北师大版八年级下学期数学 6.1 平行四边形的性质知识点 练习试题（共2课时，含答案）

平行四边形第1节：平行四边形的性质
知识点
（1）两组对边平分平行的四边形是平行四边形。
（2）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，但平行四边形不是轴对称图形。
（3）平行四边形的对边相等。
（4）平行四边形的对角相等。
（5）平行四边形的对角线互相平分。
（6）一组对边平行，一组对边不平行的四边形叫作梯形，平行的两边称为梯形的底，通常较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底，不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形。
（7）等腰梯形的面积=（上底+下底）·高
（8）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形。
练习题
第1 课时　平行四边形的定义及其边、角性质
1.如图所示,A'B'∥AB,B'C'∥BC,C'A'∥CA,图中有_________个平行四边形.
2.下列命题是真命题的是 ( )
A.平行四边形是轴对称图形,但不是中心对称图形
B.平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形
C.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形
D.平行四边形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形
3.如图,在 ABCD中,AD=4,AB=2,则 ABCD的周长是 ( )
A.6　　 B.8　　 C.12　　 D.16
4.如图,在平行四边形ABCD中,CE⊥AB,垂足为E.若∠BCE=32°,则∠D的大小为 ( )
A.68°　　　 B.58° C.48°　　　 D.32
5.如图,在平行四边形ABCD中,AB=13,AD=5,AC⊥BC,则平行四边形ABCD的面积为 ( )
A.12　　 B.30　　 C.60　　 D.65
6.如图,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC于点E.若∠C=130°,则∠BAE的度数为___________.

7.若平行四边形中相邻的两个内角的度数比为1∶5,则其中较小内角的度数是__________.
8.如图,在 ABCD中,E,F是BD上的两点且BE=DF,连接AE,CF.求证:∠AED=∠CFB.
9.如图,点E是平行四边形ABCD的边CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F,AD=5.求证:△ADE≌△FCE,并求BF的长.
10.嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图所示的四块,为配到一块与原来相同的平行四边形模具,她需要带的两块碎片的编号是 ( )
A.①②　　　 B.①④ C.②③　　　 D.②④
11.如图,平行四边形ABCD的对角线交点是原点.若A(-1,2),则点C的坐标是 ( )

A.(2,-1)　　　 B.(-2,1) C.(1,-2)　　　 D.(-1,-2)
12.如图,在 ABCD中,点E在边BC上,AB=BE,作DF⊥AE于点F,若∠ADF=54°,则∠B的度数为___________.
13.如图,在 ABCD中,点E是BC的中点,且BC=2AB=4,当∠B=60°时,DE的长为__________.
14.如图,在 ABCD中,∠BCD的平分线交AB于点E,若AD=2,则BE=________.
15.如图,在 ABCD中,AB=6,BC=9,∠ABC的平分线交AD于点E,∠BCD的平分线交AD于点F,则线段EF的长是________.
16.如图,在 ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点E,交CD的延长线于点F,若AB=5 cm,BC=9 cm,则DE+DF=___________.
17.如图,在 ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,交AC于点E,G.
(1)求证:BE=DG,BE∥DG.
(2)过点E作EF⊥AB于点F,已知EF=3, ABCD的周长为28,求 ABCD的面积.
第2 课时　平行四边形对角线的性质及梯形
1.如图,O是 ABCD对角线的交点,△OAD的周长为50,BD=32,AC=24,则BC的长为 ( )
A.18　　 B.20　　 C.22　　 D.26
2.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB⊥AC.若AC=6,BD=10,则AB的长为 ( )
A.4　　 B.5　　 C.6　　 D.7
3.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若S△AOB=2,则 ABCD的面积为________.
4.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于O点.E,F分别是OB,OD的中点,连接AF,CE.求证:AF=CE.
5.如图, ABCD与 EBFD的顶点A,E,F,C在同一条直线上.求证:AE=CF.
6.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,CE恰好平分∠BCD,若AD=3,BC=4,则CD的长是 ( )

A.5　　 B.6　　 C.7　　 D.8
7.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,AB⊥AC,求∠B的度数.
8.如图,EF过平行四边形ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F,若平行四边形ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为 ( )
A.12　　 B.10　　 C.13　　 D.14
9.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E.若AE=4,DE=2,DC=2,则AC的长为 ( )
A.6　　 B.5　　 C.4 　　 D.4
10.如图,在 ABCD中,AB⊥AC,点E是AD的中点,作EF⊥BD于点F,若AB=4,AC=6,则EF的长为________.
11.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为E,BE=(AD+BC).求证:AB=CD.
12.定义:如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍,那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”.如图, ABCD为“倍线平行四边形”(BD>AC),对角线AC,BD相交于点O,AC⊥AB,AB=2,求BC的长.
13.如图1,平行四边形ABCD是某游乐园主题区域的平面示意图,A,B,C,D分别是该区域的入口,两条主干道AC,BD交于点O,请你帮助该游乐园的管理人员解决以下问题.
(1)若AB=1.3 km,AC=2 km,BD=2.6 km,你能判断△AOB的形状吗 请说明理由.
(2)在(1)的条件下,如图2,游乐园管理人员为提升游客游览体验,准备修建三条绿道AN,MN,CM,其中点M在OB上,点N在OD上,且BM=ON(点M与点O,B不重合),并计划在△AON与△COM两块绿地区域种植花期长久的马鞭草,求种植马鞭草区域的面积.
(3)若将该区域扩大,如图3,此时AC⊥BD,AC=6 km,BD=5 km,BM=ON,修建(2)中的绿道每千米费用为4万元,请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值.
答案
第1 课时　平行四边形的定义及其边、角性质
1.3
2.B
3.C
4.B
5.C
6.40°
7.30°
8.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥CB,∴∠ADE=∠CBF,
∵BE=DF,∴BE+EF=DF+EF,∴BF=DE,
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF,∴∠AED=∠CFB.
9.解析　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,BC=AD=5,∴∠D=∠FCE,
∵E是CD的中点,∴DE=CE,
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE,∴FC=AD=5,
∴BF=BC+FC=5+5=10.
10.D
11.C
12.解析　∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°,
∵∠ADF=54°,∴∠DAE=90°-∠ADF=36°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,
∴∠BEA=∠DAE=36°,
∵AB=BE,∴∠BAE=∠BEA=36°,
∴∠B=180°-∠BAE-∠BEA=108°.故答案为108°.
13.2
14.2
15.3
16.8cm
17.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∠ABC=∠ADC,
∴∠BAE=∠DCG,∠ABC=∠ADC,
∵BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,
∴∠ABE=∠ABC,∠CDG=∠ADC,
∴∠ABE=∠CDG,
在△ABE和△CDG中,
∴△ABE≌△CDG(ASA),
∴BE=DG,∠AEB=∠CGD,
∴BE∥DG.
(2)如图,过点E作EH⊥BC于点H,
∵BE平分∠ABC,EH⊥BC于点H,EF⊥AB于点F,
∴EH=EF=3,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=CB,
∵ ABCD的周长为28,
∴2AB+2CB=28,
∴AB+CB=14,
∴S△ABC=S△ABE+S△CBE=AB·EF+CB·EH=×3(AB+CB)
=×3×14
=21,
易知S△CDA=S△ABC=21,
∴S ABCD=S△CDA+S△ABC=21+21=42.
第2 课时　平行四边形对角线的性质及梯形
1.C
2.A
3.8
4.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点
O,∴OA=OC,OD=OB.
∵F,E分别是OD,OB的中点,
∴OF=OD,OE=OB,
∴OF=OE,在△AOF和△COE中,OA=OC,∠AOF=∠COE,OF=OE,
∴△AOF≌△COE,
∴AF=CE.
5.证明　如图,连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD与四边形EBFD都是平行四边形,
∴AO=CO,
EO=FO,
∴AO-EO=CO-FO,
∴AE=CF.
6.C
7.解析　设∠CAD=x°,∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AD∥BC,AB=CD,∠B=∠BCD,
∴∠CAD=∠ACB=x°,
∵AB=AD,
∴AD=CD,
∴∠ACD=∠CAD=x°,
∴∠B=∠BCD=2x°.
在△ABC中,AB⊥AC,
∴∠ACB+∠B=90°,
∴x+2x=90,解得x=30,
∴∠B=2×30°=60°.
8.A
9.C
10.1.2
11.证明　如图,过点D作DF∥AB交BC于点F,
∵AD∥BC,DF∥AB,
∴四边形ABFD为平行四边形,
∴BF=AD,AB=DF,
∵BE=(AD+BC),BE=BF+EF,
∴BF+EF=(BF+BF+EF+EC),
∴EF=EC,
∵DE⊥BC,
∴DE垂直平分FC,
∴DF=DC,
∴AB=CD.
12.解析　∵ ABCD是“倍线平行四边形”,
∴BD=3AC,OB=BD,OA=AC,
∴BO=3AO,
∵AC⊥AB,
∴∠BAO=90°,
∴OB2-AO2=AB2,
∴9AO2-AO2=(2)2,
∴OA=1(舍负),
∴AC=2,
∴BC==2 .
13.解析 (1)△AOB是等腰三角形.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,AC=2 km,BD=2.6 km,
∴AO=CO=1 km,BO=DO=1.3 km,
∴AB=BO=1.3 km,
∴△AOB是等腰三角形.
（2）如图1,过点B作BH⊥AO于H,连接AM,
∵AB=BO,BH⊥AO,
∴AH=OH=0.5 km,
∴BH==1.2 km,
∴S△ABO=AO·BH=×1×1.2=0.6(km2),
∵BM=ON,AO=CO,
∴S△ABM=S△AON,S△AOM=S△COM,∴S△AON+S△COM=S△ABM+S△AOM=S△AOB=0.6 km2.
(3)如图2,过点N作NE∥CM,过点C作CE∥MN交NE于点E,连接AE,
∵AC=6 km,BD=5 km,
∴AO=CO=3 km,BO=DO=2.5 km,
∵BM=ON,
∴MN=ON+OM=BM+OM=OB=2.5 km,
∴当AN+CM的值最小时,AN+MN+CM的值最小,
∵MN∥CE,NE∥CM,
∴四边形MNEC是平行四边形,
∴MC=NE,MN=EC=2.5 km,
∴AN+CM=AN+NE≥AE,
∴当A,N,E三点共线时,AN+CM的值最小,
∵AC⊥BD,MN∥CE,
∴CE⊥AC,
∴AE==(km),
∴AN+MN+CM的最小值为+=9(km),
∴投入资金的最小值为4×9=36(万元).