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第二十一章 四边形
21.2.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定(2)
21.2 平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.(2025重庆期中)如图,在四边形ABCD中,AB=4,BC=6,∠ABD
=∠CDB=32°.要使四边形ABCD为平行四边形,添加的条件可
以是( )
A.BD=8 B.∠CBD=32°
C.CD=4 D.AD=6
C
解析 添加的条件可以是CD=4.
∵∠ABD=∠CDB=32°,∴AB∥CD,
当AB=CD=4时,四边形ABCD是平行四边形.故选C.
2.(2024四川乐山中考)如图,下列条件中不能判定四边形
ABCD为平行四边形的是 ( )
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC
D
解析 D.一组对边平行,另一组对边相等,可能是等腰梯形,故
不能判定题图中的四边形是平行四边形.故选D.
3.(2025广东深圳期末)依据图中所标数据,能判定四边形为平
行四边形的是 ( )
C
解析 如图1,∵∠A=100°,∠C=110°,∴∠A≠∠C,∴四边形
ABCD不是平行四边形,故A不符合题意;
如图2,∵∠E=110°,∠F=70°,
∴∠E+∠F=180°,∴EH∥FG,
∵EF=HG=2,∴四边形EFGH是平行四边形或等腰梯形,故B
不符合题意;
如图3,∵∠I=110°,∠J=70°,
∴∠I+∠J=180°,∴IL∥JK,
∵IL=JK=2,∴四边形IJKL是平行四边形,故C符合题意;
如图4,∵MQ=PN=2,MQ与PN不一定平行,MN与QP不一定相
等,∴四边形MNPQ不一定是平行四边形,故D不符合题意.故
选C.
4.(2025山东青岛期末)已知:如图,在 ABCD中,E,F分别是AB
和CD上的点,AE=CF,M,N分别是DE和BF的中点.
求证:(1)△ADE≌△CBF.
(2)四边形ENFM是平行四边形.
证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,∠A=∠C,
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)由(1)得△ADE≌△CBF,
∴DE=BF,∠AED=∠CFB,
∵M,N分别是DE和BF的中点,
∴EM= DE,FN= BF,∴EM=FN,
∵AB∥CD,∴∠ABF=∠CFB,
∴∠AED=∠ABF,∴EM∥FN,
∴四边形ENFM是平行四边形.
5.【新考向·尺规作图】(2024浙江中考)尺规作图问题:如图1,
点E是 ABCD边AD上一点(不包含A,D),连接CE.用尺规作AF
∥CE,F是边BC上一点.
小明:“如图2,以C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连接
AF,则AF∥CE.”
小丽:“以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,
则AF∥CE.”
小明:“小丽,你的作法有问题.”
小丽:“哦,我明白了!”
(1)如图2,证明:AF∥CE.
(2)指出小丽作法中存在的问题.
解析 (1)证明:根据小明的作法知CF=AE,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
又∵CF=AE,∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AF∥CE.
(2)以点A为圆心,CE长为半径画弧,交BC于点F,此时可能会有
两个交点,只有其中之一符合题意.故小丽的作法有问题.
6.【新考向·条件开放题】(2024湖南中考)如图,在四边形
ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,_______.
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选
一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形.
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
解析 选择①或②.
(1)若选择①,证明如下:∵∠B=∠AED,∴BC∥DE,
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形.
若选择②,证明如下:
∵AE=BE,AE=CD,∴BE=CD,
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形.
(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形,∴DE=BC=10,∵AD
⊥AB,∴∠A=90°,
∴AE= = =6,即线段AE的长为6.
7.(2025北京朝阳期末,★★☆)如图,E是 ABCD边AD延长线
上一点,连接BE,CE,BD,BE交CD于点F.添加以下条件,不能判
定四边形BCED为平行四边形的是 ( )
A.BD∥CE B.DE=BC
C.∠AEC=∠CBD D.∠AEB=∠BCD
D
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,∠A=∠BCD,
∵点E是AD延长线上一点,∴DE∥BC.
A.添加BD∥CE,根据“两组对边分别平行的四边形是平行四
边形”可证明四边形BCED是平行四边形,故不符合题意;
B.添加DE=BC,根据“一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形”可证明四边形BCED是平行四边形,故不符合题意;
C.添加∠AEC=∠CBD,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,
∴∠AEC=∠ADB,∴BD∥CE,
∵DE∥BC,∴四边形BCED是平行四边形,故不符合题意;
D.添加∠AEB=∠BCD,无法证明四边形BCED是平行四边形,
故符合题意.故选D.
8.(2025江苏盐城期中,★★☆)如图,F是 ABCD的边CD上的
点,Q是BF的中点,连接CQ并延长交AB于点E,连接AF与DE相
交于点P,若S△APD=4 cm2,S ABCD=64 cm2,则阴影部分的面积为
( )
A
A.28 cm2 B.26 cm2 C.24 cm2 D.20 cm2
解析 如图,连接EF,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BEQ=∠FCQ,
∵Q是BF的中点,∴BQ=FQ,
在△BEQ和△FCQ中,
∴△BEQ≌△FCQ(AAS),∴BE=CF,
∵BE∥CF,∴四边形BCFE是平行四边形,
∴S△BEF= S BCFE,∵AB=CD,∴AE=FD,
又∵AE∥FD,∴四边形ADFE是平行四边形,
∴S△PEF=S△APD=4 cm2,S ADFE=4S△APD=16 cm2,
∵S ABCD=64 cm2,
∴S BCFE=S ABCD-S ADFE=64-16=48 cm2,
∴S△BEF= ×48=24 cm2,
∴阴影部分的面积为S△BEF+S△PEF=28 cm2.故选A.
9.(2025江苏南通期末,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AD∥
BC,AC⊥BD,点E为AD上一点,连接BE,CE.若AE=DE=BC= ,
则BE2+CE2=__________.
25
解析 如图,设AC与BD交于点O,
∵AD∥BC,AE=BC= ,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴CE=AB,同理可得BE=CD,
∵AC⊥BD,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°,
∴OA2+OB2=AB2=CE2,OD2+OC2=CD2=BE2,
∴BE2+CE2=(OD2+OA2)+(OC2+OB2)=AD2+BC2=(2 )2+( )2=
25,故答案为25.
10.(2024甘肃武威期中,★★☆)如图,四边形ABCD中,AB=CD,
对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连接
AF,CE,若DE=BF,则下列结论:①CF=AE;②OE=OF;③四边形
ABCD是平行四边形;④图中共有四对全等三角形.其中正确
的结论是________(填序号).
①②③
解析 ∵DE=BF,∴DF=BE,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°,
在Rt△AEB和Rt△CFD中,
∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL),
∴CF=AE.故结论①正确.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF,
∵AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形,
∴OE=OF.故结论②正确.
∵Rt△AEB≌Rt△CFD,
∴∠ABE=∠CDF,∴AB∥CD,
∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
故结论③正确.
易得△CDF≌△ABE,△CDO≌△ABO,△CDE≌△ABF,△
BCD≌△DAB,△CFO≌△AEO等.故结论④错误.故正确的结
论是①②③.
11.【新课标·推理能力】【新考向·动点探究题】(2025山东
聊城期末)如图,在△ABC中,AB=AC=10 cm,BC=4 cm,其中
BD是AC边上的高.点M从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度
为4 cm/s;同时点P由B点出发,沿BA方向匀速运动,速度为1 cm
/s,过点P的直线PQ∥AC,交BC于点Q,连接PM,设运动时间为t
(s)(0(1)线段BP=_______cm,AM=_______cm(用含t的代数式表示).
(2)求AD的长.
(3)当t为何值时,以P,Q,D,M为顶点的四边形是平行四边形
解析 (1)t;4t.
(2)设AD=x cm,则CD=(10-x)cm,
∵BD是AC边上的高,∴∠ADB=∠CDB=90°,
∴BD2=AB2-AD2=BC2-CD2,
∴102-x2=(4 )2-(10-x)2,
解得x=6,∴AD=6 cm.
(3)分两种情况:
①当点M在线段AD上时,如图所示,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵PQ∥AC,∴∠PQB=∠C,∴∠ABC
=∠PQB,∴PQ=BP=t cm,
由(2)得AD=6 cm,∴MD=AD-AM=(6-4t)cm.
∵PQ∥MD,∴当PQ=MD,即t=6-4t时,
四边形PQDM是平行四边形,此时t=1.2;
②当点M在线段CD上时,如图所示,
易得PQ=BP=t cm,MD=(4t-6)cm.
∵PQ∥MD,∴当PQ=MD,即t=4t-6时,
四边形PQMD是平行四边形,此时t=2.
综上所述,当t=1.2或t=2时,以P,Q,D,M为顶点的四边形是平行
四边形.(共31张PPT)
第二十一章 四边形
21.1.2 多边形及其内角和
21.1 四边形及多边形
多边形及其相关概念
1.下列选项的图形中,不是凸多边形的是 ( )
A
解析 根据凸多边形的概念可知A选项中的图形不是凸多边
形.故选A.
2.(2025河南模拟)过多边形一个顶点的所有对角线,将这个多
边形分成8个三角形,这个多边形的边数是 ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
C
解析 设这个多边形的边数是n,
由题意得n-2=8,∴n=10.故选C.
多边形的内角和
3.(2025四川绵阳期末)如图1所示的是一把木工使用的六角
尺.它能提供常用的几种测量角度,在图2所示的六角尺示意图
中,x的值应是( )
A.100 B.112.5 C.120 D.125
B
解析 由题意得135+x+(2x-120)+(x+9)+120+126=180×(6-2),
解得x=112.5.故选B.
4.(2025河北石家庄二模)将一个正八边形与一个正六边形按
如图所示的方式放置,顶点A,B,C,D在同一条直线上,E为公共
顶点,则∠FEG的度数为 ( )
A.40° B.35° C.30° D.25°
C
解析 由题意得∠ABE=∠BEF=(8-2)×180°÷8=135°,∠DCE=∠CEG=(6-2)×180°÷6=120°,
∴∠CBE=180°-135°=45°,∠BCE=180°-120°=60°,
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠BCE=180°-45°-60°=75°,
∴∠FEG=360°-(135°+120°+75°)=30°.故选C.
5.(2025湖南长沙中考)如图,五边形ABCDE中,∠B=120°,∠C=
110°,∠D=105°,则∠A+∠E=___________°.
205
解析 ∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°,
∵∠B=120°,∠C=110°,∠D=105°,
∴∠A+∠E=540°-120°-110°-105°=205°.故答案为205.
6.(2025广西南宁二十四中月考)数学活动课上,小明一笔画成
了如图所示的图形,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的
度数为____________.
540°
解析 如图,
根据三角形外角的性质可得,∠1=∠F+∠G,∠2=∠E+∠1,∴
∠2=∠E+∠F+∠G,
∵五边形ABCDH的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠2=(5-2)×
180°=540°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
7.(2025浙江宁波模拟)以下是小明和小红的对话:
小明:“我把一个多边形的各内角度数相加,得到的和为
1 520°.”
小红:“多边形的内角和不可能是1 520°,我看了你的过程,你
多加了一个外角的度数.”
解决下列问题:
(1)多边形的内角和可能是1 520°吗
(2)求该多边形的内角和.
解析 (1)多边形的内角和不可能是1 520°.
理由:假设多边形的内角和是1 520°,设多边形的边数为a,则(a
-2)×180°=1 520°,解得a=10 .
∵a不是正整数,∴多边形的内角和不可能是1 520°.
(2)设多加的一个外角的度数为α,这个多边形的边数为n,根据
题意可得(n-2)×180°+α=1 520°,则α=1 520°-(n-2)×180°,
∵0°<α<180°,∴0°<1 520°-(n-2)×180°<180°,
∴9 ∴该多边形的内角和为(10-2)×180°=1 440°.
多边形的外角和
8.(2025湖北宜昌模拟)已知一个正多边形的一个外角为45°,
则这个正多边形的边数是 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
B
解析 ∵多边形的外角和为360°,360°÷45°=8,∴这个正多边形的边数是8.故选B.
9.(2025四川凉山州中考)已知一个多边形的内角和是它外角
和的4倍,则从这个多边形的一个顶点处可以引_______条对
角线. ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
B
解析 设这个多边形的边数为n,则有180°·(n-2)=360°×4,解得n=10,∴这个多边形是十边形,
∴从这个多边形的一个顶点处可以引10-3=7条对角线.故
选B.
10.【学科特色·教材变式】(2025陕西西安期末)按要求完成
下列各题:
(1)已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,求这
个多边形的边数.
(2)已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外
角的度数之比为9∶2,求这个多边形的边数.
解析 (1)设这个多边形的边数是n,
依题意得(n-2)×180°=3×360°-180°,
∴n-2=6-1,∴n=7.
∴这个多边形的边数是7.
(2)∵一个多边形的每一个外角都相等,
∴该多边形的每一个内角都相等,
设这个多边形的一个内角为9x度,则一个外角为2x度,依题意
得9x+2x=180,解得x= ,
∴这个多边形的边数为360÷ =11.
答:这个多边形的边数为11.
11.(2024内蒙古赤峰中考,★★☆)如图所示的是正n边形纸片
的一部分,其中l,m是正n边形两条边的一部分,若l,m所在的直
线相交形成的锐角为60°,则n的值是 ( )
A.5 B.6 C.8 D.10
B
解析 如图,直线l,m相交于点A,则∠A=60°,
∵正多边形的每个外角都相等,
∴∠1=∠2= =60°,∴n= =6.故选B.
12.(2025湖南娄底期中,★★☆)如图,在正六边形ABCDEF中,
作正五边形HKCDG,连接BK,则∠ABK的度数为 ( )
A.24° B.30° C.36° D.45°
C
解析 由题意得∠ABC=∠BCD=(6-2)×180°÷6=120°,∠KCD=(5-2)×180°÷5=108°,
∴∠BCK=∠BCD-∠KCD=120°-108°=12°,
∵BC=CK,∴∠CBK=∠CKB,∵∠BCK+∠CBK+∠CKB=180°,
∴∠CBK=(180°-12°)÷2=84°,∴∠ABK=120°-84°=36°.故选C.
13.【新课标·中华优秀传统文化】(2025江苏泰州期末,★★
☆)窗棂是中国传统文化的一种元素,它常见的几何形式有万
字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等.图①中的窗棂是冰裂纹窗
棂,冰裂,有冰雪消融,万物复苏的意思,用在门窗上,就有了美
好、如意即将到来的寓意.图②是这种窗棂中的部分图案,若
∠1+∠3+∠5=150°,则∠2+∠4+∠6=___________°.
330
解析 如图,由多边形外角和为360°,
可知∠1+∠3+∠5+∠7+∠8+∠9=
360°,∵∠1+∠3+∠5=150°,
∴∠7+∠8+∠9=360°-150°=210°,
∵∠2+∠7=180°,∠4+∠8=180°,∠6+∠9=180°,
∴∠2+∠4+∠6=180°-∠7+180°-∠8+180°-∠9=180°×3-
(∠7+∠8+∠9)=540°-210°=330°,故答案为330.
14.(2025陕西商洛三模,★★☆)如图,将正五边形纸片ABCDE
折叠,使点B与点E重合,折痕为AF,展开后,再将纸片折叠,使边
AB落在线段AF上,点B的对应点为点Q,折痕为AP,则∠APQ的
大小为__________度.
45
解析 由翻折的性质可知,直线AF是正五边形ABCDE的对称
轴,AB=AQ,∠BAP=∠QAP,∠APB=∠APQ,∠B=∠AQP,
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠B=∠BAE= =108°,
∴∠BAP= ∠BAE= ×108°=27°,
∵在△BAP中,∠B=108°,∠BAP=27°,
∴∠APB=180°-108°-27°=45°,
∴∠APQ=∠APB=45°.故答案为45.
15.【新课标·推理能力】(2025广东韶关翁源期中)李华学习
了“多边形及其内角和”后,对几何学习产生了浓厚的兴趣.
有道题如下:
如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于点G.
经证明,有如下结论:(1)∠BGC=180°-
(∠ABC+∠ACB).
(2)∠BGC=90°+ ∠A.
李华发现这个题目其实是解决“三角形的一个内角与另外两
个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系”这个问题,他
把这个问题改编如下:
问题1:若将△ABC改为任意四边形ABCD呢 如图①,在四边形
ABCD中,DP,CP分别平分∠ADC,∠BCD,请你利用上述结论
探究∠P与∠A+∠B之间的数量关系,并说明理由.
问题2:若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢 如
图②所示,请你利用上述结论探究∠P与∠A+∠B+∠E+∠F之
间的数量关系,并说明理由.
解析 问题1:∠P= (∠A+∠B).
理由:∵DP,CP分别平分∠ADC,∠BCD,
∴∠PDC= ∠ADC,∠PCD= ∠BCD,
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°- ∠ADC- ∠BCD=180°- (∠ADC+∠BCD)=180°- (360°-∠A-∠B)= (∠A+∠B).
问题2:∠P= (∠A+∠B+∠E+∠F)-180°.
理由:六边形ABCDEF的内角和为(6-2)×180°=720°.
∵DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,
∴∠PDC= ∠EDC,∠PCD= ∠BCD,
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°- ∠EDC- ∠BCD=180°- (∠EDC+∠BCD)=180°- (720°-∠A-∠B-∠E-∠F)= (∠A+∠B+∠E+∠F)-180°.(共31张PPT)
第二十一章 四边形
21.3.1 矩形
第2课时 矩形的判定
21.3 特殊的平行四边形
矩形的判定
1.(2025河北承德一模)依据所标数据,下列四边形不一定是矩
形的是 ( )
A
解析 A.根据AD=BC=4,AB=CD=3,
只能判定四边形ABCD是平行四边形,不一定是矩形,故A符合
题意;
B.∵∠A=∠B=∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形,故B不符合题
意;
C.∵∠A=∠B=90°,∴∠A+∠B=180°,
∴AD∥BC,∵AD=BC=4,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD为矩形,故C不符合题意;
D.∵AB=CD=3,AD=BC=4,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC=5,∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形,故D不符合题意.故选A.
2.(2025江苏南通启东期末)如图,四边形ABCD的对角线AC,
BD交于点O,根据图中所标数据,再添加一个条件,使四边形
ABCD为矩形,添加的条件可以是 ( )
A.OB=5 B.OD=5 C.AB=5 D.BC=8
B
解析 添加OD=5,
理由:∵∠ABC=90°,AO=OC=5,∴OB= AC=5,
∵OD=5,∴OA=OC=OB=OD=5,
∴四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD=10,
∴四边形ABCD为矩形.故选B.
3.(2024四川泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列
条件中,不能判定 ABCD为矩形的是 ( )
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
D
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当∠A=90°时,平行四边形ABCD是矩形,
故选项A可以判定 ABCD为矩形;
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠B+∠C=180°,
∴当∠B=∠C时,∠B=∠C=90°,此时 ABCD为矩形,故选项B
可以判定 ABCD为矩形;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当AC=BD时,平行四边形ABCD是矩形,
故选项C可以判定 ABCD为矩形;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当AC⊥BD时,平行四边形ABCD不一定是矩形,故选项D不
能判定 ABCD为矩形.故选D.
4.【学科特色·教材变式】如图, ABCD的对角线AC,BD相交
于点O,F为OC上一点,E为AO上一点,且AF=CE,EF=2BO,连接
BE,DF,DE,BF,求证:四边形EBFD是矩形.
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,OA=OC,BD=2BO,
∵AF=CE,∴AF-AO=CE-CO,即OF=OE,
又∵OB=OD,∴四边形EBFD为平行四边形,
又∵EF=2BO,∴EF=BD,∴四边形EBFD为矩形.
5.【新考向·条件开放题】(2024贵州中考)如图,四边形ABCD
的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列条
件:①AB∥CD,②AD=BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩
形.
(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.
解析 (1)选择①,证明:∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形.
选择②,证明:∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形.
(2)∵AB=3,AC=5,∠ABC=90°,
∴BC= =4,
∴矩形ABCD的面积=AB·BC=3×4=12.
6.(2024甘肃兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中
点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC.
(1)求证:四边形ADCE是矩形.
(2)若BC=4,CE=3,求EF的长.
解析 (1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥
BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,
∵CE∥AD,∴∠ECD=∠ADB=90°,
∵AE⊥AD,∴∠EAD=90°,
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
(2)∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,BC=4,∴BD=CD=
BC=2,
由(1)可知,四边形ADCE是矩形,
∴AE=CD=2,∠AEC=90°,
∴在Rt△AEC中,AC= = ,
∵EF⊥AC,∴S△AEC= AC·EF= AE·CE,
∴EF= = = .
7.(2025湖北武汉期中,★★☆)如图,E,F,G,H分别是四边形
ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形
ABCD应具备的条件是( )
A.一组对边平行而另一组对边不平行
B.对角线相等
C
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分
解析 要使四边形EFGH是矩形,四边形ABCD应具备的条件
是对角线互相垂直.理由:如图,连接AC,BD,
∵E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,
∴EH∥BD,EH= BD,FG∥BD,FG= BD,EF∥AC,∴EH∥FG,
EH=FG,∴四边形EFGH是平行四边形,
∵EF∥AC,EH∥BD,AC⊥BD,
∴EF⊥EH,∴四边形EFGH是矩形.
8.(2025河南驻马店期末,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=
90°,AB=3,AC=4,点P为斜边BC上的一个动点,过P分别作PE⊥
AB于点E,PF⊥AC于点F,连接EF,则线段EF的最小值为
_________.
解析 如图,连接AP,
∵∠BAC=90°,PE⊥AB,PF⊥AC,
∴四边形AEPF是矩形,∴EF=AP,
∴线段AP的最小值就是线段EF的最小值,
∵点P为斜边BC上的一个动点,
∴当AP⊥BC时,AP的值最小.
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,则BC= =5,
由等面积法可得AP的长为 = .
∴线段EF的最小值为 .
9.(2025北京中考,★★☆)如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC
的中点,DF⊥BC,垂足为F,点G在DE的延长线上,DG=FC,连接
CG.
(1)求证:四边形DFCG是矩形.
(2)若∠B=45°,DF=3,DG=5,求BC和AC的长.
解析 (1)证明:∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,
∵点G在DE的延长线上,∴DG∥FC,
∵DG=FC,∴四边形DFCG是平行四边形,
∵DF⊥BC,∴∠DFC=90°,∴平行四边形DFCG是矩形.
(2)∵DF⊥BC,∴∠DFB=90°,
∵∠B=45°,∴△BDF是等腰直角三角形,
∴BF=DF=3,∵FC=DG=5,∴BC=BF+FC=3+5=8.
∵DE是△ABC的中位线,四边形DFCG是矩形,
∴DE= BC=4,CG=DF=3,∠G=90°,
∴EG=DG-DE=5-4=1,
∴CE= = = ,
∵E为AC的中点,∴AC=2CE=2 .
10.(2025四川德阳模拟,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,E
为线段CD的中点,连接AC,AE,延长AE,BC交于点F,连接DF,∠
ACF=90°.
(1)求证:四边形ACFD是矩形.
(2)若CD=10,CF=6,求四边形ABCE的面积.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴
∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE,
∵E为线段CD的中点,∴DE=CE,
∴△ADE≌△FCE(AAS),∴AE=FE,
∴四边形ACFD是平行四边形,
∵∠ACF=90°,∴四边形ACFD是矩形.
(2)∵四边形ACFD是矩形,
∴∠CFD=90°,AC=DF,AD=CF=6,
∵CD=10,CF=6,∴DF= = =8,
∴S平行四边形ABCD=AD·AC=6×8=48,
∵△ADE≌△FCE,
∴S△ADE=S△CEF= S△ACF= × ×6×8=12,
∴S四边形ABCE=S平行四边形ABCD-S△ADE=48-12=36.
11.【新课标·推理能力】【新考向·动点探究题】(2025山东
东营期末)如图,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作
直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠
ACD的平分线于点F.
(1)求证:OE=OF.
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长.
(3)连接AE,AF,当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形
AECF是矩形 请说明理由.
解析 (1)证明:∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE,∵MN∥
BC,∴∠BCE=∠OEC,
∴∠ACE=∠OEC,∴OE=OC,
同理可得OF=OC,∴OE=OF.
(2)∵CE,CF分别平分∠ACB和∠ACD,
∴∠ACE= ∠ACB,∠ACF= ∠ACD,
∵∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= ×180°=90°,
∴EF= = =13,
∴OC= EF=6.5.
(3)当点O在AC的中点处时,四边形AECF是矩形.
理由如下:
当点O为AC中点时,OA=OC,
由(1)可知,OC=OE=OF,∴OA=OC=OE=OF,
∴四边形AECF为平行四边形,∵AC=EF,
∴四边形AECF为矩形.(共40张PPT)
时间：40分钟 满分：100分
第二十一章自主检测
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.【跨化学·酒精灯】(2025广东揭阳普宁期末)图1是化学实
验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图,图2是其简
化示意图.若∠1=45°,则∠2的度数为 ( )
A.140° B.135° C.130° D.145°
B
解析 由题意得∠ABC=∠ADC=90°,
∵四边形ABCD的内角和为360°,∠1=45°,
∴∠2=360°-90°-90°-45°=135°.故选B.
2.(2025重庆渝中期末)如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点
O,AB∥CD,添加下列选项中的一个条件后,不能判定四边形
ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AB=CD B.AO=CO
C.AD=BC D.AD∥BC
C
解析 A.∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故A不符合题意;
B.∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.
在△ABO和△CDO中,
∴△ABO≌△CDO(AAS),∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故B不符合题意;
C.∵AB∥CD,AD=BC,∴四边形ABCD可能是平行四边形或等
腰梯形,无法证出四边形ABCD一定是平行四边形,故C符合题
意;
D.∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故D不符合题意.故选C.
3.(2024四川广安中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC
的中点,若∠A=45°,∠CED=70°,则∠C的度数为 ( )
A.45° B.50°
C.60° D.65°
D
解析 ∵点D,E分别是AC,BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB,
∴∠B=∠CED=70°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-70°=65°.
故选D.
4.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为边BC的
中点,连接OE.若AC=6,BD=8,则OE= ( )
A.2 B.
C.3 D.4
B
解析 ∵四边形ABCD是菱形,
∴OC= AC,OB= BD,AC⊥BD,
∵AC=6,BD=8,∴OC=3,OB=4,
∴BC= =5,
∵E为边BC的中点,∴OE= BC= .故选B.
5.(2024四川眉山中考)如图,在 ABCD中,点O是BD的中点,
EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形
ABOE=S四边形CDOF.其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AD∥BC,∠A=∠C,故①③正确,
∵AD∥BC,∴∠ODE=∠OBF,
∵点O是BD的中点,∴OD=OB,
又∵∠DOE=∠BOF,∴△ODE≌△OBF(ASA),
∴S△ODE=S△OBF,EO=FO,
根据已知条件不能推出EO=ED,故②不正确,
∵S△ABD=S△CDB= S ABCD,S△ODE=S△OBF,
∴S△ABD-S△ODE=S△CDB-S△OBF,
∴S四边形ABOE=S四边形CDOF,故④正确.
综上所述,正确结论的个数为3,故选C.
6.(2025福建泉州期末)如图,已知在矩形ABCD中,AE⊥BD于
点E,∠ABD=36°,则∠CAE的度数是 ( )
A.18° B.20° C.36° D.54°
A
解析 ∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OA=OC,OD=OB,
∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABD=36°,
∵∠AOE是△OAB的一个外角,
∴∠AOE=∠OAB+∠ABD=72°,
∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,
∴∠CAE=90°-∠AOE=18°.故选A.
7.如图,P为AB上任意一点,分别以AP,PB为边在AB同侧作正方
形APCD,正方形PBEF,设∠CBE=α,则∠AFP= ( )
A.2α B.90°-α C.45°+α D.90°- α
B
解析 ∵四边形PBEF为正方形,∴∠PBE=90°,PF=PB,∵∠
CBE=α,∴∠PBC=90°-α,∵四边形APCD是正方形,∴∠APF=
90°=∠CPB,AP=CP.在△APF和△CPB中,
∴△APF≌△CPB(SAS),
∴∠AFP=∠PBC=90°-α.故选B.
8.(2025山东菏泽巨野二模)如图,在矩形ABCD中,分别以点A,
C为圆心,大于 AC的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点,作
直线MN,分别交AD,BC,AC于点E,F,O,连接AF和CE.已知DE=
3,AB=4,有以下四个结论:①S四边形AFCE= AC·EF;②AE=5;③∠
FAC=∠ACF=30°;④EF=2 .其中结论正确的是 ( )
B
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①②
解析 ∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠FCA=∠EAC,
根据作图过程可知,MN是AC的垂直平分线,
∴∠FOA=∠EOC=90°,AO=CO,AE=CE,AF=CF,
∴∠FAC=∠FCA,∴∠FAC=∠EAC,
在△CFO和△AEO中,
∴△CFO≌△AEO(ASA),∴AE=CF,
∴AF=CF=AE=CE,∴四边形AECF是菱形,
∴S四边形AFCE= AC·EF,故①结论正确.
∵∠D=90°,CD=AB=4,DE=3,
∴CE= =5,∴AE=5,故②结论正确.
由已知无法证明∠FAC=∠ACF=30°,故③结论错误.
∵AC= = =4 ,
∴AO= AC=2 ,
∴EF=2OE=2 =2 ,故④结论正确.故结论正确的
是①②④.
二、填空题(每小题5分,共15分)
9.(2025重庆北碚期末)若一个多边形的内角和比它的外角和
多1 080°,则该多边形的边数为__________.
10
解析 设这个多边形的边数是n,
由题意得(n-2)×180°=360°+1 080°,
解得n=10.∴这个多边形的边数是10.
10.(2024江苏无锡二模)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A
=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD的延长线于点F,
连接CF.若AD=1,CF=2,则BF的长为__________.
2
解析 ∵AD∥BC,∴∠FDE=∠BCE,∵点E为CD的中点,
∴DE=EC,在△BCE与△FDE中,
∴△BCE≌△FDE(ASA),∴BC=FD,
∵AD∥BC,∴四边形BCFD为平行四边形,
又∵BD=BC,∴平行四边形BCFD是菱形,
∴BD=DF=CF=2,∴AF=AD+DF=3,
∵∠A=90°,∴AB= = = ,
∴BF= = =2 .
11.(2025陕西西安期末)如图,点E和点F分别是正方形ABCD的
边BC和CD上的两个动点,在运动过程中始终保持∠EAF=45°,
AG⊥EF,已知正方形ABCD的边长是3,下列结论:①BE+DF=
EF;②当BE=1时,DF= ;③BE+DF≤3;④AG的长度随E,F的运
动而变化.其中正确的有________(只填序号).
①②③
解析 ①如图,过点A作AH⊥AF交CB的延长线于点H,
∴∠HAF=90°,
在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ABC=∠D=90°,
∴∠ABH=∠D=90°,
∵∠HAF=∠BAD=90°,∴∠BAH+∠BAF=∠BAF+∠DAF,∴
∠BAH=∠DAF,
在△BAH和△DAF中,
∴△BAH≌△DAF(ASA),∴AH=AF,BH=DF,
∴EH=BE+BH=BE+DF,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠BAE+∠BAH=45°,∴∠EAH=∠EAF=45°,
在△EAH和△EAF中,
∴△EAH≌△EAF(SAS),∴EH=EF,
∴BE+DF=EF,故结论①正确;
②∵四边形ABCD是正方形,且边长为3,
∴BC=CD=3,∠C=90°,
设DF=x,则CF=CD-DF=3-x,
∵BE=1,
∴CE=BC-BE=2,EF=BE+DF=1+x,
∵在Rt△CEF中,由勾股定理得EF2=CE2+CF2,
∴(1+x)2=22+(3-x)2,解得x= ,
∴当BE=1时,DF= ,故结论②正确;
③设DF=a,BE=b,
∴CF=3-a,CE=3-b,EF=a+b,
在△CEF中,根据三角形三边关系得CF+CE>EF,
∴3-a+3-b>a+b,∴2(a+b)<6,∴a+b<3,
即BE+DF<3,
∵点E和点F分别是正方形ABCD的边BC和CD上的两个动点,
且∠EAF=45°,
∴当点E和点C重合时,点F和点D重合,
此时BE=BC=3,DF=0,∴BE+DF=3,
当点E和点B重合时,点F和点C重合,
此时BE=0,DF=CD=3,∴BE+DF=3,
综上所述,BE+DF≤3,故结论③正确;
④如图,∵∠ABC=90°,AG⊥EF,
∴S△EAH= EH·AB,S△EAF= EF·AG,
∵△EAH≌△EAF,∴S△EAH=S△EAF,
∴ EH·AB= EF·AG,
又∵EH=EF,∴AG=AB=3,
∴AG的长度不随E,F的运动而变化,始终等于3,故结论④不正
确.综上所述,正确的结论是①②③.
三、解答题(共45分)
12.(2025四川成都期末)(12分)如图,在 ABCD中,点E是AD的
中点,连接BE并延长交CD的延长线于点F,连接AF,BD.
(1)求证:四边形ABDF是平行四边形.
(2)若∠BDA=30°,∠BAD=45°,AB=2 ,求 ABCD的面积.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CF,∴∠BAE=∠FDE,
∵点E是AD的中点,∴AE=DE,
在△BAE和△FDE中,
∴△BAE≌△FDE(ASA),∴AB=DF,
又∵AB∥CF,∴四边形ABDF是平行四边形.
(2)如图,过点B作BM⊥AD于点M,
∵∠BAD=45°,∴△AMB是等腰直角三角形,
∴AM=BM,
∵在Rt△AMB中,由勾股定理得AM2+BM2=AB2,
∴2AM2=(2 )2,解得AM=2(舍负),∴AM=BM=2,
∵∠BDA=30°,∴BD=2BM=2×2=4,
∴在Rt△BMD中,由勾股定理得DM= = =
2 ,
∴AD=AM+DM=2+2 ,
∴S ABCD=AD·BM=(2+2 )×2=4+4 .
13.(2025天津滨海新区期末)(13分)如图,在平行四边形ABCD
中,对角线AC,BD交于点O,过点D作DM⊥AB于点M,延长AB到
点N,使BN=AM,连接CN.
(1)求证:四边形DMNC是矩形.
(2)连接ON,若CD=12,MB=8,∠DAM=60°,求线段ON的长度.
解析 (1)证明:∵DM⊥AB,∴∠AMD=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC且AD=BC,∴∠DAM=∠CBN.
又∵AM=BN,∴△ADM≌△BCN(SAS),
∴DM=CN,∠BNC=∠AMD=90°.
∴DM∥CN,∴四边形DMNC是矩形.
(2)由(1)可知DM=CN,四边形DMNC是矩形,
∴MN=DC=12,
∵MB=8,∴BN=AM=MN-MB=12-8=4,
∴AN=AM+MN=4+12=16.
∵在Rt△AMD中,∠DAM=60°,∠AMD=90°,
∴∠ADM=30°,∴AD=2AM=8,
∴根据勾股定理,得DM= = =4 .
∴CN=DM=4 .
∵在Rt△ACN中,∠ANC=90°,
∴根据勾股定理,得AC= = =4 .
易得O是AC的中点,∴ON= AC=2 .
14.(2025湖北孝感期中)(20分)
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,
DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证:四边形CEDF是正方形.
(2)如图2,在△ABC中,∠ACB=60°,CD平分∠ACB,过点D作DE
⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,点H是CD的中点,连接HE,FH,EF.
①判断四边形DFHE的形状,并证明.
②已知CD=4 ,求FE的长.
解析 (1)证明:∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,∴DE=
DF,∠DFC=90°,∠DEC=90°,
∵∠ACB=90°,∴四边形CEDF是正方形.
(2)①四边形DFHE为菱形.
证明:∵CD平分∠ACB,∠ACB=60°,∴∠FCD=∠ECD=30°,∵
DE⊥BC,DF⊥AC,∴DF=DE= CD,∵点H是CD的中点,∴FH
= CD,HE= CD,∴DF=DE=HF=HE,∴四边形DFHE为菱形.
②设DH与EF的交点为O(图略).∵CD=4 ,点H是CD的中点,
∴HD=2 ,∵四边形DFHE为菱形,∴EF⊥DH,HO= DH=
,∵HF= CD=2 ,∴FE=2OF=2 =2
=2 .(共15张PPT)
第二十一章 四边形
21.1.1 四边形及其内角和
21.1 四边形及多边形
四边形及其内角和
1.下列图形中,不是四边形的是 ( )
D
解析 四边形是封闭图形,D选项中的图形不是封闭图形,故
不是四边形.故选D.
2.【学科特色·教材变式】(2025甘肃酒泉期末)如图,在四边形
ABCD中,∠1+∠2+∠3=320°,则∠D的度数为( )
A.160° B.150° C.140° D.130°
C
解析 ∵四边形ABCD的外角和为360°,且∠1+∠2+∠3=320°,
∴与∠D相邻的外角度数为360°-320°=40°,
∴∠D=180°-40°
=140°.故选C.
3.如图所示,四边形ABCD中缺∠C,经测量得∠A=110°,∠D=7
5°,∠1=45°,则这个四边形残缺前的∠C的度数为 ( )
A.75° B.60° C.45° D.40°
D
解析 如图所示,∵∠1=45°,∴∠ABC=180°-45°=135°,
∵∠A=110°,∠D=75°,∴∠C=360°-∠A-∠D-∠ABC=360°-110°-75°-135°=40°.故选D.
4.(2025河南鹤壁期末)如图,在四边形ABCD中,∠B=50°,∠C=
110°,∠D=90°,AE⊥BC,AF是∠BAD的平分线,与边BC交于点
F.求∠EAF的度数.
解析 ∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,
∵∠C=110°,∠D=90°,
∴∠DAE=360°-∠D-∠C-∠AEC=70°,
∠BAD=360°-∠D-∠C-∠B=110°,
∵AF平分∠BAD,∴∠FAD= ∠BAD= ×110°=55°,∴∠EAF=∠DAE-∠FAD=70°-55°=15°.
四边形的不稳定性
5.(2025河北廊坊期中)四边形没有稳定性,当四边形的形状发
生改变时,发生变化的是 ( )
A.四边形的外角和 B.四边形的边长
C.四边形的周长 D.四边形的对角线长
D
解析 当四边形的形状发生改变时,四边形的外角和、四边
形的边长、四边形的周长都不会发生变化,四边形的对角线
长会变化.故选D.
6.(2025广东深圳期末,★★☆)在四边形纸片ABCD中,∠C=90°,
AB与CD不平行,将四边形纸片ABCD沿EF折叠成如图所示
的形状,点A落在点A'处,点D落在点D'处,若∠D'EC=115°,∠A'
FB=45°,则∠B的度数为___________.
55°
解析 由折叠的性质可得∠FED'=∠FED,
∠A'FE=∠AFE,∵∠D'EC=115°,
∴∠D'ED=180°-115°=65°,
∴∠FED= ∠D'ED=32.5°,
设∠AFE=∠A'FE=x°,
∵∠A'FB=45°,∴∠EFB=x°-45°,
∵∠EFB+∠AFE=180°,
∴x°-45°+x°=180°,解得x=112.5,
∴∠AFE=112.5°,
∵在四边形AFED中,∠A+∠AFE+∠FED+∠D=360°,∴∠A+
∠D=360°-112.5°-32.5°=215°,
∵在四边形ABCD中,∠A+∠B+∠C+∠D=360°,
∴∠B=360°-215°-90°=55°.故答案为55°.
7.(2025重庆万州二中期中,★★☆)在四边形ABCD中,∠A=98°,
∠D=140°.
(1)如图①,若∠B=∠C,则∠B=_______度.
(2)如图②,作∠BCD的平分线CE交AB于点E.若CE∥AD,求
∠B的大小.
(3)如图③,作∠ABC和∠DCB的平分线交于点E,求∠BEC的度
数.
解析 (1)∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠A=98°,∠D=140°,
∴∠B+∠C=360°-98°-140°=122°,
∵∠B=∠C,∴2∠B=122°,∴∠B=61°.
故答案为61.
(2)∵CE∥AD,∴∠A+∠AEC=180°,∠D+∠DCE=180°,∵∠A
=98°,∠D=140°,∴∠AEC=180°-98°=82°,∠DCE=180°-
140°=40°,
∵CE平分∠BCD,∴∠BCD=2∠DCE=80°,∴∠B=360°-∠A-
∠D-∠BCD=360°-98°-140°-80°=42°.
(3)∵∠A=98°,∠D=140°,∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°,∴
∠ABC+∠BCD=360°-98°-140°=122°,
∵∠ABC和∠DCB的平分线交于点E,
∴∠EBC= ∠ABC,∠BCE= ∠BCD,
∴∠EBC+∠BCE= (∠ABC+∠BCD)= ×122°=61°,∵∠BEC
+∠EBC+∠BCE=180°,∴∠BEC=180°-61°=119°.(共32张PPT)
第二十一章 四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第2课时 平行四边形的性质(2)
21.2 平行四边形
两条平行线之间的距离
1.(2025浙江金华期末)如图,已知直线m∥n,则下列能表示直
线m,n之间的距离的是 ( )
A.线段AB的长 B.线段AC的长
C.线段AD的长 D.线段DE的长
B
解析 ∵直线m∥n,AC⊥n,
∴线段AC的长能表示直线m,n之间的距离.故选B.
2.【学科特色·易错题】(2024湖南永州期末)在同一平面内,已
知a∥b,b∥c,若直线a,b之间的距离为7 cm,直线b,c之间的距
离为3 cm,则直线a,c之间的距离为 ( )
A.4 cm或10 cm B.4 cm
C.10 cm D.不确定
A
解析 当直线c在直线a,b之间时,
直线a,c之间的距离为7-3=4(cm);
当直线c在直线a,b外部时,
直线a,c之间的距离为7+3=10(cm).
∴直线a,c之间的距离是4 cm或10 cm.故选A.
3.(2025广东揭阳模拟)如图,已知直线a∥b,点A,B,C在直线a
上,点D,E,F在直线b上,AB=EF=2,若△CEF的面积为5,则△
ABD的面积为_________.
5
解析 ∵a∥b,∴点D到直线a的距离与点C到直线b的距离相
等,
又∵AB=EF=2,∴△CEF与△ABD是等底等高的两个三角形,
∴S△ABD=S△CEF=5.
4.(2025贵州铜仁期中改编)如图所示的是某中学教学楼楼梯
侧面图,楼梯扶手下的玻璃为平行四边形.小友同学用量角器
量得∠D=60°,已知AB=2.5 m,BC=1.2 m,则这块玻璃的面积为
_________m2.
解析 如图,过点C作CE⊥AB于点E,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D=60°,∴∠BCE=90°-60°=30°.
∵BC=1.2 m,∴BE= BC=0.6 m.
根据勾股定理,得CE= = = (m),
∴S平行四边形ABCD=AB·CE=2.5× = (m2).
5.【学科特色·教材变式】如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠
C=90°,AD=3,BC=6,CD=4.求AB的长.
解析 如图,过点A作AE⊥BC,垂足为E.
∵AE,DC的长都是平行线AD,BC之间的距离,
∴AE=DC=4.∵∠C=90°,AE⊥BC,∴AE∥DC,
又∵AD∥BC,∴四边形AECD是平行四边形,
∴EC=AD=3.∴BE=BC-EC=6-3=3,
∴在Rt△ABE中,AB= = =5.
平行四边形性质的综合应用
6.【学科特色·教材变式】(2025福建漳州期中)如图,在
ABCD中,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE,若
△ABE的周长为8,则 ABCD的周长为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
C
解析 ∵在 ABCD中,AC,BD相交于点O,∴OB=OD,
又∵OE⊥BD,∴OE垂直平分线段BD,
∴BE=DE,∴AE+ED=AE+BE,
∴AB+AD=AB+AE+BE=△ABE的周长=8,
∴ ABCD的周长=2(AB+AD)=2×8=16.
故选C.
7.(2025河南南阳期末)如图,在平行四边形ABCD中,对角线
AC,BD相交于点O,过点O的直线EF交AD于点E,交BC于点F,
S△AOE=3,S△BOF=7,则平行四边形ABCD的面积是__________.
40
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,OB=OD,S△AOB=S△AOD=S△COB=S△COD,∴∠EAO
=∠FCO,
又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA),
∴S△COF=S△AOE=3,∵S△BOF=7,∴S△BOC=7+3=10,
∴S平行四边形ABCD=4S△BOC=4×10=40.
8.(2025山东济南期末)如图,已知在 ABCD中,对角线AC,BD
交于点O,E,F分别是线段OB,OD的中点,连接AE,CF.
(1)求证:AE=CF.
(2)若AC⊥CD,∠BOC=135°,BC= ,求BD的长.
解析 (1)证明:在平行四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,BO=
DO,AO=CO,∴∠ABD=∠CDB.
∵点E,F分别为OB,OD的中点,
∴BE= BO,DF= DO,∴BE=DF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),∴AE=CF.
(2)∵AB∥CD,AC⊥CD,∴AC⊥AB,∴∠BAC=90°,
∵∠BOC=135°,∴∠ABO=∠BOC-∠BAC=45°,∠BOA=180°-
∠BOC=45°,
∴∠ABO=∠AOB,∴AO=AB.
设AB=AO=CO=x,则AC=2x,
在Rt△ABC中,AB2+AC2=BC2,
即x2+(2x)2=( )2,解得x=1(舍负),
∴AB=AO=1,∴BO= = .
∴BD=2BO=2 .
9.(2025河南洛阳模拟,★★☆)如图,在 ABCD中,∠A=80°,点
E是CD边上一点,且BD平分∠ABE,若∠CBE=20°,BE=a,EC=b,
则 ABCD的周长为 ( )
A.5a-b B.4a+2b C.3a+3b D.6a-3b
B
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC,∠C=∠A=80°,∴∠ABD
=∠BDE,
∵BD平分∠ABE,∴∠DBE=∠ABD= ∠ABE,
∴∠BDE=∠DBE,∴DE=BE=a,
又∵EC=b,∴DC=AB=a+b,
∵∠CBE=20°,∴∠BEC=180°-80°-20°=80°=∠C,
∴BC=BE=a,∴ ABCD的周长为2(CD+BC)=2(a+b+a)=4a+
2b.故选B.
10.(2024浙江中考,★★☆)如图,在 ABCD中,AC,BD相交于
点O,AC=2,BD=2 ,过点A作AE⊥BC于点E,记BE的长为x,BC
的长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是
( )
A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2
C
解析 如图,过D作DH⊥BC交BC的延长线于H,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AD∥BC,
∵AE⊥BC,DH⊥BH,∴AE=DH,
∴Rt△DCH≌Rt△ABE(HL),∴CH=BE=x,
∵BC=y,∴EC=BC-BE=y-x,BH=BC+CH=y+x,
∵AE2=AC2-EC2,DH2=BD2-BH2,AE2=DH2,
∴22-(y-x)2=(2 )2-(y+x)2,∴xy=2.故选C.
11.(2025江西吉安期末,★★☆)如图,四边形ABCD为平行四边
形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD.
(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BAE=60°,AB=4,求 ABCD的面积.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,∴∠DAE=∠E,
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,
∴∠E=∠BAE,∴BE=AB,∴BE=CD.
(2)由(1)得BE=AB,∵∠BAE=60°,
∴△ABE是等边三角形,∴AE=AB=4,
∵BF⊥AE,∴AF=EF=2,
∴BF= = =2 ,
∵AD∥BC,∴∠D=∠ECF,
在△ADF和△ECF中,
∴△ADF≌△ECF(AAS),∴S△ADF=S△ECF,
∴S平行四边形ABCD=S△ABE= AE·BF= ×4×2 =4 .
12.(2025山东青岛期末,★★☆)如图,平行四边形ABCD的对角
线AC,BD交于点O,E是CD上的点,连接EO并延长,交AB于点F,
连接BE,DF.
(1)求证:BE∥FD.
(2)若BD⊥BC,∠BCD=60°,求 的值.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,OB=OD,
∴∠OBF=∠ODE,∠BFO=∠DEO,
∴△BOF≌△DOE(AAS),∴OF=OE,
又∵OB=OD,∴四边形BEDF是平行四边形,
∴BE∥FD.
(2)∵BD⊥BC,∴∠CBD=90°,
∵∠BCD=60°,∴∠BDC=90°-60°=30°,
∴CD=2BC,∴BD= = BC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB= BD= BC,BC=AD,
∴ = = .
13.【新课标·推理能力】平行四边形ABCD的对角线AC,BD相
交于点O,直线EF过点O.
(1)如图1,直线EF与AD,BC相交于点E,F,求证:OE=OF.
(2)如图2,若直线EF分别与DC,BA的延长线相交于点F,E,则(1)
中的结论还成立吗 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF.
(2)成立.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,∴∠E=∠F,
在△OAE和△OCF中,
∴△OAE≌△OCF(AAS),∴OE=OF.(共39张PPT)
第二十一章 四边形
21.3.2 菱形
第1课时 菱形及其性质
21.3 特殊的平行四边形
菱形的定义
1.如图,要使平行四边形ABCD成为菱形,需添加的一个条件是
( )
A.AC=AD B.AB=BC
C.∠ABC=90° D.AC=BD
B
解析 B.∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
∴平行四边形ABCD是菱形,故选B.
菱形的性质
2.(2025云南昆明八中月考)如图,菱形ABCD的顶点C在直线
MN上,若∠BCM=45°,∠DCN=25°,则∠BDC的度数为
( )
A.20° B.30° C.35° D.40°
C
解析 ∵∠BCM=45°,∠DCN=25°,
∴∠BCD=180°-∠BCM-∠DCN=180°-45°-25°=110°.
∵四边形ABCD为菱形,
∴BC=CD,
∴∠BDC= ×(180°-∠BCD)=35°.故选C.
3.(2024山东济宁中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交
于点O,E是AB的中点,连接OE.若OE=3,则菱形的边长为
( )
A.6 B.8 C.10 D.12
A
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∴△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,
∵E是AB的中点,∴OE= AB,
∵OE=3,∴AB=6,即菱形的边长为6.故选A.
4.(2025江苏盐城月考)如图所示的木制活动衣帽架是由三个
全等的菱形构成的,根据实际需要可以调节A,E间的距离,若A,
E间的距离调节到90 cm,菱形的边长AB=30 cm,则∠DCB的度
数是____________.
120°
解析 连接AE(图略),易知A,C,E三点共线,
∵AE=90 cm,活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的,∴AC=
30 cm,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=AB=30 cm.∴AC=AB=BC,
∴△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,
∴∠DCB=180°-60°=120°.
5.【新课标·中华优秀传统文化】(2025湖北襄阳期末)中国结
寓意团圆、美满,以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和
深厚的文化底蕴,小芳家有一个菱形中国结装饰,可抽象成如
图所示的菱形ABCD,测得BD=8 cm,AC=6 cm,则该菱形的周
长为_____________.
20 cm
解析 ∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA= AC=3 cm,OB= BD=4 cm,
∴AB= =5 cm,
∴菱形的周长为5×4=20 cm.
6.(2025山东菏泽模拟)如图,菱形ABCD中,AB=10,AC=16,AC交
BD于点O,DE⊥BC于点E,连接OE,则OE的长为_________.
6
解析 ∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO= AC=8,BD=2OB,
∴OB= = =6,∴BD=12,
∵DE⊥BC,O为BD中点,∴OE= BD= ×12=6.
7.(2025四川泸州中考)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,
BC上的点,且AE=CF.求证:AF=CE.
证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,
∵AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF,
在△ABF和△CBE中,
∴△ABF≌△CBE(SAS),∴AF=CE.
菱形的面积
8.如图,菱形ABCD的边长为4,∠B=120°,则菱形ABCD的面积
为 ( )
A.6 B.4 C.8 D.12
C
解析 过D作DE⊥AB于E(图略),
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AD=AB=4,
∵∠B=120°,∴∠A=60°,∴∠ADE=30°,
∴AE= AD=2,∴DE= =2 ,
∴菱形ABCD的面积是AB·DE=4×2 =8 .故选C.
9.(2025云南中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相
交于点O.若AC=6,BD=5,则菱形ABCD的面积是__________.
15
解析 ∵四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=5,∴菱形ABCD的面
积= AC·BD= ×6×5=15.故答案为15.
10.(2025广东佛山期末,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,CD
=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是 ( )
A. B.6 C. D.12
A
解析 ∵四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,∴BC=CD=5,BO=
DO=4,OA=OC,AC⊥BD,∴∠BOC=90°.∴在Rt△COB中,由勾
股定理得OC= = =3,∴AC=2OC=2×3=6,
∵S菱形ABCD=BC·AE= BD·AC=OB·AC,
∴AE= = = ,∴AE的长是 .
11.(2024山东青岛中考,★★☆)如图,在菱形ABCD中,BC=10,
面积为60,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BC,交边
BC于点E,连接EO,则EO=_________.
解析 ∵S菱形ABCD=BC·AE=60,BC=10,
∴AE=6,∴BE= =8,∴EC=2,
∴AC= = =2 ,
∵四边形ABCD为菱形,
∴OA=OC,∴OE= AC= .故答案为 .
12.(2025四川凉山州中考,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,
对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD
于点F,EG⊥AC于点G,若AC=12,BD=16,则FG的长为_______.
5
解析 如图,连接OE,
∵四边形ABCD是菱形,且AC=12,BD=16,∴AC⊥BD,OC= AC
=6,OD= BD=8,∴∠COD=90°,
∴在Rt△COD中,CD= = =10,
∵E是边CD的中点,
∴OE是Rt△OCD斜边上的中线,∴OE= CD=5,
∵EF⊥BD,EG⊥AC,∴∠OGE=∠OFE=∠COD=90°,∴四边
形OGEF是矩形,∴FG=OE=5.
13.(2025浙江台州二模,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,延
长AB到点F,使BF=AB,连接DF交CB于点E.
(1)请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整(保留作图痕
迹),并证明E是BC的中点.
(2)连接DB,若DF⊥BC,DB=4,求DE的长.
解析 (1)如图,
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠C=∠FBE,∠CDE=∠F,
∵BF=AB,∴CD=BF,
∴△CDE≌△BFE(ASA),
∴CE=BE,∴E是BC的中点.
(2)由(1)可知,△CDE≌△BFE,∴CE=BE,DE=FE,
∵DF⊥BC,∴BF=BD=4,∠DEB=90°,
∴AB=BF=4,∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=AB=4,∴BE= BC=2,
∴DE= = =2 ,
即DE的长为2 .
14.(2025北京平谷期末,★★☆)如图,菱形ABCD的对角线AC
与BD交于点O,E为BC的中点,延长AB到点F,使BF= BC,连接
EF,OE.
(1)求证:四边形OBFE是平行四边形.
(2)若BD=12,AB=10,求平行四边形OBFE的面积.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=OC,AB=BC,
∵E是BC的中点,∴OE是△ABC的中位线,
∴OE∥AB,OE= AB,
∵BF= BC,∴OE=BF,
∵OE∥BF,∴四边形OBFE是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴OB= BD= ×12=6,AC⊥BD,BC=AB=10,
∴OC= =8,
∴△BOC的面积= CO·OB= ×8×6=24,
∵四边形OBFE是平行四边形,
∴△BEF的面积=△BEO的面积,
∵E是BC的中点,
∴△OBE的面积=△OCE的面积,
∴ OBFE的面积=△BOC的面积=24.
15.【新课标·推理能力】(2025广东阳江阳东期中)综合实践
课上,创新小组的同学对含60°角的菱形进行了探究.
【问题情境】如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E,F分别是边AB,
BC上的点,且∠EDF=60°.
【初步感知】
(1)若点E是AB的中点,则DE与DF的数量关系为_______.
【深入探究】
(2)若点E,F分别为AB,BC上任意一点,则DE与DF的数量关系
是什么 并说明理由.
【问题解决】
(3)若AB=4,求△DEF周长的最小值.
解析 (1)DE=DF.详解:如图,连接BD,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠C=∠A=60°,∠ABD=∠CBD,∴△ABD为
等边三角形,∴∠ADB=60°,
∵点E是AB的中点,
∴∠ADE=∠BDE= ∠ADB=30°,
∵∠EDF=60°,∴∠BDF=60°-30°=30°,
∴∠BDE=∠BDF,
∵BD=BD,∴△BDE≌△BDF(ASA),∴DE=DF.
(2)DE=DF.
理由:如图,连接DB,
∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=AD,
∵∠A=60°,∴△ABD和△CBD均为等边三角形,
∴∠ADB=∠DBF=∠A=60°,AD=BD,
又∵∠EDF=60°,
∴∠ADE+∠EDB=∠BDF+∠EDB,
∴∠ADE=∠BDF,
在△ADE和△BDF中,
∴△ADE≌△BDF(ASA),∴DE=DF.
(3)由(2)可知DE=DF,
∵∠EDF=60°,∴△DEF为等边三角形,
要求等边三角形周长的最小值,求出边长的最小值即可,
∵点E为边AB上的一点,
∴当DE⊥AB时,DE取得最小值,
此时∠ADE=30°,∴AE= AD= AB=2,
∴DE= = =2 ,
∴△DEF周长的最小值为3×2 =6 .(共39张PPT)
第二十一章 四边形
21.2.1 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形的性质(1)
21.2 平行四边形
平行四边形的定义
1.(2025黑龙江哈尔滨期中)如图所示,在△ABC中,D,E,F分别
是AB,BC,AC上的点,且DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,则图中平行
四边形共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析 ∵DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,
∴题图中平行四边形共有3个:平行四边形ADEF,平行四边形
BEFD,平行四边形DECF,故选C.
平行四边形边、角的性质
2.(2025河南洛阳期末)如图,在平行四边形ABCD中,∠A∶∠B
=2∶1,则∠D的度数为 ( )
A.60° B.120° C.90° D.30°
A
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠D=∠B,∴∠A+∠B=180°,
∵∠A∶∠B=2∶1,∴∠B= ×180°=60°.
∴∠D=∠B=60°.故选A.
3.(2025四川成都期末)如图,在平面直角坐标系中, OABC的
顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2),则点B的坐标是
( )
A.(2,4) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3)
B
解析 ∵ OABC的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2),
∴BC=OA=3,B点纵坐标与C点纵坐标相同,∴点B的坐标是(4,
2).故选B.
4.(2025四川宜宾中考)如图,点E是平行四边形ABCD的边CD
的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,AD=5.求证:△
ADE≌△FCE,并求BF的长.
解析 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,BC=AD=5,∴∠D=∠FCE,
∵E是CD的中点,∴DE=CE,
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE(ASA),∴FC=AD=5,
∴BF=BC+FC=5+5=10.
平行四边形对角线的性质
5.(2025湖北中考)如图,平行四边形ABCD的对角线交点是原
点.若A(-1,2),则点C的坐标是 ( )
A.(2,-1) B.(-2,1)
C.(1,-2) D.(-1,-2)
C
解析 根据平行四边形ABCD的对角线互相平分且交点在原
点可知点A,C关于原点对称,∵A(-1,2),∴C(1,-2).故选C.
6.(2025湖南衡阳期末) ABCD的周长为20 cm,对角线AC,BD
相交于点O,若△BOC的周长比△AOB的周长大2 cm,则CD=
_________cm.
4
解析 如图,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,
∵ ABCD的周长为20 cm,∴AB+BC=10 cm,
∵△BOC的周长比△AOB的周长大2 cm,
∴BC-AB=2 cm,∴AB=4 cm,BC=6 cm.
∴CD=4 cm.故答案为4.
7.【学科特色·教材变式】(2025浙江湖州期末)如图,在
ABCD中,对角线AC,BD交于点O,BD⊥AD,若AD=8,BD=12,则
AC的长是__________.
20
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,
BD=12,∴OA=OC,OD=OB= BD=6,
∵BD⊥AD,∴∠ODA=90°,∴OA= = =10,∴
AC=2OA=20.故答案为20.
8.(2025湖北武汉期末,★★☆)如图,在 ABCD中,∠A=108°,
∠ABC的平分线交AD于点E,连接CE.若BE=AD,则∠ECD的度
数为 ( )
A.18° B.30° C.36° D.42°
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠BCD=∠A=108°,AD=BC,
∴∠A+∠ABC=180°.
∵∠A=108°,∴∠ABC=72°.
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠EBC= ∠ABC=36°.∵BE=AD,∴BE=BC,
∴∠ECB=∠BEC= =72°.
∴∠ECD=∠BCD-∠ECB=108°-72°=36°.故选C.
9.(2025江苏南通期末,★★☆)如图所示,以 ABCD的边AB为
边向右作等边△ABE,且AD=AE,连接DE,CE,则∠CED的度数
为 ( )
A.150° B.145°
C.135° D.120°
A
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠BAD+∠ABC=180°,
∵△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=BE,∠AEB=∠EAB=∠ABE=60°,
∵AD=AE,∴AD=AE=BE=BC,
∴∠ADE=∠AED,∠BCE=∠BEC,
设∠ADE=∠AED=x,∠BCE=∠BEC=y,
∴∠DAE=180°-2x,∠CBE=180°-2y,∴∠BAD=180°-2x+60°=240°-2x,∠ABC=180°-2y+60°=240°-2y,
∴∠BAD+∠ABC=240°-2x+240°-2y=180°,
∴x+y=150°,
∴∠CED=360°-150°-60°=150°.故选A.
10.(2025山西长治模拟,★★☆)如图,四边形ABCD是平行四边
形,对角线AC,BD交于点O,∠BAC=90°,AH⊥BD于点H,AB=2,
BC=2 ,则AH的长为_________.
解析 在Rt△ABC中,由勾股定理得,AC= =2 ,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA= AC= ,
∴在Rt△ABO中,由勾股定理得,OB= = ,
∵S△AOB= AB·OA= OB·AH,
∴AH= = = .故答案为 .
11.(2025河南郑州期末,★★☆)如图,在 ABCD中,点E是BC
的中点,且BC=2AB=4,当∠B=60°时,DE的长为__________.
2
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AD=BC,AD∥BC,∠ADC=∠B=60°,
∵BC=2AB=4,∴AD=4,DC=AB=2,
∵点E是BC的中点,∴EB=EC= BC=2,
∴AB=EB=DC=EC,∴∠CED=∠CDE,
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,∠ADE=∠CED,
∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE= ∠ADC,
∵∠ADC=∠B=60°,
∴△ABE是等边三角形,∠ADE=30°,
∴AE=AB=2,∠DAE=∠AEB=60°,
∴∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=90°,
∴DE= = =2 .故答案为2 .
12.(2024四川雅安中考,★★☆)如图,点O是 ABCD对角线的
交点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△ODE≌△OBF.
(2)当EF⊥BD时,DE=15 cm,分别连接BE,DF,求此时四边形
BEDF的周长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,∴∠OED=∠OFB,
∵点O是 ABCD对角线的交点,∴OD=OB,
在△ODE和△OBF中,
∴△ODE≌△OBF(AAS).
(2)如图,
由(1)得△ODE≌△OBF,∴OE=OF,
∵EF⊥BD,∴DE=DF,BE=BF,
∵OD=OB,EF⊥BD,∴BE=DE,
∴DF=BF=BE=DE=15 cm,∴四边形BEDF的周长为DF+BF+
BE+DE=4DE=4×15=60(cm).
13.【新课标·推理能力】(2025江西吉安期末)如图1, ABCD
的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相
交于点E和点F.
(1)求证:OE=OF.
(2)如图2,已知AD=1,BD=2,AC=2 ,∠DOF=∠α.
①当∠α为多少度时,EF⊥AC
②在①的条件下,连接AF,求△ADF的周长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AB
∥CD.∴∠EBO=∠FDO.
又∵∠BOE=∠DOF,
∴△BOE≌△DOF(ASA).∴OE=OF.
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD= BD=1,OA= AC= ,
又∵AD=1,∴AD2+OD2=OA2.
∴∠ADO=90°,∠AOD=45°.
∵EF⊥AC,∴∠AOF=90°,
∴∠α=90°-45°=45°,即当∠α=45°时,EF⊥AC.
②∵OA=OC,EF⊥AC,∴EF垂直平分AC,
∴AF=FC,又∵AB= = =CD,
∴△ADF的周长=AD+DF+FA=AD+CD=1+ .
方法指引 如图,给出以下三个关系:①∠1=∠2;②AD∥BC;
③AB=AD(AB,AD为等腰三角形ABD的两腰).从上述三个关系
中选择两个作为条件,则另一个可以作为结论.
微专题 “角平分线+平行线”模型的运用
1.(2025新疆中考)如图,在 ABCD中,∠BCD的平分线交AB于
点E,若AD=2,则BE=_________.
2
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,且AD=2,
∴BC=AD=2,AB∥CD,∴∠DCE=∠BEC,
∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE,
∴∠BCE=∠BEC,∴BE=BC=2.故答案为2.
2.(2025安徽亳州期末)如图,在 ABCD中,BE平分∠ABC交AD
于点E,CF平分∠BCD交AD于点F.若AB=6,AD=10,则EF的长
为_________.
2
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,CD=AB=6,
∴∠AEB=∠CBE,∠DFC=∠FCB,
∵BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,
∴∠ABE=∠CBE,∠DCF=∠FCB,
∴∠ABE=∠AEB,∠DFC=∠DCF,
∴AE=AB=6,DF=DC=6,
∴AF+EF+EF+ED=6+6=12,
∵AD=10,∴AF+FE+DE=10,∴EF=2.
3.(2025湖南长沙二模)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交
BC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:AD=AF.
(2)若AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的长和△ADF的面积.
解析 (1)证明:在 ABCD中,AB∥CD,
∴∠CDE=∠F,
∵DF平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,
∴∠F=∠ADF,∴AD=AF.
(2)∵AD=AF=6,AB=3,∴BF=AF-AB=3.
如图,过D作DH⊥AF交FA的延长线于H,
∵∠BAD=120°,∴∠DAH=60°,
∴∠ADH=30°,∴AH= AD=3,
∴DH= =3 ,
∴△ADF的面积= AF·DH= ×6×3 =9 .(共19张PPT)
第二十一章 四边形
21.3.3 正方形
第2课时 正方形的判定
21.3 特殊的平行四边形
正方形的判定
1.(2025新疆乌鲁木齐期末)满足下列条件的四边形一定是正
方形的是 ( )
A.对角线互相平分的四边形
B.有三个角是直角的四边形
C.有一组邻边相等的平行四边形
D.对角线相等的菱形
D
解析 对角线互相平分的四边形是平行四边形,故A选项不符
合题意;
有三个角是直角的四边形是矩形,故B选项不符合题意;
有一组邻边相等的平行四边形是菱形,故C选项不符合题意;
对角线相等的菱形是正方形,故D选项符合题意.故选D.
2.(2025福建福州一模)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC
与BD互相平分且交于点O.要使得四边形ABCD是正方形,则
还需增加的一个条件是____________________(只填一个
答案即可).
AB=BC(答案不唯一)
解析 答案不唯一.添加AB=BC,理由如下:
∵AC与BD互相平分,∴AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,
∵AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.
3.【新考向·条件开放题】(2025湖北武汉模拟)如图,在△ABC
中,AB=AC,BD=CD,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥
AN于点E.若_______,则四边形ADCE是一个正方形.
请从①BD=AD;②∠DAE=90°;③CD=CE中选择一个作为条件
填在横线上,使结论成立,并说明理由.
解析 可以选择①或③.
理由:∵在△ABC中,AB=AC,BD=CD,
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC,AD⊥BC,
∵AN是∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE= ∠CAM,
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE= (∠BAC+∠CAM)= ×180°=90°.
∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
若选择①BD=AD,则AD=CD,∴矩形ADCE是正方形.
若选择②∠DAE=90°,无法证明矩形ADCE是正方形.
若选择③CD=CE,
根据一组邻边相等的矩形是正方形可判定矩形ADCE是正方
形.
4.(2025安徽宿州期末,★★☆)如图, ABCD的对角线AC,BD
相交于点O,给出四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③OA=
OB;④AC⊥BD.从所给的四个条件中任意选择两个为一组,能
判定 ABCD是正方形的有 ( )
A.3组 B.4组 C.5组 D.6组
B
解析 ∵AB=BC,∠ABC=90°,∴ ABCD是正方形,故①②为
一组,能判定 ABCD是正方形;∵∠ABC=90°,∴ ABCD是矩
形,∵AC⊥BD,∴矩形ABCD是正方形,故②④为一组,能判定
ABCD是正方形;在 ABCD中,AC=2OA,BD=2OB,∵OA=
OB,∴AC=BD,∴ ABCD是矩形,∵AC⊥BD,∴矩形ABCD是
正方形,故③④为一组,能判定 ABCD是正方形;∵OA=OB,∴
AC=BD,∴ ABCD是矩形,∵AB=BC,∴矩形ABCD是正方形,
故①③为一组,能判定 ABCD是正方形.故选B.
5.(★★☆)如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中
点,E,F分别是边BM,CM的中点,当AB∶AD=_________时,四边
形MENF是正方形.
1∶2
解析 当AB∶AD=1∶2时,四边形MENF是正方形.理由:
∵AB∶AD=1∶2,AB=CD,∴AB=CD= AD,
∵M是AD的中点,∴AM=DM= AD,
∴AB=AM=CD=DM,
∵∠A=∠D=90°,
∴∠AMB=∠DMC=45°,BM=CM,∴∠BMC=90°,
∵N,E,F分别是BC,BM,CM的中点,
∴NE∥CM,NF∥BM,NE= CM,NF= BM,
∴NE=NF,∴四边形MENF是正方形,
∴当AB∶AD=1∶2时,四边形MENF是正方形.故答案为1∶2.
6.(2024天津和平期中,★★★)如图,四边形ABCD为正方形,E
为对角线AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点
F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形.
(2)若AB=2,CE= ,求CG的长度.
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是32°时,求出
∠EFC的度数.
解析 (1)证明:如图1,过点E作EK⊥BC于点K,EL⊥CD于点L,
则∠EKF=∠ELD=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADC=90°,
∴∠BCA=∠BAC=45°,∠DCA=∠DAC=45°,
∵∠EKC=∠ELC=∠KCL=90°,
∴四边形EKCL是矩形,
∵∠ECK=∠ECL=45°,
∴矩形EKCL是正方形,∴EK=EL,
∵四边形DEFG是矩形,∴∠FED=90°,
∴∠FEK=∠DEL=90°-∠FEL,
∴△FEK≌△DEL(ASA),∴DE=FE,
∴矩形DEFG是正方形.
(2)∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC=BC=AB=2,∠ADC=
∠B=90°,∴在Rt△ABC中,AC= =2 ,
∵CE= ,∴AE=CE,
∴∠DEC=90°,DE=EC,
∴点F与C重合,此时△DCG是等腰直角三角形,如图2,则CG=
.
(3)①当DE与AD的夹角为32°时,点F在线段BC上,∠ADE=32°,
则∠CDE=90°-32°=58°,
∴在四边形CDEF中,∠EFC=360°-90°-90°-58°=122°;
②当DE与DC的夹角为32°时,点F在BC的延长线上,∠CDE=
32°,如图3,设EF与CD交于点H,
∵∠HCF=∠DEF=90°,∠CHF=∠EHD,
∴∠EFC=∠CDE=32°.
综上所述,∠EFC的度数为122°或32°.(共31张PPT)
第二十一章 四边形
21.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)
21.2 平行四边形
根据边、角判定平行四边形
1.如图,李华用钉子将四根木条钉成一个四边形框架ABCD,若
AB=CD=5,AD=7,要使这个框架是一个平行四边形,则BC的长
为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
C
解析 由题意知AB=CD=5,当BC=AD=7时,四边形ABCD两组
对边分别相等,
∴四边形ABCD是平行四边形.故选C.
2.(2025云南昆明三中期中)下面给出了四边形ABCD中∠A,∠
B,∠C,∠D的度数之比,能判定四边形ABCD是平行四边形的
是 ( )
A.1∶2∶3∶4 B.2∶3∶2∶3 C.2∶3∶3∶2 D.1∶2∶2∶3
B
解析 选项A,C,D中的条件都不能推出四边形ABCD的两组
对角分别相等,故A,C,D不符合题意.
选项B,由条件推出∠A=∠C,∠B=∠D,∴四边形ABCD是平行
四边形,故B符合题意.故选B.
3.(2025辽宁沈阳模拟改编)如图,在△ABC中,∠B=49°,分别以
点A,C为圆心,BC,AB长为半径作弧,两弧相交于点D,连接AD,
CD,则∠BAD的度数为 ( )
A.139° B.131° C.129° D.121°
B
解析 由作图得,AD=BC,CD=AB,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°,
∵∠B=49°,∴∠BAD=180°-49°=131°.故选B.
4.(2025河南漯河三模)如图,E是四边形ABCD的边BC延长线
上的一点,且AB∥CD,则下列条件中不能判定四边形ABCD是
平行四边形的是 ( )
A.∠D=∠5 B.∠3=∠4
C
C.∠1=∠2 D.∠B=∠D
解析 A.∵∠D=∠5,∴AD∥BC,
又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,
故A选项不符合题意;
B.∵∠3=∠4,∴AD∥BC,
又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,
故B选项不符合题意;
C.∵∠1=∠2,∴AB∥CD,
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形,
故C选项符合题意;
D.∵AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°,
∵∠B=∠D,∴∠D+∠BCD=180°,
∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
故D选项不符合题意.故选C.
5.(2025陕西宝鸡期末)一个四边形的三个相邻内角的度数依
次是108°,72°,108°,那么这个四边形______平行四边形(填
“是”或“不是”).
是
解析 ∵一个四边形的三个相邻内角的度数依次是108°,72°,
108°,∴第四个内角的度数是360°-108°-72°-108°=72°,∴满足
两组对角分别相等,∴这个四边形是平行四边形.
根据对角线判定平行四边形
6.(2025河南郑州模拟)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺
规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其
作图过程.在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行
四边形的条件是 ( )
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等
C
解析 由作图可知OD=OB,OA=OC,
∴利用对角线互相平分可以直接判定四边形ABCD是平行四
边形.故选C.
7.【新考向·条件开放题】(2024山东济宁中考)如图,四边形
ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,请补充一个条件:
____________________,使四边形ABCD是平行四边形.
OB=OD(答案不唯一)
解析 可添加OB=OD,∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.(答案不唯一)
8.【学科特色·教材变式】(2025江苏盐城一模改编)如图,四边
形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在线段OA,
OC上,且OB=OD,∠1=∠2,AE=CF.求证:四边形ABCD是平行
四边形.
证明 ∵∠EOB与∠FOD是对顶角,
∴∠EOB=∠FOD,
在△EOB和△FOD中,
∴△EOB≌△FOD(ASA),∴OE=OF,
∵AE=CF,∴OA=OC,
∵OB=OD,∴四边形ABCD为平行四边形.
9.(2025河南驻马店期末,★★☆)如图,平行四边形ABCD中,对
角线AC与BD相交于点O,E,F分别是对角线BD上的两点,给出
下列四个条件:①BE=DF;②DE=BF;③∠BAE=∠DAF;④∠
BCE=∠DAF.其中能判定四边形AECF是平行四边形的个数
是 ( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,AD=BC,AD∥BC.
①∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,
∴OE=OF,∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形;
②∵DE=BF,∴DE-OD=BF-OB,
∴OE=OF,∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形;
③由∠BAE=∠DAF及已知不能判定四边形AECF是平行四边
形;④∵AD∥BC,∴∠ADF=∠CBE,
又∵AD=BC,∠DAF=∠BCE,
∴△ADF≌△CBE(ASA),∴DF=BE,
∴OF=OE,∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
综上所述,给出的四个条件中,能判定四边形AECF是平行四边
形的有3个.故选C.
10.(2024辽宁中考,★★☆)如图, ABCD的对角线AC,BD相交
于点O,DE∥AC,CE∥BD,若AC=3,BD=5,则四边形OCED的周
长为( )
A.4 B.6 C.8 D.16
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OC= AC= ,OD= BD= ,
∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形,∴四边形OCED的周长=2(OC+
OD)=2× =8,故选C.
11.(2025福建厦门期末,★★☆)如图,在 ABCD中,AB⊥AC,E,
F分别在边BC和AD上,EF∥AB,交AC于点P,若CD=6,AC=8,CE
=7,则AF的长为_________.
3
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD=6,
∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,
∵AC=8,∴BC= = =10,
∵CE=7,∴BE=3,
∵EF∥AB,AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形,∴AF=BE=3.
12.(2025江苏扬州期末,★★☆)如图,在 ABCD中,M,N是对角
线BD的三等分点.
(1)求证:四边形AMCN是平行四边形.
(2)若AM⊥BD,AD=5,BD=6,求平行四边形AMCN的周长.
解析 (1)证明:如图,连接AC交BD于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵M,N是对角线BD的三等分点,
∴BM=DN,∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,
∴四边形AMCN是平行四边形.
(2)∵BD=6,M,N是对角线BD的三等分点,
∴DM=4,MN=DN=2,∵AM⊥BD,∴∠AMD=90°,
∴AM= = =3,
∴AN= = = ,
由(1)可知,四边形AMCN是平行四边形,
∴CN=AM=3,CM=AN= ,
∴平行四边形AMCN的周长=2(AM+AN)=2×(3+ )=6+2 .
13.(2025四川资阳期末,★★☆)如图,在 ABCD中,BE⊥AC于
点E,DF⊥AC于点F,连接DE,BF.
(1)求证:四边形BEDF为平行四边形.
(2)若AB= ,∠BED=135°,BE∶AC=3∶5,求DF的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF,
∵BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,
∴∠AEB=∠CFD=∠BEF=∠DFE=90°,
在△AEB和△CFD中,
∴△AEB≌△CFD(AAS),∴BE=DF,
在△BEF和△DFE中,
∴△BEF≌△DFE(SAS),
∴BF=DE,∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)由(1)得△AEB≌△CFD,∴AE=CF,BE=DF,
∵∠BEC=90°,∠BED=135°,∴∠DEF=45°,
∵四边形BEDF是平行四边形,
∴DE∥BF,∴∠BFE=∠DEF=45°,
∴△BEF是等腰直角三角形,∴BE=EF,
∵BE∶AC=3∶5,∴设BE=3x,则AC=5x,∴AE=x,
∵AB2=BE2+AE2,∴10=9x2+x2,∴x=1,∴DF=BE=3.
14.【新课标·推理能力】【新考向·动点探究题】(2024江苏
盐城月考)如图,平行四边形ABCD在直角坐标系中,点B,C都在
x轴上,其中OA=4,OB=3,AD=6,E是线段OD的中点.
(1)求出C,D点的坐标.
(2)平面内是否存在一点N,使以A,D,E,N为顶点的四边形是平
行四边形 若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理
由.
解析 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=6,AD∥
BC,∵点B,C都在x轴上,点A在y轴上,OA=4,
∴D(6,4),
∵OB=3,∴OC=BC-OB=6-3=3,∴C(3,0).
(2)存在,点N的坐标为(-3,2)或(9,2)或(3,6).
详解:由(1)得D(6,4),
∵E是线段OD的中点,∴E(3,2),
∵点A在y轴上,且OA=4,∴A(0,4),
设N(x,y),分情况讨论如下:
①当AE为对角线时, = , = ,
解得x=-3,y=2,∴N(-3,2);
②当DE为对角线时, = , = ,
解得x=9,y=2,∴N(9,2);
③当AD为对角线时, = , = ,
解得x=3,y=6,∴N(3,6).
综上所述,平面内存在一点N,使以A,D,E,N为顶点的四边形是
平行四边形,点N的坐标为(-3,2)或(9,2)或(3,6).(共34张PPT)
第二十一章 四边形
21.3.1 矩形
第1课时 矩形及其性质
21.3 特殊的平行四边形
矩形的定义
1.(2025河南郑州期中改编)工人师傅做铝合金窗框时,分下面
三个步骤进行:
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图1,要求AB=CD,EF
=GH.
(2)摆成如图2所示的四边形,这时窗框的形状是___________
形,依据的数学原理是_________________________________
_______.
四边形
两组对边分别相等的四边形是平行
平行四边
(3)将直角尺紧靠窗框的一个角(如图3),调整窗框,当直角尺的
两条直角边与窗框无缝隙时(如图4),说明窗框合格,这时窗框
是______形,依据的数学原理是
_______________________________________.
有一个内角是90度的平行四边形是矩形
矩
矩形的性质
2.(2024四川成都中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD
相交于点O,则下列结论一定正确的是 ( )
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD
C
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,而AB=AD,AC⊥BD,
∠ACB=∠ACD不一定成立,故选C.
3.【学科特色·教材变式】如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相
交于点O,∠AOB=60°,AC+AB=12,则边AB的长为 ( )
A.3 B.4 C.2 D.4
B
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC,OD=OB,∴
OA=OB,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AO=AB,∴
AC=2AO=2AB,∵AC+AB=2AB+AB=12,∴AB=4,故选B.
4.(2025北京石景山期末)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相
交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点.若EF=2,则AC的长为
_________.
8
解析 ∵点E,F分别是AO,AD的中点,EF=2,
∴OD=2EF=4,
∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,BO=DO=4,
∴AC=BD=8.故答案为8.
5.(2025江苏苏州期末)已知:如图,矩形ABCD的对角线AC,BD
相交于点O,CE∥DB,交AB的延长线于点E.
(1)求证:AC=EC.
(2)若∠AOD=120°,AB=2.5 cm,求矩形的面积.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AC=BD,
∵CE∥DB,∴四边形DCEB是平行四边形,
∴BD=CE,∵AC=BD,∴AC=CE.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,AO= AC,OD= BD,AC=BD,
∴AO=OD,
∵∠AOD=120°,∴∠ADO= ×(180°-120°)=30°,
∴BD=2AB=5(cm),∴AD= = (cm),
∴矩形的面积=AD·AB= × = (cm2).
直角三角形斜边上的中线的性质
6.(2025广东中山期末)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD为
斜边AC上的中线.若∠A=40°,则∠DBC= ( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
C
解析 由题意得BD= AC=AD,∴∠DBA=∠A=40°,
∵∠ABC=90°,∴∠DBC=90°-40°=50°.故选C.
7.(2025福建中考)某房梁的示意图如图所示,立柱AD⊥BC,E,F
分别是斜梁AB,AC的中点.若AB=AC=8 m,则DE的长为
_________m.
4
解析 ∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∵E是AB的中点,
∴DE= AB= ×8=4(m).故答案为4.
8.(2024浙江温州模拟)如图所示,在△ABC中,AD是边BC上的
高,CE是边AB上的中线,DG⊥CE于点G,CD=AE.
(1)证明:CG=EG.
(2)若AB=10,AD=6,求CE的长.
解析 (1)证明:连接DE,如图,
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∵E为AB的中点,∴DE=AE=BE,
∵CD=AE,∴DE=CD,∵DG⊥EC,∴CG=EG.
(2)过E作EM⊥BC于M,如图,
由(1)知BE=DE=AE= AB=5,
∵EM⊥BC,∴BM=DM,
∴EM是△ABD的中位线,
∴EM= AD=3,∴DM= =4,
∵CD=AE=5,∴CM=CD+DM=9,
∴CE= = =3 .
9.(2025陕西中考,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=
20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有
( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
解析 ∵∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,
∴CD= AB=AD=BD,∴∠B=∠BCD,
∵AD=CD,DE⊥AC,
∴∠ADE=∠CDE,∠AED=∠CED=90°,
∴∠A+∠ADE=90°,∠A+∠B=90°,
∴题图中与∠A互余的角共有4个.故选C.
10.(2024河北沧州期末,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,矩
形ABCD的顶点A在第一象限,B,D在y轴上,AB交x轴于点E,AF
⊥x轴,垂足为F,若OB=3AF,OF=4,以下结论不正确的是
( )
A.AE平分∠OAF
C
B.BD=6
C.点C的坐标为(4,- )
D.矩形ABCD的面积为24
解析 ∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,
∴AO=OB=3AF,∴∠OBA=∠OAB,
∵AF⊥x轴,∴AF∥BD,∴∠ABO=∠EAF,
∴∠OAB=∠EAF,∴AE平分∠OAF,
故A结论正确;
∵OA2-AF2=OF2=16,OA=3AF,∴8AF2=16,
∴AF= (负值舍去),∴点A的坐标为(4, ),
易知点A,点C关于原点对称,
∴点C(-4,- ),故C结论错误;
∵AF= ,OA=3AF,∴OA=3 ,
∴BO=DO=3 ,∴BD=6 ,故B结论正确;
∵S△ABD= ×6 ×4=12 ,
∴矩形ABCD的面积=2S△ABD=24 ,
故D结论正确.故选C.
11.(2025山东临沂模拟,★★☆)翻花绳是中国民间流传的游
戏,在中国不同的地域,有不同的称法,如线翻花、翻花鼓、挑
绷绷、解股等,如图1所示的是翻花绳的一种图案,可以抽象成
图2,在矩形ABCD中,IJ∥KL,EF∥GH,∠1=∠2=30°,∠3的度数
为___________.
60°
解析 如图,设IJ交EF于点O,交GH于点M,KL交EF于点N,交
GH于点P,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,
∴∠1+∠MJG=90°,∠2+∠MGJ=90°,
∵∠1=∠2=30°,∴∠MJG=∠MGJ=60°,
∴∠GMJ=180°-∠MJG-∠MGJ=60°,∴∠5=60°,
∵IJ∥KL,EF∥GH,∴四边形NPMO是平行四边形,
∴∠4=∠5=60°,∴∠3=∠4=60°.故答案为60°.
12.(2025重庆期末,★★☆)如图,在矩形ABCD中,点E是边CD
上一点,BF⊥AE于点F,AD=BF.
(1)求证:BE平分∠CBF.
(2)若BF=6,CE=2,求AB的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD,∠C=90°,∵AD=BF,∴BC=BF,
∵BF⊥AE,∴∠BFE=∠C=90°,
在Rt△BCE和Rt△BFE中,
∴Rt△BCE≌Rt△BFE(HL),
∴∠CBE=∠FBE,∴BE平分∠CBF.
(2)由(1)知,Rt△BCE≌Rt△BFE,
∴∠CEB=∠FEB,
∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠CEB=∠ABE,∴∠FEB=∠ABE,∴AB=AE,
∵AD=BF=6,DE=CD-CE=AB-CE=AE-2,
∵在Rt△ADE中,根据勾股定理得AD2+DE2=AE2,
∴62+(AE-2)2=AE2,∴AE=10,∴AB=10.
13.【新课标·推理能力】【新考向·操作探究题】【问题提
出】
(1)如图①,在矩形ABCD中,E为BC上一点,将△ABE沿AE折叠
得到△AFE,点F恰好在AD上,则∠BAE的度数为_______.
【问题拓展】如图②,将图①中的矩形纸片沿过点D的直线折
叠,使得点C恰好落在EF上的点H处,DG为折痕.
(2)若AB=5,AD=8,求FH的长.
(3)若AE∥HG,求边AB与BC之间的数量关系.
解析 (1)45°.详解:由折叠的性质可知∠BAE=∠FAE,∵四边
形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,∴∠BAE=∠FAE=45°.
(2)∵在矩形ABCD中,AB=5,∴CD=AB=5,
由折叠的性质可知DH=CD=5,
由(1)知∠AFE=∠DFE=90°,∠BAE=∠FAE=45°,
∴AF=EF=AB=5,∴DF=AD-AF=8-5=3,
∴FH= =4.
(3)设HE=a,AB=BE=x,
∵AE∥HG,∴∠BEA=∠EGH=45°,
∴∠EHG=∠AEF=45°=∠EGH,
∴EG=HE=a,∴HG= = a,
由折叠的性质可知,GC=HG= a,HD=CD=AB=x,∠DHG=∠
C=90°,∴∠FDH=∠FHD=45°,
∴HF=FD=x-a,∴x-a=a+ a,
化简得x=(2+ )a,即AB=(2+ )a,
∵BC=BE+EG+GC,
∴BC=x+a+ a=(2+ )a+a+ a=(3+2 )a,
∴ = =2- ,即AB=(2- )BC.(共16张PPT)
第二十一章 四边形
21.3.3 正方形
第1课时 正方形及其性质
21.3 特殊的平行四边形
正方形的定义
1.(2024湖南衡阳期末)下列条件可以利用定义说明平行四边
形ABCD是正方形的是 ( )
A.AB=CD,∠A=90° B.AB=AD,∠A=90°
C.AB∥CD,∠A=90° D.以上均错
B
解析 正方形定义中需要平行四边形满足的条件是有一组邻
边相等,且有一个角是直角,符合的只有B.
正方形的性质
2.(2025吉林长春期末)如图,延长正方形ABCD的边BA至点E,
使AE=BD,连接CE,则∠E的度数为 ( )
A.22.5° B.25° C.30° D.40°
A
解析 如图,连接AC,
∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,且∠CAB=45°,
∵AE=BD,∴AE=AC,∴∠E=∠ACE,
∵∠CAB=∠ACE+∠E,∴2∠E=45°,
∴∠E=22.5°.故选A.
3.(2025江苏南通模拟)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E
在边BC上,以点D为圆心,DC长为半径画弧,交线段DE于点F.
若EF=EB,则CE的长为 ( )
A.2 B. C. D.
D
解析 ∵正方形ABCD的边长为3,
∴CD=CB=3,∠BCD=90°,
由作图可知,DF=DC=3,
设EF=EB=x,则DE=3+x,CE=3-x,
∵在Rt△CDE中,CE2+CD2=DE2,
∴(3-x)2+32=(3+x)2,解得x= ,
∴CE=3-x=3- = .故选D.
4.(2025浙江中考)【问题背景】如图所示,某兴趣小组需要在
正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角
线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板由两个全等三角形组成,请写出△ABE≌△
CBE的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足DE=DA,
求“机翼角”∠BAE的度数.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABE=∠CBE,
又∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS).
(2)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∠ADB=45°,
∵DE=DA,∴∠DAE=∠DEA,
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,
∴∠DAE=∠DEA= =67.5°,
∴∠BAE=90°-67.5°=22.5°.
5.(2025河南洛阳期末,★★☆)如图,在正方形ABCD内作∠
EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF.若AB=5,DF=
2,则BE的长为 ( )
A. B. C. D.2
A
解析 如图所示,将△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG,
∴△ABG≌△ADF,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADF=∠ABE=90°,∴∠ABG=90°,
∴∠ABG+∠ABE=180°,∴G,B,E三点共线,
∵△ABG≌△ADF,
∴AG=AF,BG=DF=2,∠BAG=∠DAF,
∵∠DAB=90°,∠EAF=45°,∴∠DAF+∠EAB=45°,
∴∠BAG+∠EAB=45°,∴∠EAF=∠EAG,
在△EAG和△EAF中,
∴△EAG≌△EAF(SAS),∴GE=EF,
∵CD=AB=5,DF=2,∴CF=3,
设BE=x,则GE=2+x,CE=5-x,∴FE=2+x,
∵∠C=90°,∴CE2+CF2=EF2,
即(5-x)2+32=(2+x)2,解得x= ,
∴BE的长为 .故选A.
6.【新考向·数学文化】(★★☆)如图①,“蝶几图”是分割正
方形的一种方式,以正方形为模分割为长斜(等腰梯形),右半
斜和左半斜(直角梯形),小三斜,大三斜和闺(均为等腰直角三
角形),I,J分别为EK,GK的中点.现取右半斜两张,左半斜两张和
小三斜三张,拼成图②所示的“飞鸿”,若图①中大正方形的
边长为4,则“飞鸿”的高度h为___________.
2+
解析 如图,连接AD,∵题图①中大正方形的边长为4,∴EG=
4,∵I,J分别为EK,GK的中点,∴IJ= EG=2,∴BC=IJ=2,在等腰
Rt△IJK中,由勾股定理得IK= ,∴AB=AC= ,∵∠BAC=90°,
∴S△ABC= × × =1,∵BC=2,∴AD=1,∴BF=BD=AD=1,∵
PQ=AB= ,∴“飞鸿”的高度为AD+BF+PQ=1+1+ =2+
.
7.(2025湖南长沙中考,★★☆)如图,正方形ABCD中,点E,F分
别在AB,CD上,且BE=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,AB∥CD,
∵BE=DF,∴AB-BE=CD-DF,
即AE=CF,又∵AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)如图,过点E作EH⊥CD于点H,
∴∠EHC=∠EHF=90°,
∵四边形ABCD是正方形,BC=12,
∴AB=CD=BC=12,∠B=∠BCD=90°,
∴∠EHC=∠B=∠BCD=90°,
∴四边形EBCH是矩形,
∴EH=BC=12,CH=BE=5,
∴DH=CD-CH=12-5=7,
∵BE=DF=5,∴HF=DH-DF=7-5=2,
∴在Rt△EFH中,由勾股定理得EF= = =2
.(共31张PPT)
第二十一章 四边形
21.2.3 三角形的中位线
21.2 平行四边形
三角形的中位线
1.【学科特色·教材变式】(2024甘肃兰州中考)如图,小张想估
测被池塘隔开的A,B两处景观之间的距离,他先在AB外取一点
C,然后步测出AC,BC的中点D,E,并步测出DE的长约为18 m,
由此估测A,B之间的距离为 ( )
A.18 m B.24 m C.36 m D.54 m
C
解析 ∵D,E分别是AC,BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
∴AB=2DE=36 m.故选C.
2.(2025广东中考)如图,点D,E,F分别是△ABC各边的中点,∠A
=70°,则∠EDF= ( )
A.20° B.40° C.70° D.110°
C
解析 ∵点D,E分别BC,AB的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AC,
同理可得DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,
∴∠EDF=∠A=70°.故选C.
3.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,则
下列结论一定成立的是( )
A.DB=2EO B.BC=2EO
C.AB=2EO D.DC=2EO
B
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,
∵E是AB的中点,∴OE是△ABC的中位线,
∴OE= BC,即BC=2OE.故选B.
4.(2025河南中考)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均
为1,△ABC的三个顶点均在网格线的交点上,点D,E分别是边
BA,CA与网格线的交点,连接DE,则DE的长为 ( )
A. B.1 C. D.
B
解析 如图,
由题意可知,BC=AF=BG=2,∠AFD=∠BGD=90°,
又∵∠ADF=∠BDG,∴△ADF≌△BDG(AAS),∴AD=BD,
同理可得AE=CE,∴DE是△ABC的中位线,
∴DE= BC=1.故选B.
5.(2025浙江绍兴期末)已知,如图,在△ABC中,AC=7 cm,点D,E
分别是AC,BC的中点,连接DE,在DE上有一点F,EF=2 cm,连接
AF,CF,若AF⊥CF,则AB=_____________.
11 cm
解析 ∵AF⊥CF,∴∠AFC=90°,
∵点D是AC的中点,AC=7 cm,
∴DF= AC= cm,
∴DE=EF+DF=2+ = (cm),
∵点D,E分别是AC,BC的中点,
∴AB=2DE=11 cm.故答案为11 cm.
6.(2025山东模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点M为边AD上
一点,AM=2DM,BM平分∠ABC,点E,F分别是BM,CM的中点,若
EF=3 cm,则AB的长为____________.
4 cm
解析 ∵点E,F分别是BM,CM的中点,
∴EF是△BCM的中位线,∴BC=2EF=6 cm,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=6 cm,AD∥BC,∴∠AMB=∠MBC,
∵BM平分∠ABC,∴∠ABM=∠MBC,
∴∠AMB=∠ABM,∴AM=AB,
∵AM=2MD,∴AB=AM= AD=4 cm.
7.【新考向·尺规作图】如图,已知在 ABCD中,E为AB的中
点,连接BD.
(1)请用无刻度直尺作△ABD中与AD平行的中位线EF(保留作
图痕迹,不要求写作法).
(2)在(1)的条件下,若EF=5,求BC的长.
解析 (1)如图,连接AC,交BD于F,连接EF,则线段EF就是所求
作的线段.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,由(1)知EF是△
ABD的中位线,∴AD=2EF=10,∴BC=AD=10.
8.(2025北京海淀期末)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的
中点,连接DE,延长BC到点F,使得CF= BC,连接DF交AC于点
O.求证:OC=OE.
证明 ∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE= BC,
∴∠DEO=∠FCO,∵CF= BC,∴DE=CF,
∵∠DOE=∠FOC,∴△DOE≌△FOC(AAS),
∴OC=OE.
9.(2025浙江杭州模拟,★★☆)如图,在四边形ABCD中,对角线
AC⊥BD,且AC=3,BD=4,点E,F分别是边AB,CD的中点,则EF的
长度是( )
A. B.3 C. D.2
C
解析 如图,取AD的中点M,连接ME,MF,
∵E,F分别是AB和CD的中点,
∴EM是△ABD的中位线,FM是△ADC的中位线,∴ME∥BD,
MF∥AC,ME= BD,MF= AC,
∵AC⊥BD,∴ME⊥MF,
∵AC=3,BD=4,∴ME=2,MF= ,
∴EF= = .故选C.
10.(2025北京房山期末,★★☆)如图,△ABC中,BC=5,AC=3,CE
平分∠ACD,AD⊥CE于E,AD交BC于D,F为AB的中点,则EF=
_________.
1
解析 ∵CE平分∠ACD,AD⊥CE,
∴△ACD是等腰三角形,且AC=DC,
∴点E是AD的中点,∵AC=3,∴DC=3,
∵BC=5,∴BD=2,
∵点F是AB的中点,∴EF是△ABD的中位线,
∴EF= BD=1.故答案为1.
11.(2025江苏扬州仪征期末,★★☆)如图,在△ABC中,BA=BC
=5,AC=6,点D,E分别是边AC,BC上的动点,分别取AD,DE的中
点M,N,则MN的最小值是_________.
解析 如图,连接AE,过点A作AE'⊥BC于点E',过点B作BH⊥
AC于点H,
∵点M,N分别为AD,DE的中点,
∴MN为△DAE的中位线,∴MN= AE,
∴当AE最小时,MN最小,
由垂线段最短可知,当点E与点E'重合时,AE最小,
∵BA=BC,BH⊥AC,∴AH= AC=3,
∴由勾股定理得BH= =4,
∵S△ABC= AC·BH= BC·AE',
∴AE'= = ,∴MN的最小值为 .故答案为 .
12.(2025江西九江模拟,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,点D
是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连接BE,点F,G,H分别为
BE,DE,BC的中点.
(1)求证:FG=FH.
(2)当∠A为多少度时,FG⊥FH 并说明理由.
解析 (1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴DB=EC,
∵点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点,
∴FG是△EDB的中位线,FH是△BCE的中位线,
∴FG= BD,FH= CE,∴FG=FH.
(2)当∠A=90°时,FG⊥FH.理由如下:
如图,延长FG交AC于点N,
∵FG是△EDB的中位线,FH是△BCE的中位线,
∴FN∥AB,FH∥AC,∵FG⊥FH,∴∠GFH=90°,
∴∠FNA=90°,∴∠A=90°,∴当∠A=90°时,FG⊥FH.
13.【新课标·推理能力】(2025山东东营期末)如图1,BD,CE分
别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分
别为F,G,连接FG,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N.
(1)求证:FG= (AB+BC+AC).
(2)如图2,BD,CE分别是△ABC的内角平分线,如图3,BD为△
ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线.在图2、图3两
种情况下,线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系 请写
出你的猜想,并对其中的一种情况说明理由.
解析 (1)证明:∵AF⊥BD,∴∠AFB=∠MFB=90°,
∵BD平分∠ABM,∴∠ABF=∠MBF,
∵BF=BF,∴△ABF≌△MBF,∴AB=MB,AF=MF,
同理可得,CN=AC,AG=NG,
∴FG是△AMN的中位线,
∴FG= MN= (MB+BC+CN)= (AB+BC+AC).
(2)题图2中,FG= (AB+AC-BC).
题图3中,FG= (AC+BC-AB).
如图1,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N,
由(1)可知,MB=AB,AF=MF,CN=AC,AG=NG,
∴FG= MN= (BM+CN-BC)= (AB+AC-BC).
如图2,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N,
由(1)可知,MB=AB,AF=MF,CN=AC,AG=NG,
∴FG= MN= (CN+BC-BM)= (AC+BC-AB).(共29张PPT)
第二十一章 四边形
21.3.2 菱形
第2课时 菱形的判定
21.3 特殊的平行四边形
菱形的判定
1.(2025浙江台州期末)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于
点O,下列条件不能判定 ABCD为菱形的是 ( )
A.AB=BC
B.AC⊥BD
C.BD平分∠ABC
D.∠ADC=60°
D
解析 根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,可知A能判
定,不符合题意;
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,可知B能判定,不
符合题意;
C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,
根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,可知C能判定,不
符合题意;
根据D选项不能判定 ABCD为菱形.故选D.
2.(2025福建泉州期末)依据所标数据,下列四边形不一定为菱
形的是 ( )
C
解析 A.四边形的四条边都相等,∴四边形是菱形,故A不符
合题意;
B.∵四边形的对角线互相平分,∴四边形是平行四边形,∵32+
42=52,∴对角线互相垂直,∴四边形是菱形,故B不符合题意;
C.由三条边相等的四边形不能判定四边形是菱形,故C符合题
意;
D.由同旁内角互补,得到四边形的两组对边平行,而四边形的
邻边又相等,故可判定四边形是菱形,故D不符合题意.故选C.
3.【新考向·条件开放题】(2025陕西汉中二模)如图, ABCD
的对角线AC与BD交于点O,要使 ABCD为菱形,可添加的一
个条件是______________________.(写一个即可)
AB=AD(答案不唯一)
解析 答案不唯一.条件:AB=AD,根据有一组邻边相等的平行
四边形是菱形,可得 ABCD为菱形.
4.【学科特色·教材变式】(2025河南郑州模拟)将一张矩形纸
片对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下(剪口与第一
次的折线成20°角),得到①②两部分,将①展开后得到的平面
图形是_______.
菱形
解析 由折叠过程可得,该四边形的对角线互相垂直平分,故
将①展开后得到的平面图形是菱形.故答案为菱形.
5.(2025江苏扬州中考)如图,在 ABCD中,对角线AC的垂直平
分线与边AD,BC分别相交于点E,F.求证:四边形AFCE是菱形.
证明 ∵EF是AC的垂直平分线,
∴EA=EC,FA=FC,OA=OC,∠AOE=∠COF=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,
在△OAE和△OCF中,
∴△OAE≌△OCF(ASA),
∴EA=FC,∴EA=EC=FA=FC,∴四边形AFCE是菱形.
6.(2025湖北襄阳模拟)如图,在△ABC中,BC=2AB,D,E分别为
BC,AC的中点.过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F.求证:四
边形ABDF是菱形.
证明 ∵D,E分别为BC,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,BC=2BD,∴DE∥AB,
又∵AF∥BC,∴四边形ABDF是平行四边形,
∵BC=2AB,∴AB=BD,∴平行四边形ABDF是菱形.
7.(2025天津模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AB=AD,E,F是
对角线BD上的点,且BE=DF,连接AE,CF,AF,CE.求证:四边形
AFCE是菱形.
证明 如图,设AC交BD于点O,
∵AB=AD,四边形ABCD是平行四边形,
∴平行四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,
∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
又∵AC⊥BD,∴平行四边形AFCE是菱形.
8.(2025山东济宁期中,★★☆)如图,两个完全相同的三角尺
ABC和DEF的最长边在直线l上滑动,连接BF,CE,可以添加一
个条件,使四边形CBFE为菱形,下列选项中正确的是
( )
A.BD=AE B.BD=BE
C.BF⊥AD D.FE=2AE
B
解析 由题意可得,∠FDE=30°,∠FED=∠CBA=60°,BC=EF,
∠DFE=∠BCA=90°,∴BC∥EF,EF= DE,
∴四边形CBFE为平行四边形.
当BD=BE时,B为DE的中点,∴BF= DE=EF,
∴四边形CBFE为菱形,故B符合题意;
当BD=AE或BF⊥AD或FE=2AE时,都无法得到四边形CBFE为
菱形,故A,C,D均不符合题意.故选B.
9.(2025陕西西安交大附中三模,★★☆)如图,在平行四边形
ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径作弧,交AD于点F,再分
别以点B,F为圆心,大于 BF的长为半径作弧,两弧交于点G,射
线AG交BC于点E.若BF=8.8,AB=5.5,则AE的长为_________.
6.6
解析 如图,连接EF,设AE交BF于点O,
由作图可知,AB=AF,AE⊥BF,OB=OF=4.4,
∴∠BAE=∠EAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠EAF=∠AEB,∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE=AF=5.5,
∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形,∴OA=OE,
∵在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AB=5.5,OB=4.4,
∴AO= = =3.3,
∴AE=2OA=6.6.故答案为6.6.
10.【学科特色·教材变式】(2025广东广州增城期中,★★☆)
如图,将两张宽度都为6的纸条重叠在一起,使∠ABC=60°,则
四边形ABCD的面积为___________.
24
解析 由题意得AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵两张纸条的宽度都是6,
∴S四边形ABCD=AB×6=BC×6,∴AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
如图,过A作AE⊥BC,垂足为E,则AE=6,
∵∠ABC=60°,∴∠BAE=90°-60°=30°,
∴AB=2BE,
∵在△ABE中,AB2=BE2+AE2,
∴AB2= AB2+62,解得AB=4 (舍负),
∴BC=AB=4 ,
∴S四边形ABCD=BC·AE=4 ×6=24 .
故答案为24 .
11.(2024河北沧州期末,★★☆)如图,∠BAC=90°,AD是△ABC
的中线,AF∥BC,BF与AD交于点E,且点E恰好是BF的中点,连
接CF.
(1)求证:四边形ADCF是菱形.
(2)若∠DCF=120°,AC=8,求菱形ADCF的周长.
解析 (1)证明:∵AD是△ABC的中线,
∴点D是BC的中点,
又∵点E是BF的中点,∴DE∥CF,即DA∥CF,
∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形,
∵AD是△ABC的中线,∠BAC=90°,
∴CD=BD=AD,∴四边形ADCF是菱形.
(2)∵四边形ADCF是菱形,∠DCF=120°,
∴∠ACD=∠ACF=60°,∵AD=DC,∴△ACD是等边三角形,
∴AD=DC=AC=8,∴菱形ADCF的周长为8×4=32.
12.(2025北京二中期末,★★★)如图,在△ABC中,AB=BC,过A
点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D,连接CD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)连接AC与BD交于点O,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E
点,连接EO,若EO= ,BE=4,求CE的长.
解析 (1)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,
∵AB=BC,∴AD=BC,
又∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴BO=DO,BC=CD,
∵DE⊥BE,∴∠BED=90°,∴BD=2OE=2 ,
∴DE= =2,
设CE=x,则CD=BC=BE-CE=4-x,
在Rt△CDE中,由勾股定理得CD2=CE2+DE2,即(4-x)2=x2+22,解
得x= ,∴CE的长为 .
13.【新课标·运算能力】如图,已知△ABC和△DEF都是边长
为10 cm的等边三角形,且B,D,C,E在同一直线上,连接AD,CF,
已知BD=3 cm,若△ABC沿着BE方向以1 cm/s的速度运动,设
△ABC的运动时间为t s.
(1)当t为何值时,四边形ADFC是菱形
(2)当t为何值时,四边形ADFC是矩形
并求其面积.
解析 (1)∵△ABC和△DEF都是边长为10 cm的等边三角形,
∴AC=DF,∠ACD=∠FDE=60°,∴AC∥DF,∴四边形ADFC是
平行四边形,当t=3时,点B与点D重合,∴AD=DF,∴四边形AD-
FC是菱形.故当t=3时,四边形ADFC是菱形.
(2)由(1)知四边形ADFC为平行四边形,当t=13时,点B与点E重
合,此时A,E,F三点在同一条直线上,∴AF=CD=20 cm,∴四边
形ADFC是矩形,∴∠CFD=90°,∴CF= =10 (cm),
∴S矩形ADFC=10×10 =100 (cm2).故当t=13时,四边形ADFC是
矩形,其面积为100 cm2.
