（2025高二下·金东期中）饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班（A班，B班）5月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（ ）
A．班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41
B．班5月产生饮料瓶数的第75百分位数
C．已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在之间
D．
【答案】A,B,D
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为
，故A正确；
B、，
，
故班5月产生饮料瓶数的第75百分位数位于中，
所以，解得，故B正确；
C、A班和B班5月份产生饮料瓶数在的频率均为，
故该校学生5月份产生饮料瓶数在的频率也为，
因为，所以该校约有200人5月份产生饮料瓶数在之间，故C错误；
D、根据频率分布直方图各矩形面积和1可得：，
解得，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据频率分布直方图计算平均值即可判断A；先根据频率分布直方图各矩形面积和1列式求m的值，再计算百分位数即可判断B；先计算饮料瓶数在之间的频率，再计算瓶数即可判断C ；根据频率分布直方图各矩形面积和1列式求解即可判断D．
15．（2025高二下·金东期中）已知函数的定义域为R，对任意都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．的周期为4 D．为偶函数
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由，可得的图象关于直线对称，故A正确，B错误；
因为函数的图象关于直线对称，所以，
又因为，所以，则函数的周期为4，故C正确；
函数，则为偶函数，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】由求得函数的对称轴即可判断AB；根据函数的对称性可得，再根据求得函数的周期即可判断C；由得为偶函数即可判断D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.
16．（2025高二下·金东期中）设函数.若函数的图象过点，则的值为 .
【答案】10
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数的图象过点 ，所以，解得.
故答案为：10.
【分析】将点代入求的值即可.
17．（2025高二下·金东期中）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人.
【答案】8
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为考试的成绩X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
因为，所以.
则该班数学成绩在120分以上的人数为.
故答案为：8.
【分析】由考试的成绩X服从正态分布，可得正态曲线关于对称，由求得，再计算该班学生数学成绩在120分以上的人数即可 .
18．（2025高二下·金东期中）已知是定义在上的偶函数，则 .
【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数是定义在上的偶函数，
所以，解得，
则
故答案为：．
【分析】根据为偶函数，定义域关于原点对称，且列式求得a、b的值，即可得的值．
19．（2025高二下·金东期中）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数有 个
【答案】12
【知识点】函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，所以，即函数是周期为2函数，
当时，，
作出它的图象，则的图象，再作出函数的图象，如图所示：
由图可知：交点为12个，则函数在区间内的零点个数有12个.
故答案为：.
【分析】由可得函数是周期为2函数，作出函数和的图像，问题转化为与图象交点个数问题，数形结合求解即可.
四、解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
20．（2025高二下·金东期中）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：
（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．
【答案】解：（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同，
设其打破世界纪录的项目数为随机变量，
“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则；
（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知，，
则，
，
，
，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
期望．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）设其打破世界纪录的项目数为随机变量，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同，根据二项分布的概率公式和互斥事件的概率公式求解即可；
（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知，，利用二项分布求得相应的概率，列出分布列，再求数学期望即可.
21．（2025高二下·金东期中）已知是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）作的图象；
（3）若函数在区间上单调递增，求的取值范围．（不必写出演算过程）
【答案】（1）解：当时，，则，
因为函数是奇函数，所以，则；
（2）解：当时，，当时，，
当时，，
则函数图象，如图所示：
（3）解：由图可知：若在区间上单调递增，则，解得，
故实数a的取值范围是．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【分析】（1）当时，，根据函数解析式，结合函数为奇函数求的值即可；
（2）结合二次函数的图象画出分段函数的图象即可；
（3）由（2）的函数图象，利用函数的单调性列不等式求解即可.
（1）设，则，所以，
因为函数是奇函数，所以，
所以；
（2）当时，，当时，，
当时，，
故函数图象如图所示：
（3）要使在区间上单调递增，
结合图象可知，，解得，
所以实数a的取值范围是．
22．（2025高二下·金东期中）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有最大值，且，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）函数的定义域为，求导可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，无最大值，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，取得最大值，
即，
因此有，得，
设，则，所以在内单调递增，
又，所以，得，
故实数的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导函数，分、讨论判断导函数的符号，即可求解函数的单调性；
（2）根据（1）可知： 函数有最大值 ，得，设，求导，利用导数判断函数的单调性，结合求解即可．
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