(共13张PPT)
第二十三章 一次函数
第1课时 实际问题与一次函数
23.4 实际问题与一次函数
一次函数的实际应用
1.(2025安徽池州模拟)某停车场实行跨时收费,即规定时间内
免费停车,超出规定时间后按时间收费,已知费用y(元)与时间x
(小时)满足一次函数关系,若停车5小时收费21元,停车8小时
收费42元,则该停车场免费停车的时间为 ( )
A.1小时 B.2小时 C.3小时 D.4小时
B
解析 设y=kx+b(k≠0),
由题意可得 解得
∴y=7x-14,当y=0时,7x-14=0,解得x=2,
∴该停车场免费停车的时间为2小时.故选B.
2.(2025重庆期末)共享电动自行车是一种新理念下的交通工
具,主要面向3~10 km的出行市场,图中反映某共享电动自行
车平台收费y(元)与骑行时间x(min)之间的函数关系,根据图中
的信息,某天小明从家到学校一共骑行40分钟,则需要向平台
付费__________元.
12
解析 设x≥10时,y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
由题意得 解得
∴y=0.2x+4(x≥10),
当x=40时,y=0.2×40+4=12,
∴骑行40分钟需要向平台付费12元.
3.(2024陕西中考)实验表明,在某地,温度在15 ℃至25 ℃的范
围内,一种蟋蟀1 min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温
度x(℃)的一次函数.已知这种蟋蟀在温度为16 ℃时,1 min平
均鸣叫92次;在温度为23 ℃时,1 min平均鸣叫155次.
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)当这种蟋蟀1 min平均鸣叫128次时,该地当时的温度约是
多少
解析 (1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0),将x=16,y
=92和x=23,y=155分别代入y=kx+b,得 解得
∴y与x之间的函数表达式为y=9x-52.
(2)当y=128时,9x-52=128,解得x=20.
答:该地当时的温度约是20 ℃.
4.(2025北京海淀期中,★★☆)某市为了鼓励居民节约用电,采
用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费,分两档收费:第
一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”;第二档
是当月用电量超过240度时,其中的240度仍按照“基础电
价”计费,超过的部分按照“提高电价”收费.设每个家庭月
用电量为x度时,应交电费为y元.具体收费情况如图所示,根据
图象,以下结论中错误的是 ( )
B
A.“基础电价”是0.5元/度
B.“提高电价”是0.56元/度
C.当x>240时,y与x的函数表达式为y= x-24
D.若明明家五月份缴纳电费144元,则明明家这个月用电量为
280度
解析 由题图可得,“基础电价”是 =0.5(元/度),“提高电
价”是 =0.6(元/度),故A结论正确,B结论错误;当x>
240时,设y=kx+b(k≠0),易知(240,120),(400,216)满足y=kx+b,
∴ 解得
∴y= x-24(x>240),故C结论正确;
当y=144时, x-24=144,解得x=280,
∴明明家五月份用电量为280度,故D结论正确.故选B.
5.(2025湖北鄂州模拟,★★☆)某农科所对当地小麦从抽穗期
到灌浆期连续51天的累计需水量进行研究,得到当地每公顷
小麦在这51天内累计需水量y(m3)与天数x之间的关系如图所
示,其中,线段OA,AC分别表示抽穗期、灌浆期的y与x之间的
函数关系.
(1)求这51天内,y与x之间的函数关系式.
(2)求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量.
解析 (1)当0≤x≤20时,设y=kx(k≠0),由题意得20k=960,解得
k=48.∴y=48x(0≤x≤20).
当20易知(20,960),(40,1 660)满足y=mx+n,
∴ 解得
∴y=35x+260(20综上所述,y与x之间的函数关系式为
y=
(2)当x=51时,y=35×51+260=2 045.
当x=20时,y=960,∴当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量为
2 045-960=1 085(m3).(共26张PPT)
第二十三章 一次函数
23.1 一次函数的概念
一次函数的概念
1.(2025湖北黄冈期末)下列函数中,y是x的一次函数的是
( )
A.y=(x-1)(x-2) B.y=
C.y=-4 D.y=2x+4
D
解析 y=(x-1)(x-2)=x2-3x+2中,自变量的最高次数是2,故A不
是一次函数;y= 中的 不是整式,故B不是一次函数;y=-4中没
有自变量,故C不是一次函数;y=2x+4满足一次函数的定义.故
选D.
2.(2025上海长宁期末)已知函数y=(k-1)x+1是一次函数,则k的
取值范围是___________.
k≠1
解析 由题意得k-1≠0,解得k≠1.
一次函数与正比例函数的关系
3.(2025上海中考)下列函数中,是正比例函数的是 ( )
A.y=3x+1 B.y=3x2 C.y= D.y=
D
解析 选项中只有y= 符合正比例函数的定义.故选D.
4.(2025山西晋中期中)下列各选项中,两个变量y与x之间的关
系是正比例函数关系的是 ( )
A.直角三角形中一个锐角的度数y(度)与另一个锐角的度数x
(度)之间的关系
B.正方体的表面积y(cm2)与它的棱长x(cm)之间的关系
C.小红阅读一本420页的名著,未读的页数y(页)与已读的页数
x(页)之间的关系
D.汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间
x(h)之间的关系
D
解析 A.y=90-x,y与x不是正比例函数关系;B.y=6x2,y与x不是
正比例函数关系;C.y=420-x,y与x不是正比例函数关系;D.y=60
x,y与x是正比例函数关系.故选D.
5.(2025江苏南京月考)已知关于x的函数y=(m-3)·x|m|-2+n-2.
(1)当m,n为何值时,它是一次函数
(2)当m,n为何值时,它是正比例函数
解析 (1)由题意得|m|-2=1且m-3≠0,
解得m=-3,∴当m=-3,n为任意实数时,它是一次函数.
(2)由题意得|m|-2=1且m-3≠0,n-2=0,解得m=-3,n=2.∴当m=-3,n
=2时,它是正比例函数.
确定一次函数的解析式
6.(2025宁夏银川期末)如果一盒圆珠笔有12支,售价为18元/
盒,用y(元)表示购买圆珠笔的费用,x表示购买圆珠笔的支数,
那么y与x之间的解析式为 ( )
A.y= x B.y= x C.y=12x D.y=18x
A
解析 ∵每盒圆珠笔有12支,售价为18元/盒,
∴每支圆珠笔的售价为 = (元),
∴y与x之间的解析式为y= x.故选A.
7.(2025山西模拟)某书店对外租赁图书.收费标准:每本书在租
赁后的前两天每天按0.5元收费,以后每天按0.7元收费(不足
一天按一天计算).则租金y(元)和租赁天数x(x≥2)之间的关系
式为 ( )
A.y=0.5x B.y=0.7x
C.y=0.7x+1 D.y=0.7x-0.4
D
解析 根据题意,得y=0.5×2+0.7(x-2)=0.7x-0.4,
∴租金y(元)和租赁天数x(x≥2)之间的关系式为y=0.7x-0.4.故
选D.
8.(2025浙江宁波外国语学校期末)如图,要围一个长方形菜园
ABCD,菜园的一边利用足够长的墙,用35米长的篱笆围成另
外三边.为了方便进出,在BC边上留了一个2米宽的小门.设AB
边的长为x米,BC边的长为y米,则y与x之间的关系式是
________________.
y=-2x+37
解析 由题意得,2x+y=35+2,整理,得y=-2x+37.
9.(2025广东东莞期中改编)已知y与x成正比例,且x=-2时,y=6.
写出y与x之间的函数表达式,并求x为何值时,y=-3.
解析 ∵y与x成正比例,∴设y=kx(k≠0),∵x=-2时,y=6,∴6=
-2k,解得k=-3,∴y与x之间的函数表达式为y=-3x.当y=-3时,
-3x=-3,解得x=1.
10.(2025山东淄博期末,★★☆)下列函数(x是自变量)中,是正
比例函数的有 ( )
①y=-x;②y+2=2(x+1);③y=k2x(k是常数);④y2=x2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
解析 y=-x,是正比例函数;y+2=2(x+1),整理得y=2x,是正比例
函数;y=k2x(k是常数),当k=0时,不是正比例函数;y2=x2,不是正比
例函数.故选B.
11.(2025河南郑州八中月考,★★☆)如图所示,在Rt△ABC中,
∠C=90°,AC=6,BC=8,设P为BC上任意一点,点P与点B,C不重
合,且PC=x,△APB的面积为y.
(1)写出y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当△APB的面积为18时,求PC的长.
解析 (1)∵BC=8,PC=x,∴BP=8-x,
∴S△ABP= BP·AC= ×(8-x)×6=24-3x,
∵点P与点B,C不重合,∴0∴y与x之间的函数解析式为y=24-3x(0(2)当△APB的面积为18时,24-3x=18,解得x=2,
∴PC的长为2.
12.(2025浙江宁波七中月考,★★☆)已知y1与x成正比例,y2与x-
3成正比例,且y=y1+y2,当x=1时,y=3,当x=-1时,y=9.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)当x=3时,求y的值.
解析 (1)设y1=ax(a≠0),y2=b(x-3)(b≠0),∵y=y1+y2,∴y=ax+b(x
-3)=(a+b)x-3b,
∵当x=1时,y=3,当x=-1时,y=9,
∴ 解得
∴y与x的函数关系式为y=-3x+6.
(2)当x=3时,y=-3×3+6=-3.
13.【新课标·运算能力】【新考向·新定义题】新定义:[a,b]为
一次函数y=ax+b(a,b为实数,且a≠0)的关联数,若关联数[1,m+
2]所对应的一次函数是正比例函数,求关于x的方程 - =2
的解.
解析 ∵[a,b]为一次函数y=ax+b(a,b为实数,且a≠0)的关联
数,
∴关联数[1,m+2]所对应的一次函数是y=x+m+2.又∵该函数
为正比例函数,∴m+2=0,解得m=-2.
∴原分式方程为 + =2,解得x=4,
经检验,x=4是分式方程的解.
∴分式方程的解为x=4.
14.【新课标·运算能力】学校阅览室有一种能坐4人的方桌,
如果多于4人,就把方桌按图中所示的方式摆放,2张方桌摆放
到一起能坐6人,请你结合这个规律,填表并回答问题.
摆放的方桌的张数x 1 2 3 4 …
人数y 4 6 8 …
(1)写出y与x之间的函数解析式(不要求写自变量的取值范围),
并判断y是不是x的一次函数.
(2)若八年级(1)班有42人去阅览室看书,则需要多少张这样的
方桌
解析 ∵一张方桌坐4人,每多一张方桌就多坐2人,∴摆放4张
方桌时能坐的人数为4+2×3=10.∴题表中横线上填10.
(1)y与x之间的函数解析式为y=4+2(x-1)=2x+2.y是x的一次函
数.
(2)当y=42时,2x+2=42,解得x=20.
答:需要20张这样的方桌.(共33张PPT)
时间：40分钟 满分：100分
第二十三章自主检测
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2025湖南岳阳期末)若函数y=(k+1)x+b-2是正比例函数,则
( )
A.k≠-1,b=-2 B.k≠1,b=-2
C.k=1,b=-2 D.k≠-1,b=2
D
解析 ∵y=(k+1)x+b-2是正比例函数,
∴k+1≠0,b-2=0,解得k≠-1,b=2.
2.(2025安徽合肥月考)正比例函数y=kx的函数值y随x的增大
而减小,则它的图象可能经过的点是 ( )
A.(3,0) B.(-1,2)
C.(-1,-1) D.(2,1)
B
解析 ∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而减小,∴函数
图象经过第二、四象限.选项中只有点(-1,2)符合题意,其他各
点均不符合题意.故选B.
3.(2025湖南长沙期末)已知一次函数y=-2x+2的图象上有两点
A(-2,y1),B(3,y2),则y1与y2的大小关系是 ( )
A.y1y2 D.y1≥y2
C
解析 ∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小,
∵A(-2,y1),B(3,y2),且-2<3,∴y1>y2.
4.(2025福建龙岩期末)已知点(k,b)在第四象限内,则一次函数y
=-kx+b的图象大致是 ( )
A
解析 ∵点(k,b)在第四象限内,∴k>0,b<0,
∴-k<0,∴一次函数y=-kx+b的图象经过第二、三、四象限,观
察选项,只有A选项符合题意.故选A.
5.(2024湖北黄石期末)若一次函数y=kx+b中的y随x的增大而
增大,当自变量的取值范围是-6≤x≤3时,相应函数值的取值
范围是2≤y≤5,则k的值为 ( )
A. B. C. 或- D. 或
A
解析 ∵一次函数y=kx+b中的y随x的增大而增大,∴k>0,当x=
-6时,y=2,当x=3时,y=5,
∴ 解得 故选A.
6.(2025山东聊城月考)如图,在平面直角坐标系中,有函数y=k1x
和y=k2x+b的图象,它们相交于点A.下列结论:①k10;③
当x>2时,有k1x>k2x+b;④关于x的方程(k1-k2)x-b=0的解是x=2.其
中正确的有 ( )
A.①② B.①②③④
C
C.②③④ D.①③④
解析 ∵在直线y=k1x中,y随x的增大而增大,
∴k1>0,∵在直线y=k2x+b中,y随x的增大而减小,∴k2<0,∴k1>k2,
故①错误.∵直线y=k2x+b与y轴的交点在x轴上方,∴b>0,故②
正确.由题图可知,当x>2时直线y=k1x在直线y=k2x+b上方,∴
当x>2时,k1x>k2x+b,故③正确.
∵两直线交点的横坐标为2,∴当x=2时,k1x=k2x+b,∴(k1-k2)x-b=
0的解是x=2,故④正确.故选C.
7.【新考向·新定义题】对于实数a,b,我们定义符号max{a,b}
的意义:当a≥b时,max{a,b}=a;当a{4,-2}=4,max{3,3}=3.若关于x的函数为y=max{x+3,-x+1},则
该函数的最小值是 ( )
A.0 B.2 C.3 D.4
B
解析 当x+3≥-x+1,即x≥-1时,y=x+3,∴当x=-1时,y最小=2;当x+
3<-x+1,即x<-1时,y=-x+1,∵x<-1,∴-x>1,∴-x+1>2,∴y>2.综上,
该函数的最小值是2.
8.(2025山东烟台期末)A,B两地相距12千米,甲骑自行车从A地
出发前往B地,同时乙步行从B地出发前往A地,如图所示的折
线OPQ和线段EF分别表示甲、乙两人与A地的距离y甲、y乙与
他们所行时间x(h)之间的函数关系,且OP与EF交于点M,下列
说法:①y乙=-2x+12;②线段OP对应的y甲与x的函数关系式为y甲
=18x;③两人相遇地点与A地的距离是9 km;④经过 小时或
小时,甲、乙两人相距3 km.其中正确的个数是 ( )
C
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 设y乙与x的函数关系式是y乙=kx+b(k≠0),将E(0,12),F(2,
0)代入,得 解得
∴y乙与x的函数关系式是y乙=-6x+12,故①错误;
当x=0.5时,y乙=-6×0.5+12=9,∴两人相遇地点与A地的距离是9
km,故③正确;
设线段OP对应的y甲与x的函数关系式是y甲=ax(a≠0),∵点(0.5,
9)在函数y甲=ax的图象上,∴9=0.5a,解得a=18,
∴线段OP对应的y甲与x的函数关系式是y甲=18x,故②正确;
令|18x-(-6x+12)|=3,解得x1= ,x2= ,∴经过 小时或 小时,甲、
乙两人相距3 km,故④正确.
综上所述,正确的是②③④,共3个.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2024江苏扬州中考)如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图
象分别与x轴,y轴交于A,B两点,若OA=2,OB=1,则关于x的方程
kx+b=0的解为____________.
x=-2
解析 ∵OA=2,∴A(-2,0),
∴关于x的方程kx+b=0的解为x=-2.
10.(2025重庆期末)若关于x的一次函数y=(m+2)x+m-6的图象
不经过第二象限,则所有满足条件的整数m的值之和为
__________.
20
解析 ∵一次函数y=(m+2)x+m-6的图象不经过第二象限,∴m
+2>0且m-6≤0,解得-2-1,0,1,2,3,4,5,6,
∴所有满足条件的整数m的值之和为-1+0+1+2+3+4+5+6=20.
11.【跨物理·加热实验】某物理实验兴趣小组对甲、乙两种
液体进行加热实验,这两种液体在加热过程中,其温度y(℃)与
加热时间x(min)之间的函数关系如图所示,那么当两种液体温
度相等时,加热时间为__________min.
20
解析 设甲液体的温度y(℃)与加热时间x(min)之间的函数解
析式为y=kx+b(k≠0),由题意得 解得 所以其
解析式为y=x+5.
设乙液体的温度y(℃)与加热时间x(min)之间的函数解析式为
y=mx+n(m≠0),由题意得 解得 所以其解析
式为y= x+15.联立得 解得 所以当两种液体
温度相等时,加热时间为20 min.
12.(2025安徽合肥期末节选)如图,一次函数y=-2x+4的图象与x
轴,y轴分别交于B,A两点,已知AD=BD,另一函数图象过点D和
点E,E(4,4),直线DE交x轴于点C,则S△DBE=_________.
4
解析 ∵一次函数y=-2x+4的图象与x轴,y轴分别交于B,A两
点,令x=0,则y=4;令y=0,则x=2.∴A(0,4),B(2,0),∵AD=BD,∴D
是AB的中点,
∴D ,即D(1,2),
设直线CD的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
把E(4,4),D(1,2)代入,得 解得
∴直线CD的函数表达式为y= x+ ,
当y=0时, x+ =0,解得x=-2,
∴C(-2,0),∴BC=2-(-2)=4,
∴S△DBE=S△CBE-S△CBD= ×4×(4-2)=4.
三、解答题(共40分)
13.(2025天津十一中月考)(12分)已知y-3与2x-1成正比例,且x=
1时,y=4.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)试判断点A(2,5)是否在y关于x的函数图象上.
(3)如果y的取值范围为0≤y≤5,求x的取值范围.
(4)若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在该函数的图象上,且y1>y2,试判断x1,
x2的大小关系.
解析 (1)设y-3=k(2x-1)(k≠0),
∵当x=1时,y=4,∴4-3=k(2-1),解得k=1,
∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x-1,即y=2x+2.
(2)把x=2代入y=2x+2得,y=2×2+2=6,
∴点A(2,5)不在y关于x的函数图象上.
(3)∵0≤y≤5,∴0≤2x+2≤5,解得-1≤x≤ .
(4)由(1)得y=2x+2,∵2>0,∴y随x的增大而增大,∵y1>y2,∴x1>x2.
14.(2025北京中考)(13分)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+
b(k≠0)的图象经过点(1,3)和(2,5).
(1)求k,b的值.
(2)当x<1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既小于函
数y=kx+b的值,也小于函数y=x+k的值,直接写出m的取值范围.
解析 (1)将(1,3)和(2,5)代入y=kx+b,得 解得
(2)2≤m≤3.
详解:由(1)可得函数y=kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1,函数y=x
+k的解析式为y=x+2,
当mx<2x+1时,(m-2)x<1,
当mx∵当x<1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既小于函
数y=kx+b的值,也小于函数y=x+k的值,∴m-2≥0,且m-1≥0,∴
m≥2,
当m=2,x<1时,2x<2x+1和x<2恒成立,故m=2符合题意;
当m>2时,x< 且x< ,
当 ≥ 时, ≥1.
解不等式 ≥ 得m≤3,
解不等式 ≥1得m≤3,∴2当 < 时, ≥1,
解不等式 < 得m>3,解不等式 ≥1得m≤3,此时不
符合题意.
综上所述,2≤m≤3.
15.(2025山东潍坊期末)(15分)为了吸引顾客,某游乐园推出了
以下两种游玩方案.
方案一:不购买会员卡,每小时收费a元.
方案二:购买会员卡,卡费为200元/张,另外每小时收费5元.
设游玩时间为x小时,按照方案一所需费用为y1元,其关系图象
经过点(2,60),如图所示;按照方案二所需费用为y2元,x与y2的部
分对应值如表所示.
x … 0 b 8 …
y2 … 200 210 c …
(1)请直接写出表中b,c的值,并在图中画出y2的函数图象.
(2)分别求出y1,y2与x之间的函数表达式.
(3)若从费用的角度出发,针对不同的游玩时长,你会怎样向朋
友推荐这两个方案
解析 (1)由题意得,200+5b=210,解得b=2,c=200+5×8=240,
y2的函数图象如图所示:
(2)由题意得y1=ax,将(2,60)代入y1=ax,得2a=60,解得a=30,∴y1
与x之间的函数表达式为y1=30x.
y2与x之间的函数表达式为y2=5x+200.
(3)当y1=y2时,30x=5x+200,解得x=8,
结合图象得,若游玩时间不足8小时,选择方案一更省钱;若游
玩时间正好为8小时,两个方案费用相同,任选一个即可;若游
玩时间超过8小时,选择方案二更省钱.(共29张PPT)
第二十三章 一次函数
23.3 一次函数与方程(组)、不等式
一次函数与一元一次方程的关系
1.(2025山东青岛期中)已知一次函数y=ax+b(a,b是常数且a≠
0)中,x与y的部分对应值如下表:
x -2 -1 0 1 2 3
y 3 2.5 2 1.5 1 0.5
则关于x的方程ax+b=2的解是 ( )
A.x=-1 B.x=0 C.x=1 D.x=2
B
解析 根据题表得,当x=0时,y=2,∴方程ax+b=2的解是x=0.故
选B.
2.【学科特色·数形结合思想】(2025广东广州期末)如图,一次
函数y1=ax+b(a,b为常数且a<0)与正比例函数y2=kx(k为常数且
k>0)的图象交于点P(-4,-2),则关于x的方程(a-k)x+b=0的解是
____________.
x=-4
解析 ∵一次函数y1=ax+b与正比例函数y2=kx的图象交于点P
(-4,-2),∴关于x的方程ax+b=kx的解是x=-4,∴(a-k)x+b=0的解
是x=-4.
一次函数与一元一次不等式的关系
3.(2024广东中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函
数y=kx+b的图象大致是 ( )
B
解析 A.不等式kx+b<0的解集是x>-2,故本选项不符合题意;
B.不等式kx+b<0的解集是x<2,故本选项符合题意;
C.不等式kx+b<0的解集是x<-2,故本选项不符合题意;
D.不等式kx+b<0的解集是x>2,故本选项不符合题意.故选B.
4.(2025河北秦皇岛期末)已知直线l1:y=k1x与直线l2:y=k2x+b在
同一直角坐标系中的位置如图所示,则关于x的不等式k1x>k2x
+b的解集为( )
A.x>-1 B.x<-1
C.x<-2 D.无法确定
B
解析 由题图得,当x<-1时,直线y=k1x都在直线y=k2x+b的上方,
∴k1x>k2x+b的解集为x<-1.故选B.
5.【学科特色·数形结合思想】(2025山东日照期末)数形结合
是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=kx+b经过A(-1,
-2),B(-3,0)和C(0,-3)三点,则2x
-3解析 如图,作直线OA,
∵A点坐标为(-1,-2),∴直线OA的解析式为y=2x,由图可知,2x<
kx+b<0的解集为-3 一次函数与二元一次方程(组)的关系
6.(2025河北秦皇岛期末)如图,在平面直角坐标系中,一次函数
y=kx+b与y=mx+n的图象如图所示,则关于x,y的方程组
的解为_________.
解析 由题图可知,直线y=kx+b与直线y=mx+n相交于点(-8,-
4),∴关于x,y的方程组 的解为
7.(2025山东烟台期末)如图,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相
交于点P(1,b),与x轴分别交于A,B两点.
(1)求直线l2的表达式.
(2)①关于x,y的方程组 的解是_______.
②关于x的不等式(2-m)x-3≤0的解集为_______.
解析 (1)将点P(1,b)代入y=2x+1,得2+1=b,解得b=3.∴P(1,3).
将点P(1,3)代入y=mx+4,得m+4=3,
∴m=-1.∴直线l2的表达式为y=-x+4.
(2)①由(1)知,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,3),
∴关于x,y的方程组 的解是
②∵(2-m)x-3≤0,∴2x+1-(mx+4)≤0.
∴2x+1≤mx+4.
∴关于x的不等式(2-m)x-3≤0的解集为函数y=2x+1的图象不
在y=mx+4图象上方时对应的自变量的取值范围.结合图象可
得解集为x≤1.故答案为x≤1.
8.(2025山东威海期中,★★☆)已知关于x,y的二元一次方程组
无解,则一次函数y=kx+2的图象经过
( )
A.第一、二、四象限 B.第二、三、四象限
C.第一、三、四象限 D.第一、二、三象限
A
解析 ∵关于x,y的二元一次方程组 无解,∴
直线y=(2-k)x+1与直线y=(2k+5)x+3平行,∴2-k=2k+5,解得k=-1,
∴y=kx+2的图象经过第一、二、四象限.
9.(2025北京西城期末,★★☆)如图,一次函数y=kx+b的图象与
x轴交于点(1,0),与y=-x-2的图象交于点P(2,-4),则下列说法正
确的是 ( )
D
A.不等式kx+b>0的解集是x>1
B.关于x的方程kx+b=-x-2的解是x=1
C.关于x,y的方程组 的解是
D.关于x的不等式kx+b>-x-2的解集是x<2
解析 ∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(1,0),且y随x的
增大而减小,∴不等式kx+b>0的解集是x<1,故A说法不正确;∵
一次函数y=kx+b的图象与y=-x-2的图象交于点P(2,-4),∴关于
x的方程kx+b=-x-2的解是x=2,关于x,y的方程组 的解
是 故B说法不正确,C说法不正确;结合题图可知,关于x
的不等式kx+b>-x-2的解集是x<2,故D说法正确.故选D.
10.(2025广西柳州期末,★★☆)如图,直线y=kx+b与y=mx+n分
别交x轴于点A(-0.5,0),B(2,0),则不等式(kx+b)(mx+n)>0的解集
为 ( )
A.x>2 B.0 C
C.-0.52
解析 由题图可得,当x<-0.5时,kx+b>0,mx+n<0,∴(kx+b)(mx
+n)<0,当-0.50,当x>2
时,kx+b<0,mx+n>0,∴(kx+b)(mx+n)<0,故选C.
11.(2025湖南娄底期末,★★★)如图,直线l1:y=- x+b与x轴,y轴
分别交于A,B两点,与直线l2:y=kx交于点M(1,2).
(1)求出k,b的值.
(2)直接写出0≤- x+b≤kx的解集.
(3)在x轴上有一点P,过点P作x轴的垂线,分别交直线y=- x+b
和y=kx于点C,D.若2CD=OB,求点P的坐标.
解析 (1)把M(1,2)代入y=kx,解得k=2.
把M(1,2)代入y=- x+b,解得b= .
(2)1≤x≤5.
详解:由(1)知,l1:y=- x+ ,
在y=- x+ 中,当y=0时,- x+ =0,解得x=5,∴A(5,0),
又∵M(1,2),∴0≤- x+b≤kx的解集为1≤x≤5.
(3)在y=- x+ 中,当x=0时,y=- x+ = ,∴B ,∴OB= ,
设P(m,0),则C ,D(m,2m),
∵2CD=OB,∴2 = ,
解得m= 或m= ,
∴点P的坐标为 或 .
12.【新课标·模型观念】规定:二元一次方程ax+by=c有无数
组解,每组解记为P(x,y),P(x,y)被称为亮点,将这些亮点连接得
到一条直线,这条直线是亮点的隐线,回答下列问题:
(1)已知A(-1,2),B(4,-3),C(-3,1),则是隐线y=- x+3的亮点的是
点_______.
一个亮点,求隐线表达式中s的最大值与最小值的和.
(2)设P(0,-2),Q 是隐线t2x+hy=6的两个亮点,求关于x,y的
方程 x-(t2+h+4)y=26中x,y的最小正整数解.
(3)已知m,n是实数,且 +2|n|=7,若P( ,|n|)是隐线2x-3y=s的
解析 (1)把三点的坐标分别代入隐线y=- x+3,只有B点满足.
故答案为B.
(2)把P(0,-2),Q 分别代入隐线t2x+hy=6,得
∴ 把 代入 x-(t2+h+4)y=26,得5x-6y=26,
∴x= =y+5+ ,∵x,y都为正整数,∴最小正整数解为
(3)把P( ,|n|)代入隐线2x-3y=s,得s=2 -3|n|,∵ +2|n|=7,
∴ =-2|n|+7,
∴s=-4|n|+14-3|n|=14-7|n|,
∵|n|≥0, =-2|n|+7≥0,∴0≤|n|≤3.5,
∴当|n|=0时,s=14-7|n|有最大值,最大值为14,
当|n|=3.5时,s=14-7|n|有最小值,最小值为-10.5,∴s的最大值与
最小值的和为14-10.5=3.5.(共25张PPT)
第二十三章 一次函数
第2课时 选择最佳方案
23.4 实际问题与一次函数
建立函数模型,选择最佳方案
1.如图所示的是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y
(元)与销售量x(件)之间的函数图象,则下列说法不正确的是
( )
A.买2件产品时,甲、乙两家销售价一样
B.买1件产品时,买乙家的合算
C.买3件产品时,买甲家的合算
D.甲家的1件产品的销售价为2.5元
D
解析 设甲商店的销售价为y甲元,乙商店的销售价为y乙元,∵
当x=2时,y甲=y乙,∴买2件产品时,甲、乙两家销售价一样,故A
说法正确;∵当x=1时,y甲>y乙,∴买1件产品时,买乙家的合算,故
B说法正确;
∵当x=3时,y甲确;设y甲与x之间的函数关系式为y甲=kx+b(k≠0),将(0,2)和(2,4)
代入,得 解得 ∴y甲=x+2,
当x=1时,y甲=3,∴甲家的1件产品的销售价为3元,故D说法不正确.故选D.
2.(2025陕西咸阳永寿期末)生活即教育,行为即课程.某校将劳
动教育融入立德树人全过程.该学校劳动教育实践活动包括
花园除草、翻土、修剪树木,以及打扫校园周边环境卫生等,
学校现要购买劳动工具,学校与农资店店主商量后,店主给出
了两种购买方案(如下表),且都送货上门.
方案 运费 劳动工具价格
方案一 50元 12.5元/件
方案二 0元 15元/件
若学校购买x件劳动工具,按方案一购买的总金额为y1元,按方
案二购买的总金额为y2元.
(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数关系式.
(2)若学校计划用900元购买劳动工具,请你通过计算说明学校
选择哪种方案购买的劳动工具较多.
解析 (1)由题表可知y1与x之间的函数关系式为y1=12.5x+50,
y2与x之间的函数关系式为y2=15x.
(2)当y1=900时,12.5x+50=900,解得x=68,
当y2=900时,15x=900,解得x=60,∵68>60,
∴学校选择方案一购买的劳动工具较多.
3.(2025河北沧州期末)已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨
和1 200吨,现要把这些物资全部运往A,B两地,A地需要物资1
300吨,B地需要物资700吨,从甲、乙两仓库把物资运往A,B两
地的运费价格如下表:
A地/(元/吨) B地/(元/吨)
甲仓库 12 15
乙仓库 10 18
(1)设甲仓库运往A地x吨物资,直接写出总运费y关于x的函数
解析式(不需要写出自变量的取值范围).
(2)当甲仓库运往A地多少吨物资时,总运费最少 最少的总运
费是多少元
解析 (1)∵甲仓库运往A地x吨物资,∴甲仓库运往B地(800-x)
吨物资,乙仓库运往A地(1 300-x)吨物资,乙仓库运往B地700-
(800-x)=(x-100)吨物资,
∴y=12x+15(800-x)+10(1 300-x)+18(x-100)=5x+23 200,
∴总运费y关于x的函数解析式为y=5x+23 200.
(2)由题意知 ∴100≤x≤800,
∵在y=5x+23 200中,5>0,∴y随x的增大而增大,∴当x=100时,y
取最小值,最小值为5×100+23 200=23 700(元).
答:甲仓库运往A地100吨物资时,总运费最少,最少的总运费是
23 700元.
4.(2025广东深圳中考)某学校采购体育用品,需要购买三种球
类.已知某体育用品商店排球的单价为30元,篮球,足球的价格
如下表:
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球的花费相同
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件,求出篮球和足球
的单价.
(2)若该学校要购买篮球,足球共10个,且足球的个数不超过篮
球个数的2倍,请问购买多少个篮球时花费最少 最少费用是
多少
解析 (1)设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,选择条件①
②(答案不唯一):
根据题意得 解得
答:篮球的单价为60元,足球的单价为50元.
(2)设该学校购买篮球m个,则购买足球(10-m)个,根据题意得10
-m≤2m,解得m≥ ,
又∵m≤10,∴ ≤m≤10,
设学校购买篮球、足球的总费用为w元,
根据题意得w=60m+50(10-m)=10m+500,∵10>0,∴w随m的增
大而增大,∵ ≤m≤10,且m为正整数,∴当m=4时,w最小,最
小值为10×4+500=540(元).
答:购买4个篮球时花费最少,最少费用是540元.
5.(2025江苏镇江四模,★★☆)甲、乙两家通信服务公司提供
了两种通话收费方式,它们各自的费用y(元)与通话时间x(min)
之间的关系如图所示.若通话时间超过200 min,则乙公司的收
费方式比甲公司的收费方式便宜 ( )
C
A.10元 B.11元
C.12元 D.13元
解析 当x≥120时,设甲公司的费用与通话时间的函数关系
式为y甲=k1x+b1(k1≠0),将(120,30)和(170,50)分别代入y甲=k1x+b
1,得 解得 ∴当x≥120时,y甲=0.4x-18.
当x≥200时,设乙公司的费用与通话时间的函数关系式为y乙=
k2x+b2(k2≠0),将(200,50)和(250,70)分别代入y乙=k2x+b2,得
解得
∴当x≥200时,y乙=0.4x-30,∴当x≥200时,y甲-y乙=(0.4x-18)-(0.4x
-30)=12,∴若通话时间超过200min,则乙公司的收费方式比甲
公司的收费方式便宜12元.
6.(2024四川广元中考,★★☆)近年来,中国传统服饰备受大家
的青睐,走上国际时装周舞台,大放异彩.某服装店直接从工厂
购进长、短两款传统服饰进行销售,进货价和销售价如下表:
类别 价格 短款 长款
进货价/(元/件) 80 90
销售价/(元/件) 100 120
(1)该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件,求
两款服装分别购进的件数.
(2)第一次购进的两款服装售完后,该服装店计划再次购进
长、短两款服装共200件(进货价和销售价都不变),且第二次
进货总价不高于16 800元,该服装店这次应如何设计进货方
案,才能获得最大销售利润 最大销售利润是多少
解析 (1)设购进短款服装x件,长款服装y件,
由题意得 解得
答:长款服装购进30件,短款服装购进20件.
(2)设第二次购进m件短款服装,则购进(200-m)件长款服装,
由题意得80m+90 (200-m) ≤16 800,解得m≥120.
设销售利润为w元,
则w=(100-80)m+(120-90) (200-m) =-10m+6 000.
∵-10<0,∴w随m的增大而减小.
∴当m=120时,w最大,最大值为-10×120+6 000=4 800.
答:当购进120件短款服装,80件长款服装时,获得最大销售利
润,最大销售利润是4 800元.
7.【新课标·应用意识】(2025广西钦州期末)海鸭蛋是钦州特
产之一,具有较高营养价值.某农产品销售公司现进货了4 000
千克海鸭蛋,进货成本为40 000元.经市场调查,决定采用批
发、零售、腌制加工后销售这三种方式出售,其中以零售方
式出售需包装成本0.1元/千克;腌制加工后销售需加工费0.2元
/千克(加工前后质量变化忽略不计),计划每千克的平均售价
如表:
销售方式 批发 零售 腌制加工
后销售
售价 12元/千克(批发量超过200千克则按11.5元/千克出售) 15元/千克 18元/千克
若经过一段时间,按计划全部售出获得的总利润为w(元),其中
零售量为x(千克),且批发量是零售量的2倍.
(1)请用含x的式子表示:批发量为_______千克;腌制加工的
量为_______千克.
(2)当批发量超过200千克时,求w与x之间的函数关系式,并写
出自变量x的取值范围.
(3)由于受条件限制,最多对1 000千克海鸭蛋进行腌制加工,求
该公司按计划全部售完这批海鸭蛋获得的最大利润.
解析 (1)∵零售量为x千克,且批发量是零售量的2倍,∴批发
量为2x千克,
∵进了4 000千克海鸭蛋,∴腌制加工的量为4 000-x-2x=(4 000
-3x)千克.故答案为2x;(4 000-3x).
(2)依题意得w=11.5×2x+(15-0.1)x+(18-0.2)·(4 000-3x)-40 000=
-15.5x+31 200,
由 解得100自变量x的取值范围是100(3)∵最多对1 000千克海鸭蛋进行腌制加工,
∴4 000-3x≤1 000,∴x≥1 000,∴1 000≤x≤ ,
∵w=-15.5x+31 200中,-15.5<0,
∴w随x的增大而减小,∴当x=1 000时,w最大,最大值为-15.5×
1 000+31 200=15 700(元).
答:该公司按计划全部售完这批海鸭蛋获得的最大利润为
15 700元.(共29张PPT)
第二十三章 一次函数
第1课时 正比例函数的图象和性质
23.2 一次函数的图象和性质
正比例函数的图象和性质
1.(2024四川德阳中考)正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所
示,则k的值可能是 ( )
A. B.- C.-1 D.-
A
解析 由图象知,函数值y随x的增大而增大,∴k>0,
∴k的值可能是 .故选A.
2.(2025陕西咸阳模拟)若点P(a,b)在第二象限,则正比例函数y
=(a-b)x的图象经过 ( )
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第一、四象限 D.第二、三象限
B
解析 ∵点P(a,b)在第二象限,∴a<0,b>0,∴a-b<0,∴y=(a-b)x
的图象经过第二、四象限.故选B.
3.【学科特色·多解法】(2025湖南长沙期中)若点A(-5,y1)和点
B(-6,y2)都在正比例函数y=-9x的图象上,则y1与y2的大小关系是
( )
A.y1y2
C.y1=y2 D.无法确定
A
解析 【解法一】∵点A(-5,y1)和点B(-6,y2)都在正比例函数y
=-9x的图象上,∴y1=-9×(-5)=45,y2=-9×(-6)=54,∴y1【解法二】∵k=-9<0,∴y随x的增大而减小,
又∵-5>-6,∴y14.【学科特色·教材变式】(2025福建福州期中)关于正比例函
数y=- x,下列结论不正确的是 ( )
A.图象经过原点
B.y随x的增大而减小
C.点 在函数y=- x的图象上
D.图象经过第二、四象限
C
解析 当x=0时,y=- ×0=0,∴正比例函数y=- x的图象经过原
点,故选项A不符合题意;∵k=- <0,∴y随x的增大而减小,故选
项B不符合题意;当x=2时,y=- ×2=- ≠ ,∴点 不在函数
y=- x的图象上,故选项C符合题意;∵k=- <0,∴正比例函数y=
- x的图象经过第二、四象限,故选项D不符合题意.故选C.
5.(2025江苏苏州期末)在y=k1x中,y随x的增大而减小,k1k2<0,则
在同一平面直角坐标系中,y=k1x和y=k2x的图象大致为
( )
B
解析 ∵在y=k1x中,y随x的增大而减小,
∴k1<0,∴函数y=k1x的图象经过第二、四象限,∵k1k2<0,∴k2>
0,∴函数y=k2x的图象经过第一、三象限.故选B.
6.已知函数y=x,y=-x,y=-2x.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中用你认为最简单的方法
画出各函数图象.
(2)观察这些函数图象,你有什么发现
解析 (1)画出函数图象如图所示:
(2)函数y=x,y=-x,y=-2x的图象都经过原点.(答案不唯一,言之有
理即可)
7.已知关于x的正比例函数y=(m+2)x.
(1)m为何值时,函数图象经过第一、三象限
(2)m为何值时,y随x的增大而减小
(3)m为何值时,点(1,3)在该函数的图象上
解析 (1)∵正比例函数y=(m+2)x的图象经过第一、三象限,
∴m+2>0,解得m>-2,
∴当m>-2时,函数图象经过第一、三象限.
(2)∵正比例函数y=(m+2)x中,y随x的增大而减小,∴m+2<0,解
得m<-2,
∴当m<-2时,y随x的增大而减小.
(3)∵点(1,3)在正比例函数y=(m+2)x的图象上,
∴3=(m+2)×1,解得m=1,
∴当m=1时,点(1,3)在该函数的图象上.
8.已知正比例函数y=kx的图象经过点(3,-6).
(1)求这个函数的解析式.
(2)判断点A(4,-2)是否在这个函数图象上.
(3)已知函数图象上两点B(x1,y1),C(x2,y2),如果x1>x2,比较y1,y2的
大小.
解析 (1)∵正比例函数y=kx的图象经过点(3,-6),∴-6=3k,解
得k=-2,
∴这个函数的解析式为y=-2x.
(2)将x=4代入y=-2x,得y=-8≠-2,
∴点A(4,-2)不在这个函数图象上.
(3)∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小.
∵x1>x2,∴y1
9.(2025江西南昌期末,★★☆)已知y=(m-2)x+m2-4是y关于x的
正比例函数,如果点A(m,a)和点B(-m,b)在该函数的图象上,那
么a和b的大小关系是 ( )
A.ab
C.a≤b D.a≥b
B
解析 ∵y=(m-2)x+m2-4是y关于x的正比例函数,
∴ ∴m=-2,
∴正比例函数的解析式为y=-4x,A(-2,a),B(2,b),
∵k=-4<0,∴y随x的增大而减小,∵-2<2,∴a>b.故选B.
10.(2024辽宁本溪期中,★★☆)定义运算“※”为a※b=
如1※(-2)=1×(-2)=-2,则函数y=2※x的图象大致是
( )
A
解析 由题意得y=2※x=
当x>0时,函数图象是直线y=-2x在y轴右侧的部分;当x≤0时,函
数图象是直线y=2x在y轴左侧的部分(包括原点).故选A.
11.【跨物理·光的折射】(2025广东深圳三模,★★☆)光从空
气进入水中,入水前与入水后的光路图如图所示,如图,建立坐
标系,并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1=k
1x,y2=k2x,则关于k1与k2的关系,正确的是 ( )
A.k1>0,k2<0 B.k1<0,k2>0
C
C.|k1|<|k2| D.|k1|>|k2|
解析 由题图可知,y1随x的增大而减小,y2随x的增大而减小,∴
k1<0,k2<0,
如图,在两个图象上分别取横坐标为m的两个点A和B(m>0),
则A(m,k1m),B(m,k2m),∵yA>yB,∴k1m>k2m,∴k1>k2,
又∵k1<0,k2<0,∴|k1|<|k2|.故选C.
12.(2025江西赣州期末,★★☆)如图,点B,C分别在直线y=3x和
y=kx(k≠0)上,点A,D是x轴上两点,已知四边形ABCD是正方形,
则k的值为_________.
解析 由题意得,BA⊥x轴,BC∥x轴,
设OA=a,∵点B在直线y=3x上,∴点B的坐标为(a,3a),∴正方形
ABCD的边长为3a,∴C(4a,3a),
∵点C在直线y=kx上,∴3a=k·4a,解得k= .故答案为 .
13.(2025四川德阳期末,★★☆)如图,已知正比例函数y=kx的
图象经过点A,点A在第四象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为H,点
A的横坐标为6,△AOH的面积为12.
(1)求正比例函数的解析式.
(2)在x轴上能否找到一点P,使△AOP的面积为10 若存在,求
点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解析 (1)∵点A的横坐标为6,且△AOH的面积为12,∴ ×6·
AH=12,解得AH=4,∴A(6,-4),把A(6,-4)代入y=kx,得6k=-4,解得k
=- ,
∴正比例函数的解析式为y=- x.
(2)存在.由(1)知AH=4,设P(t,0),
∵△AOP的面积为10,∴ ·|t|·4=10,
∴t=5或t=-5,∴点P的坐标为(5,0)或(-5,0).
14.【新课标·推理能力】如图,已知直线a:y=x,直线b:y=- x和
点P(1,0),过点P作y轴的平行线交直线a于点P1,过点P1作x轴的
平行线交直线b于点P2,过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3,
过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4,……,按此作法进行下
去,则点P2 026的横坐标为____________.
-21 013
解析 ∵PP1∥y轴,∴P1与P的横坐标相同,
∵P1在直线y=x上,P(1,0),∴P1(1,1),
∵P1P2∥x轴,∴P2的纵坐标=P1的纵坐标=1,
∵P2在直线y=- x上,∴1=- x,解得x=-2,
∴P2(-2,1),即P2的横坐标为-2=-21,
同理,P3的横坐标为-21,P4的横坐标为22,
P5的横坐标为22,P6的横坐标为-23,
P7的横坐标为-23,P8的横坐标为24,
……
∴点P2n的横坐标可表示为(-2)n(n为正整数),
令2n=2 026,则n=1 013,∴点P2 026的横坐标为-21 013.(共7张PPT)
综合与实践 音乐与数学
知识背景 学校的项目式学习兴趣小组计划(用同种型号的玻璃瓶)制作一组水瓶乐器,根据物理学中的振动频率和音调的关系可知,在敲击玻璃瓶时,瓶中水位高度不
同,声音的振动快慢(频率)也不同:水位越高,振动越
慢,音调越低;水位越低,振动越快,音调越高
数据记录 兴趣小组成员进行了多次实验,发现频率f随水位高度h的变化是均匀的,并记录了水瓶不同水位高度对应的振动频率,经整理得到数据如下表:
通过查阅资料,列出以下部分音名与频率对照表,一种音名代表一个水瓶.
问题解决 任务1 以水位高度h(cm)为横坐标,以频率f(Hz)为纵坐标,在如图所示的平面直角坐标系中描出以表中各组数据为坐标的点并连线
任务2 求出该种水瓶乐器的频率f关于水位高度h的函数表达式(无需写出自变量h的取值范围)
任务3 已知水瓶乐器中的水量是随水位高度均匀变化的,当水位高度为5 cm时,所使用的水量为100 mL.若进行演奏音名A4,请求出演奏A4时所使用的瓶子中的水量
解析 任务1 如图所示:
任务2 由图象可知,频率f(Hz)与水位高度h(cm)之间为一次
函数关系,∴设函数表达式为f=kh+b(k≠0),将(5,260)和(10,29
0)代入,得 解得
∴频率f关于水位高度h的函数解析式为f=6h+230.
任务3 演奏A4时,频率为440.0 Hz,由任务2可得f=6h+230,∴
当f=440.0时,6h+230=440.0,
∴h=35,∵水瓶乐器中的水量是随水位高度均匀变化的,当水
位高度为5 cm时,所使用的水量为100 mL,
∴演奏A4时所使用瓶子中的水量为35÷5×100=700(mL).(共29张PPT)
第二十三章 一次函数
第3课时 求一次函数解析式
23.2 一次函数的图象和性质
运用待定系数法求一次函数解析式
1.【学科特色·教材变式】(2025天津河西期末)已知一次函数
的图象过点(2,-3)和点(-1,3),则这个函数的解析式为( )
A.y=-2x-1 B.y=2x-7
C.y=-2x+1 D.y=2x+5
C
解析 设函数的解析式为y=kx+b(k≠0),把点(2,-3)和点(-1,3)
分别代入解析式,得 解得 ∴这个函数的解
析式为y=-2x+1.故选C.
2.【新课标·中华优秀传统文化】象棋起源于中国,中国象棋
文化历史悠久.如图所示的是某次对弈的残图,如果建立平面
直角坐标系,使棋子“帅”在点(-2,-1)的位置,则在同一坐标
系下,经过棋子“帅”和“马”所在的点的直线解析式为
( )
A
A.y=x+1 B.y=x-1
C.y=2x+1 D.y=2x-1
解析 ∵“帅”在点(-2,-1)的位置,∴“马”在点(1,2)的位置,
设经过棋子“帅”和“马”所在的点的直线解析式为y=kx+b
(k≠0),∴ 解得 ∴y=x+1.故选A.
3.【学科特色·转化思想】(2025山东德州期末)已知一次函数
y=kx+b的图象经过点A(-1,-1)和点B(1,-3).
(1)求一次函数的表达式.
(2)请在x轴上找到一点P,使得PA+PB的值最小,并求出P的坐
标.
解析 (1)把A(-1,-1),B(1,-3)代入y=kx+b,
得 解得
∴一次函数的表达式为y=-x-2.
(2)如图,作A关于x轴对称的点A1,连接A1B交x轴于点P,则点P即
为所求,
由对称知A1的坐标为(-1,1),设直线A1B的解析式为y=ax+c(a≠
0),将A1(-1,1),B(1,-3)代入,
得 解得
∴直线A1B的解析式为y=-2x-1,
在y=-2x-1中,令y=0,得-2x-1=0,解得x=- ,∴P .
一次函数的简单应用
4.【跨物理·声速】(2025江苏苏州中考)声音在空气中传播的
速度随温度的变化而变化,科学家测得一定温度下声音传播
的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如表:
温度t/℃ -10 0 10 30
声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348
研究发现v,t满足公式v=at+b(a,b为常数,且a≠0),当温度为15
℃时,声音传播的速度为 ( )
A.333 m/s B.339 m/s C.341 m/s D.342 m/s
B
解析 将t=0,v=330和t=10,v=336分别代入v=at+b,
得 解得
∴v与t之间的函数关系式为v=0.6t+330,
当t=15时,v=0.6×15+330=339,
∴当温度为15 ℃时,声音传播的速度为339 m/s.
5.(2025甘肃定西期末)某公司行李托运的费用y(元)与行李的
质量x(千克)的关系为一次函数,由图象可知,只要行李的质量
不超过__________千克,就可以免费托运.
20
解析 设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0),将(40,600)和(50,90
0)分别代入,得 解得 ∴该一次函数表达
式为y=30x-600,
当y=0时,30x-600=0,解得x=20,
∴只要行李的质量不超过20千克,就可以免费托运.
6.(2025江西赣州期末)某市为了倡导居民节约用水,生活用水
按阶梯式水价计费.如图所示的是居民每户每月的水费y(元)
与所用的水量x(吨)之间的函数图象.根据图象提供的信息,解
答下列问题:
(1)当17≤x≤30时,求y与x之间的函数关系式.
(2)当一户居民在某月的用水量为15吨时,求这户居民这个月
的水费.
解析 (1)当17≤x≤30时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b
(k≠0),将(20,66)和(30,116)分别代入y=kx+b,
得 解得
∴当17≤x≤30时,y与x之间的函数关系式为y=5x-34(17≤x≤
30).
(2)当x=17时,y=5×17-34=51,
∴当0≤x<17时,每吨水的价格为51÷17=3(元), 3×15=45(元).
答:这户居民这个月的水费是45元.
7.(2025广西柳州期末改编,★★☆)如图,在平面直角坐标系
中,直线y=- x+3交x轴于点A,交y轴于点B,以点A为圆心,AB长
为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则直线BC的解析式为
( )
A.y=3x+3 B.y=4x+3
A
C.y=4x+4 D.y=-4x+4
解析 在直线y=- x+3中,令y=0,解得x=4;令x=0,解得y=3,∴A
(4,0),B(0,3),∴BO=3,AO=4,∵∠AOB=90°,∴AB= =5,∴
AC=AB=5,∴CO=5-4=1,∴C(-1,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
把B(0,3),C(-1,0)代入得 解得
∴直线BC的解析式为y=3x+3.故选A.
8.(★★☆)芦笋是一种营养价值极高的蔬菜.实践小组观察记
录了芦笋的成长过程,得到芦笋高度y(单位:厘米)与观察时间
x(单位:天)的关系,并画出了如图所示的图象(AC是线段,射线
CD平行于x轴),下列说法错误的是( )
C
A.AC所在直线的函数表达式为y= x+6
B.芦笋最高为16厘米
C.从开始观察时起,60天后芦笋停止长高
D.观察第40天时,芦笋的高度为14厘米
解析 A.设AC所在直线的函数表达式为y=kx+6(k≠0),将点(3
0,12)代入得30k+6=12,解得k= ,故AC所在直线的函数表达式
为y= x+6,故原说法正确;B.当x=50时,y=16,∴芦笋最高为16
厘米,故原说法正确;C.从开始观察时起,50天后芦笋停止长高,
故原说法错误;D.当x=40时,y= ×40+6=14,∴观察第40天时,芦
笋的高度为14厘米,故原说法正确.故选C.
9.【跨物理·光的反射】(2025陕西西安二模,★★☆)如图,从
光源A发出一束光,经x轴上的一点B(-4,0)反射后,得到光线BC,
光线BC经y轴上一点C反射后,得到光线CD.若AB∥CD,且光
线AB所在直线的函数表达式为y=- x+b,则光线CD所在直线
的函数表达式为 ( )
D
A.y=- x+ B.y= x+2
C.y=-2x+2 D.y=- x+2
解析 如图,延长AB交y轴于点E,
把B(-4,0)代入y=- x+b,得- ×(-4)+b=0,
解得b=-2,∴E(0,-2),
∴OE=2,由光的反射可知,∠ABF=∠OBC,
∴∠OBC=∠OBE,
∵OB=OB,∠BOC=∠BOE=90°,
∴△BOC≌△BOE,∴OC=OE=2,
∴C(0,2),∵AB∥CD,∴设光线CD所在直线的函数表达式为y
=- x+c(c≠-2),
把C(0,2)代入,得c=2,
∴光线CD所在直线的函数表达式为y=- x+2.
10.(2025江苏宿迁期末,★★★)如图,四边形ABCD的顶点坐标
分别为A(-6,0),B(-3,-2),C(4,0),D(0,4),过点A的直线l将四边形
ABCD分成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式为
______________.
x+
y=
解析 ∵A(-6,0),B(-3,-2),C(4,0),D(0,4),∴S△ACD= ×[4-(-6)]×4=
20,S△ABC= ×[4-(-6)]×2=10,∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=30.
如图,设直线l过CD上一点E,
由题意得S△ABC+S△AEC= ×30=15,
∴S△AEC=5,∴E点的纵坐标为1,
设直线CD的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
将C(4,0)和D(0,4)分别代入,
得 解得
∴直线CD的函数表达式为y=-x+4,
当y=1时,x=3,∴E(3,1),
设直线l的函数表达式为y=mx+n(m≠0),
将A(-6,0)和E(3,1)分别代入,
得 解得
∴直线l的函数表达式为y= x+ .
11.【新课标·模型观念】如图,在平面直角坐标系中,线段AB
的端点为A(-8,19),B(6,5).
(1)求AB所在直线的解析式.
(2)某同学设计了一个动画:
在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,便得到射线
CD,其中C(c,0).当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞
行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出.
①若有光点P弹出,试推算m,n应满足的数量关系.
②当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是
整数)时,线段AB就会发光,求此时整数m的个数.
解析 (1)设AB所在直线的解析式为y=kx+t(k≠0),将A(-8,19),
B(6,5)代入,
得 解得
∴AB所在直线的解析式为y=-x+11.
(2)①若有光点P弹出,则c=2,∴C(2,0),
把x=2,y=0代入y=mx+n,得2m+n=0.
②设光点P击中线段AB上的点为(a,b),
则b=-a+11且5≤b≤19,
∴a=11-b(5≤b≤19),
∴当b是整数时,a也是整数.
∵点P在y=mx+n的图象上,2m+n=0,
∴b=ma-2m,∴m= = = -1.
∴只有当b=6,8,10,12,18时,m为整数,
∴整数m的个数是5.(共33张PPT)
第二十三章 一次函数
第2课时 一次函数的图象和性质
23.2 一次函数的图象和性质
一次函数的图象
1.(2025新疆中考)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图
象是 ( )
D
解析 ∵在一次函数y=x+1中,k=1>0,b=1>0,∴一次函数y=x+1
的图象过第一、二、三象限.故选D.
2.(2025河南驻马店三模)一次函数y=ax+b的图象如图所示,若
a=m-4,b=2m+1,则m的值可以是( )
A.-1 B.0 C.-2 D.5
B
解析 ∵y=ax+b的图象过第一、二、四象限,∴a<0,b>0,∵a=
m-4,b=2m+1,∴
∴- 3.【新考向·结论开放题】(2025上海闵行期中)写出一个一次
函数,使该函数图象经过第一、三、四象限,则这个一次函数
可以是____________________.
y=x-1(答案不唯一)
解析 设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0),∵一次函数的图象
经过第一、三、四象限,∴k>0,b<0,∴这个一次函数可以是y=
x-1(答案不唯一).
4.(2025江苏苏州月考)已知,一次函数y=-2x+4.
(1)画出该函数的图象.
(2)设该函数图象分别与x轴,y轴交于点A,B,请直接写出A,B两
点的坐标.
(3)点P是一次函数y=-2x+4上一动点,求OP的最小值.
解析 (1)一次函数y=-2x+4的图象如图所示:
(2)当x=0时,y=4;当y=0时,x=2.∵一次函数y=-2x+4的图象分别
与x轴,y轴交于点A,B,∴A(2,0),B(0,4).
(3)如图,作OP'⊥AB交AB于点P',由垂线段最短可知,当OP与直
线y=-2x+4垂直,即点P与点P'重合时,OP取得最小值,∵OA=2,
OB=4,∠AOB=90°,
∴AB= =2 ,
∵S△ABO= OA·OB= AB·OP',
∴ ×2×4= ×2 OP',∴OP'= .
∴OP的最小值为 .
一次函数图象的平移
5.【学科特色·教材变式】(2025湖南张家界期末)将直线y=3x
+1向下平移2个单位后得到的直线表达式为______________.
y=3x-1
解析 将直线y=3x+1向下平移2个单位后得到的直线表达式
为y=3x+1-2,即y=3x-1.
6.(2025北京东城期中)将直线y=2x-1向______(填“上”或
“下”)平移_________个单位可得直线y=2x+2.将直线y=2x-1
向_________(填“左”或“右”)平移_________个单位可得
直线y=2x+7.
4
左
3
上
解析 设将直线y=2x-1向上平移m个单位可得直线y=2x+2,则
有2x-1+m=2x+2,解得m=3,∴将直线y=2x-1向上平移3个单位
可得直线y=2x+2.
设将直线y=2x-1向右平移n个单位可得直线y=2x+7,则有2(x-n)
-1=2x+7,解得n=-4,∴将直线y=2x-1向左平移4个单位可得直
线y=2x+7.
一次函数的性质
7.(2024湖南长沙中考)对于一次函数y=2x-1,下列结论正确的
是 ( )
A.它的图象与y轴交于点(0,-1)
B.y随x的增大而减小
C.当x> 时,y<0
D.它的图象经过第一、二、三象限
A
解析 A.当x=0时,y=-1,∴它的图象与y轴交于点(0,-1),故本选
项符合题意;
B.∵2>0,∴y随x的增大而增大,故本选项不符合题意;
C.当x> 时,y>0,故本选项不符合题意;
D.∵2>0,-1<0,∴它的图象经过第一、三、四象限,故本选项
不符合题意.故选A.
8.已知一次函数y=-3x+m图象上的三点P(n,a),Q(n-1,b),R(n+
2,c),则a,b,c的大小关系是 ( )
A.b>a>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>b>c
A
解析 ∵k=-3<0,∴y值随着x值的增大而减小.
又∵n-1a>c.故选A.
9.已知函数y=(2m+1)x+m-3.
(1)若函数图象经过原点,求m的值.
(2)若该函数的图象与直线y=3x-3平行,求m的值.
(3)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取
值范围.
解析 (1)∵函数y=(2m+1)x+m-3的图象经过原点,∴当x=0时,y
=0,即m-3=0,解得m=3.
(2)∵函数y=(2m+1)x+m-3的图象与直线y=3x-3平行,∴2m+1=
3,且m-3≠-3,解得m=1.
(3)∵这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,∴2m+1<
0,解得m<- .
10.(2025江苏扬州中考,★★☆)已知m2 025+2 025m=2 025,则一
次函数y=(1-m)x+m的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
解析 ∵m2 025+2 025m=2 025,∴m>0且2 025m<2 025,∴01,∴1-m>0,
∴一次函数y=(1-m)x+m的图象经过第一、二、三象限,不经
过第四象限.故选D.
11.(2025浙江金华期末,★★☆)两个一次函数y1=ax+b与y2=bx
+a(a≠0,b≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
( )
A
解析 在A、C选项中,由直线y1=ax+b知,a>0,b<0,∴直线y2=bx
+a应过第一、二、四象限,故选项A正确,选项C不正确;在B、
D选项中,由直线y1=ax+b知,a>0,b>0,∴直线y2=bx+a应过第
一、二、三象限,故选项B错误,选项D错误.故选A.
12.(2025安徽蚌埠期末,★★☆)将直线y=2x+4平移后恰好经
过坐标原点.下列关于平移方法错误的是 ( )
A.向左平移2个单位,再向上平移2个单位
B.向右平移1个单位,再向下平移2个单位
C.向右平移2个单位
D.向下平移4个单位
A
解析 A.直线y=2x+4向左平移2个单位,再向上平移2个单位
后得到的直线的解析式为y=2(x+2)+4+2=2x+10,此时函数图
象不过原点,符合题意;B.直线y=2x+4向右平移1个单位,再向
下平移2个单位后得到的直线的解析式为y=2(x-1)+4-2=2x,此
时函数图象过原点,不合题意;C.直线y=2x+4向右平移2个单位
后得到的直线的解析式为y=2(x-2)+4=2x,此时函数图象过原
点,不合题意;D.直线y=2x+4向下平移4个单位后得到的直线的
解析式为y=2x+4-4=2x,此时函数图象过原点,不合题意.故
选A.
13.(2024山东德州期末,★★☆)关于函数y=kx+k-2,下列说法
正确的是________.(填序号)
①当k≠0时,该函数是一次函数;
②若点A(m-1,y1),B(m+3,y2)在该函数图象上,且y10;
③若该函数图象不经过第四象限,则k>2;
④该函数图象恒过定点(-1,-2).
①②④
解析 当k≠0时,该函数是一次函数,故①说法正确;
∵m-1∴k>0,故②说法正确;
∵该函数图象不经过第四象限,∴k>0,k-2≥0,
∴k≥2,故③说法错误;
∵y=kx+k-2=k(x+1)-2,当x=-1时,y=-2,
∴该函数图象恒过定点(-1,-2),故④说法正确.
故答案为①②④.
14.(2025福建福州期末,★★☆)小聪对函数y=2|x-2|+x-3的图
象和性质进行探究,下面是他的探究过程,请你补充完整.列表
如下:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 4 a 2 1 0 b 2 5 …
(1)填空:表中a=_______,b=_______.
(2)在图中描点并画出该函数的图象.
(3)观察函数y=2|x-2|+x-3的图象,判断下列说法正确的是_____
_____(填序号).
①当x≥2时,y随x的增大而增大;
②当y=0时,x=1;
③该函数存在最小值,最小值为-1;
④该函数图象关于直线x=2对称.
(4)当y<2时,x的取值范围是_______.
解析 (1)∵当x=-2时,y=2×|-2-2|-2-3=3,∴a=3,∵当x=2时,y=2×
|2-2|+2-3=-1,∴b=-1.故答案为3;-1.
(2)如图所示:
(3)当x≥2时,y随x的增大而增大,故①说法正确;当y=0时,x=1或
,故②说法错误;该函数存在最小值,最小值为-1,故③说法正
确;该函数图象不关于直线x=2对称,故④说法错误.综上所述,
说法正确的是①③.
(4)由图象可知,当y<2时,x的取值范围是-1
15.【新课标·几何直观】如图,已知一次函数y=- x+ 的图象
与x轴,y轴分别交于点A,B,点C,D均在该函数图象上.
(1)判断点 是否在直线AB上,并说明理由.
(2)当-1≤y≤3时,求x的取值范围.
(3)在x轴上是否存在点P,使得△CDP的
面积为2 若存在,请求出点P的坐标;若
不存在,请说明理由.
解析 (1)点 在直线AB上.理由如下:
在y=- x+ 中,令x= ,则y=- × + =0,
∴点 在直线AB上.
(2)在y=- x+ 中,令y=-1,则-1=- x+ ,解得x=2,令y=3,则3=- x
+ ,解得x=-1,
∴当-1≤y≤3时,x的取值范围是-1≤x≤2.
(3)存在点P,使得△CDP的面积为2.
在y=- x+ 中,令x=-1,得y=3,∴D(-1,3),
在y=- x+ 中,令y=-1,得x=2,∴C(2,-1),
在y=- x+ 中,令y=0,得x= ,∴A ,
∵△CDP的面积为2,
∴ AP·|yD-yC|=2,即 AP×4=2,∴AP=1,
当P在A的左侧时,点P的坐标为 ;
当P在A的右侧时,点P的坐标为 .
综上所述,点P的坐标为 或 .
