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第二十章 勾股定理
第1课时 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
勾股定理
1.(2025湖北黄冈期末)设直角三角形的两条直角边长分别为a
和b,斜边长为c,已知b=12,c=13,则a= ( )
A.1 B.5 C.10 D.25
B
解析 由题意得a= = =5.故选B.
2.(2025山西朔州期中)象棋起源于中国,是一种古老的棋类游
戏,大约有两千年的历史,是中华文明非物质文化的经典产物.
如图所示的是两人某次棋局棋盘上的一部分,若棋盘中每个
小正方形的边长都为1,则“车”与“炮”两棋子所在格点之
间的距离为 ( )
C
A. B.3 C. D.4
解析 由勾股定理可知,“车”与“炮”两棋子所在格点之
间的距离为 = .故选C.
3.(2025河北唐山期中)如图,在平面直角坐标系中,△AOB是等
边三角形,若点B的坐标是(4,0),则点A的坐标是 ( )
A.(2,2) B.(2,2 ) C.(2 ,2) D.(1,2)
B
解析 如图,过点A作AC⊥OB于点C,
∵△AOB是等边三角形,∴OA=OB,OC=BC,
∵点B的坐标为(4,0),∴OB=4,
∴OA=4,OC= OB=2,
∴AC= = =2 ,∴A(2,2 ).
4.(2025广东揭阳期中改编)如图,网格中的每个小正方形的边
长都为1,△ABC的顶点A,B,C均在网格的格点上,BD⊥AC于点
D,则BD的长为_________.
解析 如图,过A作AE⊥BC于E,
易得S△ABC= BC·AE= AC·BD,
∵AE=2,AC= = ,BC=2,
∴ ×2×2= × ×BD,解得BD= .
5.【学科特色·分类讨论思想】(2025江苏宿迁沭阳期中)已知
一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是
____________.
25或7
解析 ①当长为3的边是直角边,长为4的边是斜边时,第三边
长的平方为42-32=7;
②当长为3,4的边都是直角边时,第三边长的平方为42+32=25.
综上,第三边长的平方为25或7.
6.【学科特色·方程思想】(2025陕西宝鸡陈仓期末)如图,在Rt
△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,点D为AC上的一点,将
△BCD沿BD折叠,使点C恰好落在AB上的点E处,求AD的长.
解析 由折叠的性质可知,BE=BC=3 cm,DE=DC,∠BED=∠C
=90°,∴∠AED=90°,∵AB=5 cm,∴AE=AB-BE=2 cm,∵在Rt△
ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,∴AC= =4 cm,
设AD=x cm,则DE=DC=AC-AD=(4-x)cm,
在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,即22+(4-x)2=x2,
解得x=2.5,∴AD=2.5 cm.
勾股定理的验证
7.(2025海南文昌期中)勾股定理是数学定理中证明方法最多
的定理之一,也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之
一.下列图形中可以证明勾股定理的是 ( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.①④
D
解析 ①S梯形= (a+b)2,
S梯形= ab+ ab+ c2=ab+ c2,
∴ (a+b)2=ab+ c2,
整理得a2+b2=c2,故①满足题意;
④S正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2,
S正方形=4× ab+c2=2ab+c2,
∴a2+2ab+b2=2ab+c2,∴a2+b2=c2,故④满足题意;
②③无法证明勾股定理.故选D.
8.(2025湖北襄阳期中)学习勾股定理之后,同学们发现证明勾
股定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定理的方法:
如图1,点B是正方形ACDE的边CD上一点,连接AB,得到直角
三角形ACB,三边长分别为a,b,c,将△ACB裁剪、拼接至
△AEF的位置,如图2所示,该同学用图1、图2的面积不变证明
了勾股定理.请你写出用该方法证明勾股定理的过程.
证明 如图,连接BF,
∵AC=b,∴正方形ACDE的面积为b2,
∵CD=DE=AC=b,EF=BC=a,
∴BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=b+a,
∵∠CAE=90°,∴∠BAC+∠BAE=90°,
∵∠EAF=∠BAC,∴∠EAF+∠BAE=90°,
∴∠BAF=90°,
∴四边形ABDF的面积为 c2+ (b-a)(a+b)= c2+ (b2-a2),
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等,∴b2= c2+
(b2-a2),
∴b2= c2+ b2- a2,
∴ a2+ b2= c2,∴a2+b2=c2.
9.(2024四川眉山中考,★★☆)图1是北京国际数学家大会的
会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全
等的直角三角形拼成的.若图1中大正方形的面积为24,小正方
形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方
形的面积为 ( )
D
A.24 B.36
C.40 D.44
解析 设直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,
∵题图1中大正方形的面积是24,小正方形的面积是4,∴c2=24
=a2+b2,(a-b)2=a2+b2-2ab=4,∴ab=10,∴题图2中大正方形的面积
为c2+4× ab=24+2×10=44.故选D.
10.(2025安徽中考,★★☆)如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=
AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE= ,则
AC的长是 ( )
A.4 B.6 C.2 D.3
B
解析 ∵在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,
∴∠C= =30°,又∵ED⊥AC,∴△EDC是直角三角形,
且∠C=30°,
∴EC=2DE,∵DE= ,∴EC=2 .
∵D是AC的中点,∴设CD=x,则AC=2x.
在Rt△EDC中,根据勾股定理得EC2=DE2+CD2,
∴(2 )2=( )2+x2,解得x=3(舍去负值).
∴AC=6.故选B.
11.【学科特色·方程思想】(2025四川内江中考,★★☆)如图,
在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点B的坐
标为(1,0),点E在边CD上,将△ADE沿AE折叠,使点D落在点F
处.若点F的坐标为(0,3),则点E的坐标为_________.
解析 如图,设CD与y轴交于点G,AB=x,
根据题意得四边形OADG是长方形,∠AOG=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=CD=BC=OG=x,
∵点B的坐标为(1,0),∴OA=x-1,
∵将△ADE沿AE折叠,使点D落在点F处,点F的坐标为(0,3),∴
OF=3,AF=AD=x,DE=EF,
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2=OA2+OF2,
即x2=(x-1)2+32,解得x=5,
∴DG=OA=x-1=4,FG=OG-OF=5-3=2,
设EG=a,则DE=EF=4-a,
在Rt△EFG中,由勾股定理得EF2=EG2+FG2,
即(4-a)2=a2+22,解得a= ,
∴点E的坐标为 .
12.(2025陕西咸阳月考)定义:我们把三角形某边上的中点到
这条边上的高的距离称为三角形某边的“中偏度值”.
(1)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,求△ABC中AB
边的“中偏度值”.
(2)在△ABC中,AC=13,AB=15,BC边上的高AD=12,求△ABC中
BC边的“中偏度值”.
解析 (1)如图,作Rt△ABC中AB边上的中线CE和高CD,
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB= = =5,
∵ AC·BC= AB·CD,∴ ×4×3= ×5×CD,
∴CD= ,∴BD= = = ,
∵CE为Rt△ABC斜边AB上的中线,AB=5,
∴BE= AB= ,∴ED=BE-BD= - = ,
∴△ABC中AB边的“中偏度值”为 .
(2)①当高AD在△ABC内部时,
作△ABC中BC边上的中线AE,如图,
∵AD⊥BC,AD=12,AC=13,AB=15,
∴CD= = =5,BD= = =
9,
∴BC=BD+CD=14,
∵AE为△ABC中BC边上的中线,
∴CE= BC=7,∴ED=CE-CD=7-5=2,
∴△ABC中BC边的“中偏度值”为2;
②当高AD在△ABC外部时,
作△ABC中BC边上的中线AE,如图,
∵AD⊥BC,AD=12,AC=13,AB=15,
∴CD= = =5,BD= = =
9,∴BC=BD-CD=4,
∵AE为△ABC中BC边上的中线,
∴CE= BC=2,∴ED=CE+CD=2+5=7,
∴△ABC中BC边的“中偏度值”为7.
综上所述,△ABC中BC边的“中偏度值”为2或7.
微专题 “勾股树”模型
1.(2025广东揭阳期中)如图所示的是一棵勾股树,其中所有的
四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,已知最大
正方形的面积是16,则图中阴影正方形的面积之和为_______.
16
解析 如图,
由题意可知,SA+SB=SE,SC+SD=SF,SE+SF=16,
∴SA+SB+SC+SD=16,
即图中阴影正方形的面积之和为16.
2.【新考向·数学文化】(2025河南信阳期中)如图,在Rt△ABC
中,∠ACB=90°,在AB同侧分别以AB,BC,AC为直径作三个半
圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”,若BC
=8,AC=6,则阴影部分的面积为__________.
24
解析 ∵∠ACB=90°,BC=8,AC=6,
∴AB= =10,
∴阴影部分的面积为 AC·BC+ π· + π· - π·
= ×6×8+ π×32+ π×42- π×52
=24.故答案为24.
3.如图,以Rt△ABC的三边为边分别向外作等边三角形,若斜
边AB=2,则图中阴影部分的面积为__________.
2
解析 如图,过点E作EH⊥AB,垂足为H,
∴∠AHE=90°,
∵△ABE是等边三角形,
∴AE=AB,AH= AB,
∴EH= = = AB,
∴S△ABE= AB·EH= AB2,
同理可得,S△ACD= AC2,S△BCF= BC2,
∵△ABC为直角三角形,AB为斜边,
∴AC2+BC2=AB2.
∴阴影部分的面积为S△ABE+S△ACD+S△BCF= AB2+ AC2+ BC
2= AB2= ×22=2 .
