(共30张PPT)
第十九章 二次根式
第1课时 二次根式的乘法
19.2 二次根式的乘法与除法
二次根式的乘法法则
1.(2024江苏南通中考)计算 × 的结果是 ( )
A.9 B.3 C.3 D.
B
解析 × = = =3.
2.(2025河南驻马店确山期中)如图,一只电子蚂蚁在数轴上爬
行,爬到表示 ×(-2 )的点处,则该点可能是下列点中的
( )
A.点E B.点F C.点P D.点Q
A
解析 ×(-2 )=- ,-4<- <-3,由题中数轴可知点E所
表示的数大于-4且小于-3,故选A.
3.(2025广西中考)计算 × =_________.
解析 × = .
4.为了加强学生暑期防溺水意识,某中学给同学们发放了如图
所示的“防溺水告家长书”,已知该信纸的长为10 cm,回
执单的宽度(a cm)为整张信纸长度的 ,则a的值为_______.
2
解析 a=10 × =10× × × =2× =2 .
5.【学科特色·教材变式】小威在信息技术课上设计了一幅长
方形图片,已知长方形的长是 cm,宽是 cm,他又设
计了一个面积与其相等的圆,则该圆的半径为____________.
cm
解析 设该圆的半径为R cm,根据题意得π·R2= · =π·
70,所以R= (负值舍去).故该圆的半径为 cm.
6.计算:
(1) × . (2) × .
(3) × × . (4) ×3 .
解析 (1) × = = =12.
(2) × = = =6 000.
(3) × × = = =10.
(4) ×3 = ×3× = × = .
二次根式乘法法则的逆用
7.(2025河北石家庄期中)下列选项中,与 计算结果相同
的是 ( )
A.5+3 B.5-3 C.5×3 D.5÷3
C
解析 ∵ = × =5×3,
∴选项C符合题意.故选C.
8.(2025广西河池期中)使 = · 成立的条
件是 ( )
A.x≤3 B.x≥-2 C.-2≤x≤3 D.-2
C
解析 ∵二次根式中的被开方数是非负数,
∴ 解得-2≤x≤3.故选C.
9.如果一个无理数m与 的积是一个有理数,写出m的一个
值是________________.
(答案不唯一)
解析 = =3 ,若无理数m与 的积是一个有理数,
则m的值可以为 (答案不唯一).
10.(2025江苏徐州模拟)若一个直角三角形的两条直角边长分
别为 cm和 cm,则这个三角形的面积为__________cm2.
3
解析 根据题意得,这个三角形的面积为 × × = ×
= × = × × = ×6× =3 (m2).
11.(2025山西运城月考)已知a= ,b= ,用含a,b的代数式表
示 ,则这个代数式是___________.
ab2
解析 × × = ,
∵a= ,b= ,
∴这个代数式是ab2.
12.【学科特色·教材变式】计算:
(1) .
(2)- × .
(3) (m>0,n>0).
解析 (1)原式= = × =12×10=120.
(2)原式=- × × =- ×4×6=-24 .
(3)原式= = · =3m .
13.(2025安徽安庆期中,★★☆)下列变形正确的是 ( )
A. = ×
B. = × =4×
C. =
D. =25-24=1
C
解析 ∵ = = × ,∴选项A的变形错误;
∵ = ≠ × ,∴选项B的变形错误;
∵ = ,∴选项C的变形正确;
∵ = = =7,∴选项D的变形错
误.故选C.
14.(2025重庆育才中学月考,★★☆)当a<0时,化简a ·
的结果是_________.
-4a2
解析 ∵a<0,
∴a · =a =a|4a|=-4a2.
15.(2025江苏南京模拟,★★☆)小王利用计算机设计了一个
程序,输入和输出的数据如下表:
输入 1 2 3 4 …
输出 3 2 …
那么当输入数据为8时,输出的数据是__________.
2
解析 × = , × = ,
× =3, × =2 ,……
∴当输入数据为8时,输出的数据是 × = =2 .故答案
为2 .
16.(2025重庆渝北实验中学校期中,★★☆)如果ab>0,a+b<0,
那么下面各式:① = · ;② · =1;③ · =-b;④
· =a.其中正确的是_______(填序号).
②③
解析 ∵ab>0,a+b<0,∴a<0,b<0.
∴ 与 无意义,∴①错误;
∵ · = =1,∴②正确;
∵ · = = =|b|=-b,
∴③正确;
∵ · = = =|a|=-a,
∴④错误.故答案为②③.
17.(2025河南漯河期中,★★★)观察计算:
(1)4+3_______2 ;1+ _______2 ;
5+5_______2 .(填“>”“<”或“=”)
归纳发现:
(2)由(1)中的各式比较m+n与2 (m≥0,n≥0)的大小,并说明
理由.
实践应用:
(3)设计师要对某区域进行设计改造,将该区域用篱笆围成一
个长方形花圃,如图,该花圃恰好可以借用一段墙体,若要围成
一个面积为200平方米的花圃,则所用的篱笆至少需要______
____米.
解析 (1)∵4+3=7= ,2 = ,
∴4+3>2 .
∵1+ = = ,2 = = ,
∴1+ >2 .
∵5+5=10,2 =2×5=10,∴5+5=2 .
故答案为>;>;=.
(2)m+n≥2 .
理由:∵m≥0,n≥0,∴m= ,n= ,
∴m+n-2 = + -2 = ≥0,
∴m+n≥2 .
(3)40.
详解:设长方形花圃与墙平行的一边长为x(x>0)米,垂直于墙
的一边长为y(y>0)米,
由题意得所用的篱笆长为(x+2y)米,xy=200,
由(2)可得x+2y≥2 ,
∵2 =2 =2 =40,
∴x+2y≥40,∴所用的篱笆至少需要40米.
18.【新课标·应用意识】【新考向·数学文化】(2025山东淄
博期末)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了
“三斜求积术”,即已知三角形的三边长,求它的面积,用现代
式子表示为S= (其中a,b,c为三角形的
三边长,S为面积)①,而另一个文明古国古希腊也有求三角形
面积的海伦公式:S= 其中p= ②.
请根据以上材料完成下面的任务:
m的三角形空地种植花卉,请你用秦九韶公式帮助王师傅计算
一下开垦的空地的面积.
任务二:如图所示的是小明制作的一个风筝模型,其中AB=BC
=50 cm,AD=CD=40 cm,BD=60 cm,请你用海伦公式帮助小明
求风筝模型ABCD的面积.
任务一:王师傅准备开垦一块边长分别为2 m,2 m,2
解析 任务一:令a2=(2 )2=20,b2=(2 )2=24,c2=(2 )2=28,
由公式①,得S=
=
= = =2 (m2).
答:王师傅开垦的空地的面积为2 m2.
任务二:∵AB=BC,AD=CD,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD,
在△ABD中,p= = =75,
∴S△ABD= =375 (cm2),
∴S△BCD=S△ABD=375 cm2,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=375 +375 =750 (cm2).
答:风筝模型ABCD的面积为750 cm2.(共15张PPT)
第十九章 二次根式
第3课时 最简二次根式
19.2 二次根式的乘法与除法
最简二次根式
1.(2025湖北孝感期中)下列二次根式中,是最简二次根式的是
( )
A. B. C. D.
C
解析 = , = = , =2 ,故A、B、D选项中
的二次根式都不是最简二次根式. 是最简二次根式.故选C.
2.(2025山东临沂模拟)若最简二次根式 与最简二次根
式 相等,则a+b=_________.
8
解析 ∵最简二次根式 与最简二次根式 相等,
∴a-1=2,2a+1=4a-b,解得a=3,b=5,
∴a+b=3+5=8.故答案为8.
3.(2025广东梅州月考)把下列各式化成最简二次根式:
(1) .(2) .(3) .(4) (x>0).
解析 (1) = = × =2 .
(2) = = = .
(3) = = = = .
(4) = × × = × ×x× =4x .
二次根式的乘除混合运算
4.(2025河北廊坊期中)计算6 × ÷2 =( )
A.-4 B.-2 C.40 D.7
D
解析 6 × ÷2 =6× × =7.故选D.
5.计算8 ÷2 × (a>0,b>0)的结果是__________.
4
解析 当a>0,b>0时,8 ÷2 × =4 =4 .
6.(2025江苏盐城期中)计算:
(1)3 × ÷ .
(2)4 ÷3 ×2a .
解析 (1)3 × ÷ = × =-
=- .
(2)4 ÷3 ×2a =4a ÷ a×
=4 × = .
7.【学科特色·教材变式】(2025福建泉州月考,★★☆)现有一
个体积为120 cm3的长方体,它的高为2 cm,长为3
cm,则这个长方体的宽为 ( )
A.3 cm B.3 cm C.2 cm D.2 cm
C
解析 由题意得,这个长方体的宽为120 ÷(2 ×3 )=
2 (cm),故选C.
8.(2025江西吉安期中,★★☆)已知xy=5,求式子9x2 ×2 ÷
6 的值.
解析 9x2 ×2 ÷6
=9x2×2×
=3x2× =3xy ,
∵xy=5,∴原式=3×5× =15 .
9.【新课标·创新意识】观察下列各式及其验证过程.
等式:①2 = ;②3 = .
验证:
①2 = × = = = =
= .
②3 = × = = = =
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路,猜想:4 =
_______;5 =_______.
(2)通过上述探究猜测:n =_______(n>1且n为整数),并
验证你的结论.
= .
解析 (1) ; .
详解:4 = × = =
= =
= .
5 = × = =
= =
= .
(2) .验证如下:
n = × =
= = = = .(共29张PPT)
第十九章 二次根式
第2课时 二次根式的混合运算
19.3 二次根式的加法与减法
二次根式的混合运算
1.【学科特色·多解法】计算 ÷(- )的结果是
( )
A.5 B.-5 C.7 D.-75
A
解析 【解法一】 ÷(- )=( -6 )÷(- )=
-5 ÷(- )=5.
【解法二】 ÷(- )= × =5 ×
-2 × =-1+6=5.
2.(2025云南师大实验中学模拟)已知实数m= × ,则
实数m的值应在 ( )
A.1与2之间 B.2与3之间
C.3与4之间 D.4与5之间
B
解析 由题意得m= -1,
∵9<10<16,∴3< <4,∴2< -1<3,
∴实数m的值应在2与3之间.故选B.
3.计算 ÷ - +2 × 的结果为 ( )
A.-2 B.6-2 C.6 -2 D.6
B
解析 ÷ - +2 ×
= × - ×3 +4 × =3-2 +3=6-2 ,
故选B.
4.(2025山东济宁期中)计算 ÷ - ×2 - 的结果为
__________.
-4 -3
解析 原式=2 -6 -3=-4 -3.
5.(2025河北邯郸模拟)现将一个面积为300 cm2的正方形的一
组对边缩短8 cm,就成为一个长方形,这个长方形的面积为
__________cm2.
60
解析 ∵正方形的面积为300 cm2,
∴正方形的边长为 =10 (cm),
∵将其一组对边缩短8 cm,
∴这组对边的长度变为10 -8 =2 (cm),
∴这个长方形的面积为2 ×10 =60(cm2).
6.(2025河南信阳期中)计算:
(1)( - )× -3 .
(2) ÷ - × + .
(3) × - .
解析 (1)原式=( - )×3 -
=6-6 - =6-7 .
(2)原式= - + =4-3+2 =1+2 .
(3)原式=2 × - × -
=12 - -5=11 -5.
乘法公式在二次根式的混合运算中的应用
7.(2025河北中考)计算( + )( - )= ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
B
解析 ( + )( - )=( )2-( )2=10-6=4.故选B.
8.(2025河北衡水模拟)若(2+ )2=a+b (a,b为整数),则a+b等
于 ( )
A.7 B.9 C.11 D.12
C
解析 ∵(2+ )2=4+4 +3=7+4 =a+b ,∴a=7,b=4,∴a+b
=11.故选C.
9.(2025山西忻州期中)计算:
(1)(3+ )(3- )- ÷ .
(2) ÷ +(2- )× .
(3)( + )2 026× .
解析 (1)原式=9-2- =7- =7-2=5.
(2)原式= ÷ +(2+ )
= - +2+ = .
(3)原式=[( + )×( - )]2 026=(11-10)2 026=1.
10.下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程,请认真阅
读并完成相应任务.
( + )2-( - )2
=( )2+( )2-( )2+( )2 第一步
=6+5-6+5 第二步
=10. 第三步
任务一:以上步骤中,从第_______步开始出现错误,这一步错
误的原因是_______.
任务二:请写出正确的计算过程.
解析 任务一:从第一步开始出现错误,这一步错误的原因是
完全平方公式运用错误.
任务二:( + )2-( - )2
=( )2+2 +( )2-[( )2-2 +( )2]
=6+2 +5-(6-2 +5)
=6+2 +5-6+2 -5=4 .
11.(2025湖南长沙外国语学校月考,★★☆)计算( +4)2 025×
( -4)2 026的结果是 ( )
A. +4 B.4 C.-4 D. -4
D
解析 ( +4)2 025×( -4)2 026
=( +4)2 025×( -4)2 025×( -4)
=[( +4)×( -4)]2 025×( -4)
=1×( -4)
= -4.
12.(2025安徽安庆潜山期中,★★☆)已知x+y=-9,xy=9,则x +
y 的值是 ( )
A.6 B.-6 C.3 D.-3
B
解析 ∵x+y=-9,xy=9,∴x<0,y<0,
∴ =-x, =-y,
∴原式=- · - ·
=- - =-2 =-2 =-6.故选B.
13.【学科特色·作差估值法】(2025广东佛山一模,★★☆)若3
- 的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+ a)·b的值为
( )
A.2 B.0 C.1 D.-2
A
解析 ∵1< <2,∴-1>- >-2,
∴2>3- >1,
∴3- 的整数部分a=1,
小数部分b=3- -1=2- ,
∴(2+ a)·b=(2+ ×1)×(2- )
=(2+ )×(2- )=4-2=2.故选A.
14.(2025陕西西安月考,★★☆)老师设计了一个“接力游
戏”,用合作的方式完成二次根式的混合运算,如图所示,老师
把题目交给第一位同学,他完成第一步解答后交给第二位同
学,依次进行,最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过
来的式子.接力中,自己负责的式子出现错误的是__________.
小丽和小红
解析 ∵ ÷ = + ,
∴小明没有出现错误.
∵ + = + = + ,
∴小丽出现错误.
∵ + =2+ =2+ ,∴小红出现错误.
∵2+ =2+ =2 ,
∴小亮没有出现错误.故答案为小丽和小红.
15.(2025福建宁德期中,★★☆)已知A=x2-2 x.
(1)把多项式A分解因式为_______________.
(2)当x= + 时,多项式A的值为_________.
x(x-2 )
4
解析 (1)A=x2-2 x=x(x-2 ),
故答案为x(x-2 ).
(2)当x= + 时,
A=( + )( + -2 )
=( + )( - )
=6-2=4.故答案为4.
16.(2025湖南衡阳月考,★★☆)已知x= ,y= ,求 +
和(x-1)(y-1)的值.
解析 ∵x+y= = ,xy= =1,
∴ + = = = =3,
(x-1)(y-1)=xy-x-y+1=xy-(x+y)+1=1- +1=2- .
17.(2025北京人大附中月考,★★★)
(1)先化简,再求值: +x -4y - ,其中x= ,y=4.
(2)已知x= ,y= ,求代数式x2+3xy+y2的值.
解析 (1) +x -4y -
=5 + -4 - ·y
=5 + -4 - = ,
当x= ,y=4时,原式= = .
(2)∵x= = = - ,
y= = =- - ,
∴x+y= - +(- - )=-2 ,
xy=( - )(- - )=2-3=-1,
∴x2+3xy+y2=x2+2xy+y2+xy=(x+y)2+xy
=(-2 )2-1=8-1=7.
18.【新课标·运算能力】【新考向·阅读理解题】阅读下面这
道例题的解法,并回答问题.
例如:化简 .
解: = = =|1+ |=1+ .
(1)依据上述计算,填空: =_______, =_____
_____.
(2)根据上述方法求值: + + +…+
.
解析 (1) = = =2+ ,
= = =4 -3.
(2) + + +…+ = -1+( -
)+(2- )+…+(10- )=10-1=9.(共29张PPT)
第十九章 二次根式
第2课时 二次根式的性质
19.1 二次根式及其性质
二次根式 (a≥0)的性质
1.(2025山西大同模拟)已知 +|y-2x|=0,则xy的值是
( )
A.4 B.6 C.8 D.10
C
解析 ∵ +|y-2x|=0,∴x-2=0,y-2x=0,
解得x=2,y=4,∴xy=2×4=8.故选C.
2.实数x,y满足 +4x2+4xy+y2=0,则yx的值为 ( )
A.16 B. C.-16 D.-
B
解析 因为 +4x2+4xy+y2=0,所以 +(2x+y)2=0,所以
解得 所以yx=4-2= ,故选B.
3.(2025江苏淮安月考)当x=_______时, -5取最小值,其最
小值为_______.
-
-5
解析 由题意得2x+3≥0,所以x≥- ,即当x=- 时, -5取
最小值,其最小值为-5.
4.(2024四川成都中考)若m,n为实数,且(m+4)2+ =0,则(m+
n)2的值为_________.
1
解析 ∵(m+4)2+ =0,(m+4)2≥0, ≥0,∴m+4=0,n-5=
0,∴m=-4,n=5,∴(m+n)2=(-4+5)2=1.
( )2=a(a≥0)
5.(2025湖北宜昌模拟)下列计算结果正确的是 ( )
A.( )2=5 B.( )2=0.2
C.(3 )2=6 D. =2
B
解析 =25, =0.2, =9×2=18, = .故选B.
6.( )2的算术平方根是 ( )
A.36 B.6 C.362 D.±6
B
解析 根据 =a(a≥0)得 =36,∴( )2的算术平方根
是 =6.故选B.
7.【学科特色·教材变式】计算:
(1)( )2.(2)[ ]2.(3)-( )2.
(4)(2 )2.(5) .(6) .
解析 (1)( )2=1.4.
(2)[ ]2=( )2=11.
(3)-( )2=-0.01.
(4)(2 )2=22×( )2=4×3=12.
(5) = = = .
(6) =22× =4× =6.
二次根式 的性质
8.(2025湖北咸宁期中)下列式子中,正确的是( )
A. =0.3 B. =±
C. =-4 D.± =±7
D
解析 ∵ ≠0.3, = , =4≠-4,± =±7,∴选项D
正确,故选D.
9.【学科特色·易错题】已知|a|=5, =7,且 =b-a,则a+
b的值为 ( )
A.-12 B.12 C.-2或-12 D.12或2
D
解析 因为|a|=5, =7,所以a=±5,b=±7,因为 =b-a,所
以b-a≥0,即b≥a,所以a=5,b=7或a=-5,b=7.所以a+b=12或a+b=
2.故选D.
10.(2025浙江杭州月考)如图,数轴上点A表示的数为a,化简
+ 的值是_________.
5
解析 由题中数轴可知0∴原式=a-(a-5)=a-a+5=5.
故答案为5.
11.计算: + +6 +( -1)0.
解析 + +6 +( -1)0
=3+4+6× +1=3+4+9+1=17.
12.(2025江西南昌期中)若x<3,化简 +|4-x|.小杰的解
答过程如下:
解:原式= +(4-x) 第一步
=x-3+4-x 第二步
=1. 第三步
(1)小杰的解答从第_______步出现了错误.
(2)请你写出正确的解答过程.
解析 (1)二.
(2)原式= +(4-x)=3-x+4-x=7-2x.
13.(2025山西大同期中)如图,摆钟的钟摆自由摆动,摆动一个
来回所用的时间t(单位:s)与钟摆的长度l(单位:m)之间满足t=2
π ,假如钟摆的长度为0.2 m.求摆动一个来回所用的时间.(π
≈3,g=9.8 m/s2)
解析 t=2π ≈2×3× =6× = (s).
答:摆动一个来回所用的时间约为 s.
14.(2025山东淄博期中,★★☆)已知-1 - 的结果正确的是 ( )
A.-a-b+1 B.-a+b+1 C.a-b-1 D.a+b-1
D
解析 - = - =|a+1|-|b-2|,
∵-10,b-2<0,
∴原式=a+1-(2-b)=a+1-2+b=a+b-1.故选D.
15.【学科特色·易错题】(2025湖南湘潭月考,★★★)已知
=-1,则化简 + 的结果为
( )
A.-2a B.2a
C.2a+ D.-
A
解析 ∵ =-1,∴a+1<0,∴a<-1,
∴a- <0,a+ <0,∴ + = +
=-a+ -a- =-2a.故选A.
16.【学科特色·数形结合思想】(2025北京朝阳期中,★★☆)
实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,化简 - +
=________.
-2a
解析 由题图可知,a<0,b>0,
∴a-b<0, =-a, =b,∴ =b-a,
∴ - + =-a-b+(b-a)
=-a-b+b-a=-2a.故答案为-2a.
17.【学科特色·教材变式】(2025江苏南京秦淮月考,★★☆)
已知n是正整数, 是整数,则n的最小值为_________.
7
解析 ∵ = ,且 是整数,
∴正整数n的最小值为7.故答案为7.
18.(2025山东德州月考,★★☆)已知a满足|2 025-a|+
=a.
(1)使 有意义的a的取值范围是_______.在这个条
件下将|2 025-a|去掉绝对值符号可得|2 025-a|=_______.
(2)根据(1)的分析,求a-2 0252的值.
解析 (1)∵ 有意义,
∴a-2 026≥0,解得a≥2 026,
∴|2 025-a|=a-2 025,
故答案为a≥2 026;a-2 025.
(2)由(1)得a-2 025+ =a,
∴ =2 025,
∴a-2 026=2 0252,即a-2 0252=2 026.
19.【新课标·应用意识】(2025湖北黄石大冶期末)阅读下列
解题过程.
例:若代数式 + 的值是2,求a的取值范围.
解:原式=|a-1|+|a-3|,当a<1时,原式=(1-a)+(3-a)=4-2a=2,解得a=
1(舍去);当1≤a≤3时,原式=(a-1)+(3-a)=2,符合条件;当a>3时,
原式=(a-1)+(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍去).综上,a的取值范围是
1≤a≤3.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法.
请你根据上述材料,解答下列问题:
(1)当2≤a≤3时,化简 + =_______.
(2)若等式 + =4成立,则a的取值范围是______
____.
(3)若 + =8,求a的值.
解析 (1)∵2≤a≤3,∴a-2≥0,a-5<0,
∴原式=|a-2|+|a-5|=a-2-(a-5)=3,
故答案为3.
(2)由题意可知|3-a|+|a-7|=4,
当a≤3时,3-a≥0,a-7<0,∴原等式可化为3-a-(a-7)=4,∴a=3,符
合题意;
当3<7符合题意;
当a≥7时,3-a<0,a-7≥0,∴原等式可化为-(3-a)+(a-7)=4,∴a=7,
符合题意.
综上所述,3≤a≤7.故答案为3≤a≤7.
(3)原方程可化为|a+1|+|a-5|=8,
当a≤-1时,a+1≤0,a-5<0,
∴原方程可化为-a-1-(a-5)=8,
∴a=-2,符合题意;
当-10,a-5<0,
∴原方程可化为(a+1)-(a-5)=8,
此方程无解,故-1当a≥5时,a+1>0,a-5≥0,
∴原方程可化为a+1+a-5=8,
∴a=6,符合题意.
综上所述,a=-2或a=6.(共27张PPT)
第十九章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2025江苏连云港中考)若 在实数范围内有意义,则x的
取值范围是 ( )
A.x≤1 B.x≥1 C.x≤-1 D.x≥-1
D
解析 根据题意得,x+1≥0,解得x≥-1.故选D.
2.(2025安徽合肥期末)下列式子中,为最简二次根式的是
( )
A. B. C. D.
D
解析 ∵ = , = = = , =3,∴选项A、B、
C中的式子都不是最简二次根式. 是最简二次根式.故选D.
3.(2025河南三门峡期中)下列二次根式中,化成最简二次根式
后,与 可以合并的是 ( )
A. B. C. D.
A
解析 =4 , = = = ,
= =2 , =6,
∴只有 与 化简后可以合并.故选A.
4.(2025山西吕梁三模)下列运算正确的是 ( )
A. + =
B. - =-
C.( +2)( -2)=5
D.( + )÷ =
B
解析 与 不能合并,故A不符合题意; - = -2 =
- ,故B符合题意;( +2)( -2)=7-4=3,故C不符合题意;( +
)÷ = +1,故D不符合题意.故选B.
5.如图,点A,B,C,D在数轴上,则可以近似表示 × - ÷2
的运算结果的点是 ( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
C
解析 × - ÷2 = - =6- ,∵12<3<22,
∴1< <2,∴4<6- <5,∴可以近似表示 × - ÷2 的
运算结果的点是C,故选C.
6.(2025江苏南通月考)若2,5,n为三角形的三边长,则化简
+ 的结果为 ( )
A.5 B.2n-11 C.11-2n D.-5
A
解析 由三角形的三边关系可知3∴3-n<0,8-n>0,
∴ + =|3-n|+|8-n|
=-(3-n)+(8-n)=-3+n+8-n=5.故选A.
7.【学科特色·易错题】下列各式成立的是 ( )
A. = ·
B. = ·
C. = ·
D. = ×
D
解析 A项,当a<-4时, 与 无意义,故A不成立;B项,
当a<0,b<0时, 与 无意义,故B不成立;C项,当m+n<0时,
无意义,故C不成立;易知D项成立.故选D.
8.(2025四川内江期末)按如图所示的程序计算,若开始输入的
n值为 ,则输出的结果是 ( )
A.22 B.15+7 C.36 D.22+
B
解析 ∵n= 时,n(n+1)= ×( +1)=3+ ,
且3+ <15,∴将n=3+ 再次输入,
此时n(n+1)=(3+ )(3+ +1)
=(3+ )(4+ )
=12+7 +3
=15+7 >15,
∴输出的结果是15+7 .故选B.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2025四川凉山州中考)若式子 在实数范围内有意义,
则m的取值范围是___________.
m≥1
解析 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得
解得m≥1,
∴m的取值范围是m≥1,故答案为m≥1.
10.(2025山东淄博期中)已知m= +2,n= -2,则
=_________.
3
解析 ∵m= +2,n= -2,
∴m+n=2 ,mn=3-4=-1,
∴原式= =
= =3.
故答案为3.
11.(2025广东汕头期末)如图,某小区内有一块长方形广场,广
场长为2 米,宽为2 米,广场中间有两块大小相同的长
方形绿地(阴影部分),每块长方形绿地的长为(2 +2)米,宽为
(2 -2)米.除绿地部分,广场其他部分都要铺上地砖,则这个
广场铺地砖的面积为_________________平方米.
(168 -96)
解析 由题意可得,这个广场铺地砖的面积为2 ×2 -2×
[(2 +2)(2 -2)]
=12 ×14 -2×[ -22]
=168 -2×48
=(168 -96)平方米.
12.【新考向·数学文化】我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇
算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念.如图所示的是一
个简单的二阶幻圆模型,若内、外两个圆周上四个数之和以
及外圆两直径上的四个数之和都相等,则a-b=________.
-6
解析 设题图中外圆空白处的数为x,内圆空白处的数为y,根
据题意得a+x+3 +(- )= +b+y+(- ),a+ +y+3 =x
+b+(- )+(- ),
整理得
①+②,得2(a-b)=-12 ,则a-b=-6 .
三、解答题(共40分)
13.(2025浙江温州质检)(8分)计算:
(1) × ÷ .
(2) ÷ · .
解析 (1)原式=- ×2 × ×4 ÷
=- ×2× ×4× =-4
=-4× =-3 .
(2)原式= · ·
= ·
= = · = x2y .
14.(10分)
(1)已知a= ,求 - 的值.
(2)已知x= ( + ),y= ( - ),求x2+6xy+y2的值.
解析 (1)∵a= =2- <1,∴a-1<0,
∴原式= - =a-3+ =2- -3+2+ =1.
(2)∵x= ( + ),y= ( - ),
∴x+y= ,xy= ,∴x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy=( )2
+4× =7.
15.【跨物理·自由落体】(2025山东济宁期中)(10分)高空抛物
是一种不文明的危险行为,据研究,从高处坠落的物品,其下落
的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式t= (不考虑阻力的影
响).
(1)求物体从60 m的高空落到地面的时间.
(2)小明说物体从120 m的高空落到地面的时间是(1)中所求时
间的2倍,他的说法正确吗 请说明理由.
(3)已知从高空坠落的物体所带能量(单位:J)=10×物体质量
(kg)×高度(m),某质量为0.06 kg的鸡蛋经过5 s落在地上,这个
鸡蛋在下落过程中所带能量有多大 你能得到什么启示 (注:
杀伤无防护人体只需要65 J的能量)
解析 (1)把h=60 m代入公式t= 可得t= = =2 (s).
(2)不正确.
理由:当h=120 m时,t= = =2 (s).
∵2 ≠2×2 ,∴小明的说法不正确.
(3)当t=5 s时,5= ,∴h=125 m.
∴鸡蛋在下落过程中所带能量为10×0.06×125=75(J).
启示:严禁高空抛物,一个鸡蛋都能砸伤人.(答案不唯一,言之
有理即可)
16.【新考向·代数推理】(12分)阅读下面材料:
将边长分别为a,a+ ,a+2 ,a+3 的正方形面积分别记为
S1,S2,S3,S4,
则S2-S1=(a+ )2-a2
=[(a+ )+a]·[(a+ )-a]
=(2a+ )·
=2a +b.
例如:当a=1,b=3时,S2-S1=3+2 .
根据以上材料,解答下列问题:
(1)当a=1,b=3时,S3-S2=_______,S4-S3=_______.
(2)当a=1,b=3时,把边长为a+n 的正方形面积记作Sn+1,其中n
是正整数,根据(1)中的计算结果,你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗
并证明你的猜想.
(3)当a=1,b=3时,令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,……,tn=Sn+1-Sn,且T=t1
+t2+t3+…+t50,求T的值.
解析 (1)S3-S2=(a+2 )2-(a+ )2=(a+2 +a+ )·[a+2 -(a+
)]=(2a+3 )· =2a +3b,当a=1,b=3时,S3-S2=9+2 .
S4-S3=(a+3 )2-(a+2 )2=(a+3 +a+2 )·[a+3 -(a+2 )]=
(2a+5 )· =2a +5b,
当a=1,b=3时,S4-S3=15+2 .
故答案为9+2 ;15+2 .
(2)Sn+1-Sn=6n-3+2 .
证明:Sn+1-Sn=(1+ n)2-[1+ (n-1)]2
=[2+ (2n-1)]× =3(2n-1)+2 =6n-3+2 .
(3)当a=1,b=3时,T=t1+t2+t3+…+t50=S2-S1+S3-S2+S4-S3+…+S51-S50=
S51-S1=(1+50 )2-1=7 500+100 .(共14张PPT)
第十九章 二次根式
第1课时 二次根式的概念
19.1 二次根式及其性质
二次根式的定义
1.(2025湖北黄冈期中)下列式子中,是二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
B
解析 ∵-1<0,∴ 不是二次根式; 符合二次根式的定义;
的根指数为3,是三次根式,不是二次根式;当a<0时, 不是
二次根式.故选B.
2.(2025福建泉州期中)若 是二次根式,则x的值为_______.
4
解析 ∵ 是二次根式,
∴|x-2|=2且x-1≥0,∴x=4.
3.(2025广东肇庆模拟)一个正方体包装箱的表面积为5 400
cm2,则这个正方体包装箱的棱长为_____________.
30 cm
解析 设这个正方体包装箱的棱长为x cm(x>0),
根据题意得6x2=5 400,
∴x= = =30,
∴这个正方体包装箱的棱长为30 cm.
二次根式有(无)意义的条件
4.(2025福建中考)若 在实数范围内有意义,则实数x的值
可以是 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
D
解析 由题意得x-1≥0,解得x≥1,∴实数x的值可以是2.
故选D.
5.(2025安徽宣城期中)当x=5时,下列二次根式没有意义的是
( )
A. B. C. D.
D
解析 在 中,当x=5时,x-6=5-6=-1<0,故此时 无意
义,符合题意.故选D.
6.(2025北京海淀期中)若 是有理数,则满足条件的最大
正整数a的值是__________.
10
解析 由题意可知10-a≥0,解得a≤10,
∵ 是有理数,∴正整数a=10或9或6或1,
∴满足条件的最大正整数a的值是10.故答案为10.
7.【学科特色·教材变式】当x是怎样的实数时,下列各式在实
数范围内有意义
(1) . (2) .
(3) . (4) +x-2.
解析 (1)由2-3x≥0得x≤ ,所以当x≤ 时, 在实数范
围内有意义.
(2)因为2x2≥0,所以2x2+3≥3>0,所以当x取全体实数时,
在实数范围内有意义.
(3)由题意可知 解得x≥-5且x≠2,所以当x≥-5且x≠2
时, 在实数范围内有意义.
(4)由x+3≥0且x≠0得,x≥-3且x≠0,所以当x≥-3且x≠0时,
+x-2在实数范围内有意义.
8.(2025河北廊坊月考,★★☆)若 在实数范围内有意义,
则x的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )
D
解析 根据题意知,x+2≥0且x+3≠0,∴x≥-2.
∴x的取值范围在数轴上表示为 .故选D.
9.(2025浙江杭州模拟,★★☆)如果代数式 + 有意义,
那么在平面直角坐标系中,点P(m,n)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
解析 ∵代数式 + 有意义,
∴-m≥0且mn>0,∴m<0,n<0,
∴点P(m,n)在第三象限.故选C.
10.(2025贵州遵义月考,★★☆)【问题情境】若实数x,y满足y
= + -6,求x+y的值.下面是小明的部分解题过程:
解:若要使该式子有意义,则需要同时满足x-2≥0,2-x≥0,…
…
(1)请你将解题过程补充完整.
【解决问题】
(2)已知a,b分别为等腰三角形的两条边长,且a,b满足b=5+
+ ,求该三角形的周长.
解析 (1)补全过程如下:则x≥2且x≤2,∴x=2,
∴y= + -6=-6,∴x+y=2+(-6)=-4.
(2)若要使该式子有意义,则需要同时满足a-3≥0,6-2a≥0,则a
≥3且a≤3,∴a=3,
∴b=5+ + =5,
∵a,b分别为等腰三角形的两条边长,
∴当腰长为3时,3+3>5,∴该三角形的周长为3+3+5=11;
当腰长为5时,3+5>5,∴该三角形的周长为3+5+5=13.
综上所述,该三角形的周长为11或13.(共15张PPT)
第十九章 二次根式
第2课时 二次根式的除法
19.2 二次根式的乘法与除法
二次根式的除法法则
1.(2025新疆喀什期中)计算 ÷ 的结果是( )
A.4 B.3 C.2 D.
C
解析 ÷ = =2.故选C.
2.(2025山东济宁期中)墨迹覆盖了等式 ÷■= 中的除
数,则被墨水覆盖住的数是 ( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
B
解析 ∵ ÷ = = =3 ,
∴“■”处的数为3 ,故选B.
3.(2025河北廊坊期中)计算6 ÷ ÷2 的结果是
( )
A.18 B.9 C.18 D.9
B
解析 原式=6×3× =9 .故选B.
4.【学科特色·教材变式】设长方形的面积为S,相邻的两边长
分别为a,b,若S=4 ,a= ,则b=__________.
4
解析 因为S=ab,所以b=S÷a=4 ÷ =4 .
5.计算:
(1) .(2) ÷ .(3) ÷ .
(4) ÷ (a>0,b>0).
解析 (1) = × = × = ×4=2.
(2) ÷ = = = .
(3) ÷ =- =- =- =- =-3 .
(4) ÷ = = = =3a.
二次根式除法法则的逆用
6.下列计算错误的是 ( )
A. = B. =
C. = D. =
C
解析 当被开方数是带分数时,要先化成假分数,再化简.
= = ,故选项C中的计算错误.
7.(2025云南保山模拟)等式 = 成立的条件是
( )
A.x<3 B.x≤3 C.0≤x<3 D.x≥0
C
解析 由题意,可得x≥0且3-x>0,
解得0≤x<3.故选C.
8.【学科特色·教材变式】(2025山东青岛二中月考)化简:
(1) =_______.(2) =_______.
(3) =_______.(4) =_______.
解析 (1) = = .
(2) = = .
(3) = = = .
(4) = = = .
9.(2025浙江杭州月考,★★☆)在解决问题“已知 =a,
=b,用含a,b的代数式表示 ”时,甲的结果是 ,乙的结果
是 ,丙的结果是 ,则下列说法正确的是 ( )
A.只有甲对 B.只有乙、丙对
C.只有甲、乙对 D.甲、乙、丙都对
D
解析 ∵ =a, =b,
∴ = = = = = ,故甲的结果正
确;
= =7 =7 =7× = ,故乙的结果正确;
= = = = × = × = ,故丙的结
果正确.故选D.
10.(2025四川眉山月考改编,★★☆)已知xy<0,化简x 的正
确结果为_______.
-
解析 ∵xy<0,∴x>0,y<0或x<0,y>0,
又∵x 有意义,∴x<0,y>0,
∴x =x· =x· =x· =- .
11.(2025广西贵港月考,★★☆)先将 ÷ 化简,然
后选择一个你喜欢的x的值代入求值.
解析 原式= · = · = ·
= .
∵x-2>0,且x>0,∴x>2,当x=4时,原式= = =2.(答案不唯一,
但x的取值要大于2)(共17张PPT)
第十九章 二次根式
第1课时 二次根式的加减
19.3 二次根式的加法与减法
可以合并的二次根式
1.(2025山西朔州期中)下列式子中,能与 合并的是( )
A. B.2 C.3 D.
B
解析 =3,不能与 合并;2 能与 合并;3 不能与
合并; 不能与 合并.故选B.
2.(2025河南许昌期中)已知二次根式 与 是可以合并
的二次根式,则x的值可以是________________.(只需写出一
个)
0(答案不唯一)
解析 ∵ =2 ,二次根式 与 是可以合并的二次
根式,
∴x+3可以为3,即x可以取0.
故答案为0.(答案不唯一)
二次根式的加减
3.(2025山东德州五中期中)下列计算正确的是 ( )
A. - = B. - =
C.3+2 =5 D. + =
B
解析 ∵ - =2 - = ,∴B选项的计算正确.故选B.
4.计算:
(1) - - =__________.
(2) -( - )=____________.
3 -
3
解析 (1) - = - ×2 - ×2 = -
+3 =3 .
(2)原式= + - +2 =3 - .
5.(2025湖北随州模拟)若a,b为有理数且 - + =a+b ,
则a+b=_______.
-
解析 ∵ - + =2-3 + =2- =a+b ,
∴a=2,b=- ,∴a+b=- .
6.【新考向·新定义题】对于任意两个不相等的实数x,y,定义
运算“Ω”为若xy,则xΩy=x-y,其他运算符
号的意义不变,按照上述定义,计算( Ω )-( Ω )的值
为__________.
2
解析 ∵ < ,∴ Ω = + =2 +3 =5 ,∵
> ,∴ Ω = - =4 - =3 ,∴( Ω )-
( Ω )=5 -3 =2 .
7.如图,中国结内包含两个全等的正方形,若两个大正方形的
面积均为98 cm2,重叠部分的小正方形面积为72 cm2,则BE的
长为_________cm.
解析 ∵两个大正方形的面积均为98 cm2,
∴AB=BC= cm.
∵小正方形的面积为72 cm2,∴A'E=CE= cm.
∴BE=BC-CE= - =7 -6 = (cm).
8.(2025陕西西安月考,★★☆)若两个最简二次根式3
与2 可以合并,则合并后的结果是 ( )
A.3 B.5 C.5 D.5
D
解析 由题意,得2m+5=4m-4,解得m=4.5,
∴3 +2 =3 +2 =3 +2 =
5 .
故选D.
9.(2025湖北孝感期中,★★☆)已知a,b,c满足(a- )2+ +|c
-3 |=0.以a,b,c为边长的三角形的周长为____________.
5 +5
解析 由题意得a- =0,b-5=0,c-3 =0,
∴a= =2 ,b=5,c=3 ,
∴以a,b,c为边长的三角形的周长为2 +3 +5=5 +5.
10.【新考向·开放性试题】(2025山西晋中模拟,★★☆)化简:
m +8m -2m2 ,并任取一个m的值使其结果为正整
数.
解析 m +8m -2m2
= m·3 +8m· -2m2·
= m +4m -2m
= m ,
当m=4时,原式= × =28.(答案不唯一)
11.(2025广东深圳模拟,★★☆)嘉琪准备完成题目“计算:
-■ - ”时,发现“■”处的数字印刷不清
楚.
(1)他把“■”处的数字猜成4,请你计算 -4 -
的结果.
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到这个题的正确答案是3 .”
通过计算说明题目中的“■”处的数字是几.
解析 (1) -4 -
=4 -4× -3× +4×
=3 + .
(2)设“■”处的数字为a,则
-a -
=4 -a× -3× +4×
=4 - - +2
=3 + ,
∵这个题的正确答案是3 .
∴2- =0,解得a=8,即“■”处的数字是8.
