/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
专题5：三角形
三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，所以在中考中考察的几率比较大.在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等.特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大.直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.
考点1 三角形边角问题
三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
【解题技巧】
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．
甲：，路程为．
乙：，路程为．
丙：，路程为．
下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．11
3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________．
5．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________．
6．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，．
(1)若是等腰三角形，则_______；
(2)已知，．
①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在中，，求的长．
考点2 全等三角形的性质与判定
三种常见的全等类形
(1)平移型
(2)翻折型
(3)旋转型
全等三角形的证明思路
辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两
个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质
或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，
通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
1．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：．
2．（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：．
3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：．
4．（2024·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：．
5．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证：
(1)；
(2)．
6．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、．
求证：
(1)；
(2)．
考点3 等腰（边）三角形的性质与判定
等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
6. 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=
7. 底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）.
8. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等.
2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.
等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形.
2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
4. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
5. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
6. 等边三角形面积的求解方法：S正三角形=
1．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______．
3．（2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________．
4．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则_________．
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为__________．
6．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，．
(1)求证：；
(2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）．
考点4 直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余.
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为_______m．
5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是______．
6．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为__________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
专题5：三角形
三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，所以在中考中考察的几率比较大.在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等.特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大.直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.
考点1 三角形边角问题
三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
【解题技巧】
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．
甲：，路程为．
乙：，路程为．
丙：，路程为．
下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较．
设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出．
【详解】解：设的长度为a，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
同理可得，和是等边三角形，设的边长为m，
∴，，
∴；
如图所示，延长与，交于点I（如图），
同理可得，是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
综上所述，．
故选：D．
2．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．11
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5，
∴，
即，
故选B．
3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的翻折问题，垂直的定义，等腰三角形的判定与性质以及直角三角形中正弦值的求解，在翻折过程中由边长和角度不变，可求解翻折前后的角度是解决本题的关键．根据是由翻折得到可求解的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解与的度数，由“等角对等边”可判断A选项，求解的度数可判断B选项；假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项．
【详解】解：C选项，在中，，，
∴，
∵是由翻折得到，
∴，故C选项错误；
A选项，∵是由翻折得到，，
∴，
∴，
∴，
∵是由翻折得到，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，故A选项正确；
B选项，∵，
即，
∴与不垂直，故B错误；
D选项，过点G作交于点M，如图，
假设，
∵是由翻折得到，
∴，
∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，即，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
又∵，与已知不符，故D选项错误．
故选：A．
4．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________．
【答案】10
【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可．
【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形，
周长为：，
故答案为：10．
5．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________．
【答案】
【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解．
【详解】解：∵正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，．
(1)若是等腰三角形，则_______；
(2)已知，．
①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在中，，求的长．
【答案】(1)
(2)①四边形是矩形，理由见解析；②
【分析】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可；
（2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等腰三角形，，，
∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意；
当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上，，
故答案为：；
（2）解：①四边形是矩形，理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
②过点作于点，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
考点2 全等三角形的性质与判定
三种常见的全等类形
(1)平移型
(2)翻折型
(3)旋转型
全等三角形的证明思路
辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两
个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质
或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，
通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
1．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，即：，
在和中，
，
∴．
2．（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：．
【答案】证明见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等．
【详解】证明：在和中，
，
∴．
3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明．
【详解】解：，
，
，
，即，
在和中，
，
．
4．（2024·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．利用证明即可．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
5．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质；
（1）证明是的中位线，即可得到，进而得到，然后利用证明三角形全等；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可．
【详解】（1）证明：∵，分别为边，的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
6．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1） 结合矩形的性质，根据“边角边”证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得，结合，可得．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
又，
，
．
考点3 等腰（边）三角形的性质与判定
等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则6. 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=
7. 底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）.
8. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等.
2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.
等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形.
2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
4. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
5. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
6. 等边三角形面积的求解方法：S正三角形=
1．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形的外角性质，得：，
∴．
故选：C．
2．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为，
∴另一个底角的度数也为，
∴它的顶角的度数是；
故答案为：．
3．（2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________．
【答案】7
【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分3为腰长和7为腰长，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当3为腰长时，第三边长为3，，不能构成三角形，不符合题意；
当7为腰长时，第三边长为7，，能构成三角形，符合题意；
故第三边长为7；
故答案为：7．
4．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则_________．
【答案】/
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求．
【详解】解：过点作垂线交于点，即
，即是的垂直平分线，
∵，
在同一线上，
，
故答案为：．
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为__________．
【答案】或
【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，分为锐角和钝角两种情况讨论求解：①当为锐角时求出，，由折叠得，可求得，过点作于点，证明，可求出，可求出，根据可得结论；②当为钝角时，过点作于点，得出，可求出，，从而可得．
【详解】解：当为锐角时，如图，
根据题意得，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，即，解得，
∴，，
由折叠得，
∴；
∴，
过点作于点，则，
∴，
∴，即，
∴
∴，
∴；
当为钝角时，如图，
过点作于点，则，
∴，
同（1）可得，，
∴，
同理可得
∴；
综上所述，的面积为或．
故答案为：或．
6．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，．
(1)求证：；
(2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键．
（1）先利用得出，再利用证明即可；
（2）利用根据角平分线的作图方法作图即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：如图，即为所求作．
考点4 直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余.
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
1．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中与互余的角是，共有4个，
故选：C．
2．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得．
【详解】在中，，是中点，
∴，
∵，
∴，
∵沿方向向右平移至，
∴，
故选：B．
3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
设，则：，
∵平分，，
∴点到的距离相等均为的长，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
故选：A．
4．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为_______m．
【答案】4
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，
∵E是斜梁的中点，
∴．
故答案为：4．
5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是______．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据求解即可得．
【详解】解：∵在中，点，分别是边，的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：6．
6．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，由勾股定理可得，由垂线段最短可得，当时，有最小值，则此时点D为的中点，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得．
【详解】解：∵在等腰中，，，
∴，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，
∵，
∴当时，点D为的中点，
∴此时，
故答案为：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
