北师大版八年级下学期数学 5.3 分式方程知识点 练习试题（共3课时，含答案）

分式以及分式方程第3节：分式方程
知识点
（1）分母中含有未知数的方程叫分式方程。
（2）若方程的解使原分式方程的分母为零，把这样的解叫做原方程的增根，此方程无解。
注意：解分式方程不能忘了检验。
第1 课时　分式方程的概念
1.下列方程:①=2,②=3,③－=,④+=5,⑤+1=0,其中是关于x的分式方程的是______.(填序号)
2.用A,B两种货车运输化工原料,A货车比B货车每小时多运输15吨,A货车运输450吨化工原料所用时间与B货车运输300吨化工原料所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x吨,则可列方程为 ( )
A.= 　　　 B.= C.= 　　　 D.=
3.某社区植树60棵,实际种植人数是原计划人数的2倍,实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵.若设原计划种植人数为x,则下列方程正确的是 ( )
A.－=3 B.－=3 C.=2× D.=2×
4.马拉松不仅是一项体育赛事,更是融合历史、健康、文化等多维度的社会活动.在一次马拉松比赛中,某时刻,甲落后乙30米,已知乙的平均速度为2.8米/秒,若甲计划跑300米刚好追上乙,则甲接下来的平均速度为多少米/秒 设甲接下来的平均速度为x米/秒,则下列方程正确的是 ( )
A.=　　　 B.= C.=－30　　　 D.－30=
5.斐波那奇编写的《计算之书》中有如下问题:一组人平分10元钱,每人分得若干;若再加上6人,平分40元钱,则第二次每人所得钱数与第一次相同,求第一次分钱的人数.设第一次分钱的人数为x,则可列方程为 ( )
A.= 　　　 B.= C.= 　　　 D.=
6.小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车,燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同,且每百千米的耗油费比耗电费约多50元,求纯电汽车每百千米的耗电费.设纯电汽车每百千米的耗电费为x元,可列分式方程为________.
7.东营是一个富饶美丽的地方,是黄河入海之地.它有中国暖温带保存最完整、最广阔、最年轻的湿地生态系统,其中著名的黄河三角洲湿地被人们誉为“鸟类的国际机场”.九年级(1)班的学生周末从学校出发至黄河入海口研学,两地相距180千米.一部分学生乘慢车先行,出发30分钟后,另一部分学生乘快车前往,结果同时到达.已知快车的速度是慢车速度的1.2倍,若设慢车的速度为x千米/时,则可列方程为________________.
第2 课时　分式方程的解法
1.将分式方程=去分母后得到的整式方程为 ( )
A.x+1=2x　　　 B.x+2=1 C.1=2x　　　 D.x=2(x+1)
2.已知x=3是关于x的方程=的解,则m= ( )
A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4
3.若关于x的方程－3=有增根,则增根为 ( )
A.x=6　　 B.x=5　　 C.x=4　　 D.x=3
4.若与的值互为相反数,则x的值是 ( )
A.3　　 B.5　　 C.7　　 D.11
5.方程+=0的解为__________.
6.当x=_____时,分式的值为2.
7.小颖在解分式方程－=2时,△处被污染看不清,但正确答案是此方程无解.请你帮小颖解答一下△处的数应是_________.
8.解分式方程.
(1)－=0. (2)－1=.
(3)+1=. (4)+=.
9.解方程:=－2.
下面是小丽同学解这个方程的部分过程.
解:=－2,…第一步……
(1)小丽第二步在方程的两边同乘2(x-2),这样做的依据是__________(填序号).
①等式的基本性质;②分式的基本性质;③因式分解.
(2)请将解方程的过程补充完整.
10.关于x的分式方程=1的解是正数,则a的取值范围是 ( )
A.a<-1且a≠-2　　　 B.a≠1 C.a>-1且a≠0　　　 D.a<-1
11.若关于x的分式方程－1=有增根,则实数a的值为 ( )
A.-2　　 B.-1　　 C.0　　 D.1
12.若关于x的分式方程=-1无解,则a的值为 ( )
A.2　　 B.3　　 C.0或2　　 D.-1或3
13.定义一种新运算,对于任意非零实数a,b满足a*b=+,若2x*(x+1)=,则x的值为_______.
14.照相机成像应用了一个重要原理,即=+(v≠f),其中f表示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离.一架照相机f已固定,那么就要依靠调整u,v来使成像清晰.
(1)用焦距f=40 mm的相机,拍摄到镜头的距离u=0.2 m的花卉,成像清晰,那么拍摄时胶片到镜头的距离v是多少
(2)当u=2v时,求的值.
15.新定义:如果关于x的分式方程+1=b的解是x=,那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b]称为关于x的分式方程+1=b的一个“关联数对”.例如:a=2,b=-5时,关于x的分式方程+1=-5的解是x=－,==－,所以数对[2,-5]是关于x的分式方程+1=b的一个“关联数对”.
(1)下列数对是关于x的分式方程+1=b的“关联数对”的是_______.(填字母)
A.[3,-5]　　　 B.[1,-2]
(2)若数对[－n，－+n]是关于x的分式方程+1=b的“关联数对”,求n的值.
(3)若数对[2m+k,-k] m≠±,且m≠0,k≠－1 是关于x的分式方程+1=b的“关联数对”,且关于x的方程kx-2m+1=x有整数解,求整数m的值.
第3 课时　分式方程的应用
1.赛龙舟是端午节的重要习俗之一,蕴含着团结、协作和勇往直前的精神,某地龙舟赛的赛程为500米,A,B两队在同一起点同时出发,已知A队的平均速度是B队的1.25倍,A队比B队提前25秒到达终点,若设B队的平均速度是x米/秒,可列方程为 ( )
A.－=25　　 B.－=25 C.－= 　　 D. －=
2.已知在一定温度下,某气体对气缸壁所产生的压强p(kPa)与气缸内气体的体积V(mL)满足关系式p=.对气缸顶部的活塞加压,当气缸内气体的体积减小20%时,测得气体对气缸壁所产生的压强增加15 kPa.设加压前气缸内气体的体积为x ml,则可列方程为 ( )
A.－=15　　　 B.－=15 C.－=15　　　 D.－=15
3.为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为 ( )
A.200　　 B.300　　 C.400　　 D.500
4.我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题:“今有绫、罗共三丈,各值钱八百九十六文,只绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何 ”其大意是:现在有绫布和罗布共3丈(1丈=10尺),已知绫布和罗布分别出售均能收入896文,一尺绫布和一尺罗布一共价值120文.问绫布有多少尺,罗布有多少尺 设绫布有x尺,则可列方程为__________________.
5.去年暑假,小张和小李主动帮刘大爷掰玉米,他们分别掰了36筐和30筐,两人劳动时间相同,小张平均每小时比小李多掰2筐,请问小李平均每小时掰多少筐玉米
6.某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签,已知甲款书签的价格是乙款书签价格的倍,且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书签的单价.
7.一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用的时间与以该航速沿江逆流航行80 km所用的时间相等,则江水的流速为( )
A.5 km/h　　 B.6 km/h　　 C.7 km/h　　 D.8 km/h
8.随着快递业务的增加,某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具,公司投递快件的能力由每周3 000件提高到4 200件,平均每人每周比原来多投递快件80件,若快递公司的快递员人数不变,则原来平均每人每周投递快件 ( )
A.200件　　 B.210件　　 C.250件　　 D.260件
9.小明在长为180米的跑道上训练机器人,机器人匀速行走1分钟后,提速到原来速度的1.5倍继续匀速行走,结果比原计划提前40秒到达终点.
(1)求该机器人走完全程所花的时间.
(2)若A机器人一半路程以a米/分钟的速度行走,另一半路程以b米/分钟的速度行走,B机器人用一半时间以a米/分钟的速度行走,另一半时间以b米/分钟的速度行走,试比较A,B两机器人走完全程所花时间的长短.
10.下面是小轩学习“分式方程的应用”后所记录的学习笔记,请认真阅读并解答相应的问题.
(1)解法一所列方程中的x表示_______,解法二所列方程中的x表示_______.(填序号)
①甲种图书的单价;②乙种图书的单价;③甲种图书购买的本数.
(2)请选择一种解法,求甲、乙两种图书的单价.
(3)若该校用不超过2 500元购买甲、乙两种图书共60本,求甲种图书最多能购买的数量.
答案
第1 课时　分式方程的概念
1.⑤
2.C
3.A
4.A
5.A
6.=
7.－=
第2 课时　分式方程的解法
1.A
2.C
3.B
4.D
5.x=2
6.－4
7.1
8.解析 (1)方程两边同乘(x+1)(x-1),得3(x-1)-(x+1)=0,
去括号,得3x-3-x-1=0,解得x=2,
检验:当x=2时,(x+1)(x-1)≠0,
∴原分式方程的解为x=2.
(2)方程两边同乘2x-1,得x-2-2x+1=-1,
解得x=0,检验:当x=0时,2x-1≠0,
∴原分式方程的解为x=0.
(3)方程两边同乘2(x+1),得2x+2(x+1)=5,
去括号,得2x+2x+2=5,解得x=.
检验:当x=时,2(x+1)≠0.
∴原分式方程的解为x=.
(4)方程两边同乘(x+2)(x-2),
得x-2+4x=2(x+2),
去括号,得x-2+4x=2x+4,解得x=2.
检验:当x=2时,(x+2)(x-2)=0.
∴原分式方程无解
9.解析 (1)①.
(2)方程的两边同乘2(x-2),
得2(5x-4)=-x-1-4(x-2),
整理,得10x-8=-5x+7,解得x=1,
检验:当x=1时,2(x-2)≠0,故原分式方程的解为x=1.
10.A
11.B
12.D
13.3
14.解析 (1)0.2 m=200 mm,由题意可得=+,解得v=50,经检验,v=50是分式方程的解且符合实际,
∴拍摄时胶片到镜头的距离v是50 mm.
当u=2v时, =+,
∴=,
∴=.
15.解析 (1)当a=3,b=-5时,分式方程为+1=-5,解得x=－,
∵=－,
∴数对[3,-5]是关于x的分式方程+1=b的“关联数对”.
当a=1,b=-2时,分式方程为+1=-2,解得x=－,
∵=－1≠－,
∴数对[1,-2]不是关于x的分式方程+1=b的“关联数对”.故答案为A.
(2)∵数对[－n，－+n]是关于x的分式方程+1=b的“关联数对”,
∴a=－n,b=－+n,
∴方程为+1=－+n,解得x=,
∵==－2,
∴=-2,解得n=3.
（3）∵数对[2m+k,-k]是关于x的分式方程+1=b的“关联数对”,
∴a=2m+k,b=-k,
∴+1=-k,
∵k≠-1,m≠0,m≠±,
∴x=－,
∵==,
∴=－,当m≠－时,
解得k=－,将k=－代入kx-2m+1=x,整理,得(2m-1)2x=(1-2m)(1+2m),已知m≠,解上述方程得x=－=-1－,∵关于x的方程kx-2m+1=x有整数解,且m为整数,
∴2m-1=±1或±2,即2m-1=-1或2m-1=1或2m-1=-2或2m-1=2,解得m=0(舍去)或m=1或m=－(舍去)或m=(舍去),
∴m=1.
第3 课时　分式方程的应用
1.A
2.A
3.B
4. +=120
5.解析　设小李平均每小时掰x筐玉米,则小张平均每小时掰(x+2)筐玉米,
根据题意得=,解得x=10,
经检验,x=10是所列方程的解,且符合题意.
答:小李平均每小时掰10筐玉米.
6.解析　设乙款书签的单价是x元,则甲款书签的单价是x元,
根据题意得－=3,解得x=16,
经检验,x=16是所列方程的解,且符合题意,
∴x=×16=20.
答:甲款书签的单价是20元,乙款书签的单价是16元.
7.D
8.A
9.解析 (1)设机器人原来行走的速度为x米/分钟,
根据题意得=+,解得x=60,
经检验,x=60为原方程的解,且符合题意,
∴1+=1+=,
∴机器人走完全程所花的时间为 分钟.
(2)A机器人所需时间tA=+=,B机器人所需时间tB==,
∴tA-tB=－=,
当a=b时,tA-tB=0,即两机器人走完全程所花的时间相同.
当a≠b时,tA-tB>0,即A机器人走完全程所花的时间较长.
10.解析 (1)由甲种图书数量=乙种图书数量可得=中的x表示甲种图书的单价,由甲种图书单价-乙种图书单价=20元可得－=20中的x表示甲种图书购买的本数.故答案为①;③.
(2)选择解法一:设甲种图书的单价为x元,则乙种图书的单价为(x-20)元,
根据题意列方程为=，解得x=50,
经检验,x=50是原方程的解,且符合题意,
∴x-20=50-20=30.
答:甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元.
选择解法二:设甲种图书购买的本数为x,
根据题意列方程为－=20,解得x=40,
经检验,x=40是原方程的解,且符合题意,
∴=50,=30.
答:甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元.
(3)设甲种图书购买的数量为m本,则乙种图书购买的数量为(60-m)本,
根据题意,得50m+30(60-m)≤2 500,
整理,得20m≤700,解得m≤35.
∵m为整数,∴m最大可取35.
答:甲种图书最多能购买35本.