广西南宁市武鸣区武鸣高级中学等校2026年高考模拟信息卷数学试题（含答案）

2026 普通高等学校招生全国统一考试·模拟信息卷(三) 数学
全卷满分 150 分 考试时间120 分钟
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2. 请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在 草稿纸试题卷上答题无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则( )
A. B. C. D.
2. 若 ( ， 为虚数单位)为纯虚数，则 ( )
A. B. C. D.
3. 若用半径为 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的体积为( )
A. B. C. D.
4. 若 是两个互相垂直的单位向量,则 与 的夹角为( )
A. B. C. 90° D. 120°
5. 已知定义域为 的函数 满足 ，则 ( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 如图所示，在 间有四个焊接点 1,2,3,4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为( )
A. 9 B. 11 C. 13 D. 15
7. 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,上顶点为 ,点 在 上, 若 周长的最大值为 8，则 的焦距为( )
A. 3 B. C. 1 D. 2
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则( )
A. 在 上单调递增 B.
C. 的最大值为 D. 有唯一零点
10. 设函数 ,则下列结论正确的有( )
A. 和 有相同的值域
B. 和 有相同的最小正周期
C. 的零点都是 的极值点
D. 的零点都是 的极值点
11. 已知随机变量 的分布列如下:
1 2 3 ...
...
若数列 是等差数列,则 ( )
A. 若 为奇数,则 B.
C. 若数列 单调递增,则 D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线被以点 为圆心， 为半径的圆截得的弦长为 ，则双曲线 的离心率为_____.
14. 设函数 ,其中 ,若 ,求 的最小值_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率 与土壤的湿度 的相关数据如下表:
40 45 50 55 60
50 56 64 72 83
(1)求 关于 的相关系数 (精确到 0.001 )，并判断它们是否具有较强的线性相关关系？ (如果 ,则认为 与 的线性相关性很强)
(2)求 关于 的经验回归方程，并预测当土壤的湿度为 70% 时，种子的发芽率 的值. 参考公式及数据: 对于一组数据 ,经验回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ,相关系数 .
16. 已知公比 的等比数列 ,其前 项和为 ,且 .
(1)求 的通项公式；
(2) 求 .
17. 已知圆 ,抛物线 的准线与圆 相切,过抛物线焦点 的动直线 与抛物线交于 两点,线段 的中点为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)当 轴时,求直线 的斜率；
(3)求证: 为定值，并求出该定值.
18. 在平面四边形 中, ,将 沿 翻折至 ,其中 为动点.
(1)设 ,
(i) 证明: 平面 ;
(ii) 求三棱锥 的外接球体积;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
19. 已知函数 .
(1)若 为正实数， 时，都有 ，求 的最大值.
(2)证明: ；
(3)若函数 的最小值为 ，证明:方程 有唯一的实数根.
1.
略
2.
略
3. B
根据已知求出圆锥筒的高和底面半径, 应用圆锥的体积公式求体积即可.
由题设,所得圆锥的底面周长为 ,易知圆锥的底面半径为 , 母线长为 ,
所以圆锥的高为 ,故圆锥筒的体积为 .
故选: B
4. C
根据数量积计算 可得结果.
由题可知: ,
所以 ,
所以 .
故选:
5. A
由题意可得函数 为奇函数,由 代入计算可得 ,由 代入计算可得 ,计算即可求解.
因为函数 定义域为 且 ,
所以函数 是奇函数且 ,
即 ,所以 ,
又 ,所以 ,所以 ,即 .
故选: A.
6. C
按照焊接点脱落的个数分类讨论, 运用分类加法计数原理求解即可.
按照焊接点脱落的个数分类讨论,若脱落 1 个,则有 共 2 种情况, 若脱落 2 个,则有 共 6 种情况,
若脱落 3 个,则有 共 4 种情况,
若脱落 4 个,则有 共 1 种情况,
由分类加法计数原理,情况种数共有 种.
故选: C.
7. C
先利用正弦定理求出 ,再利用余弦定理结合正弦定理得: ,再利用平方和公式,结合三角函数的符号求 的值.
因为 ,
由正弦定理得: .
由余弦定理可得: ,即 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,
所以 .
故选: C.
8.
略
9. ABD
求导判断函数的单调性可知 ; 利用 结合函数单调性可知 ; 由单调性可知 ; 判断 与 特点可知 .
由 ,得 ,当 时, 在 上单调递增, A 正确.
当 时, 在 上单调递减,所以 ,
因为 ,所以 正确.
易得 在 处取得最大值,最大值为 错误.
令 ,得 ,函数 与函数 两函数的图象有唯一交点,所以 有唯一零点, 正确.
故选: ABD
10. AC
分别分析 和 的值域、最小正周期、零点和极值点, 即可进行判断,其中,在对 进行分析时,可用诱导公式进行变换.
对于 的值域为 的值域为 ,选项 正确;
对于 的最小正周期 的最小正周期 ,选项 B 错误;
对于 ,令 ,解得 的极值点为 ,
的零点都是 的极值点,选项 正确;
对于 的极值点为 ,
令 ,解得 , 的零点不是 的极值点,选项 错误.
故选: AC.
11. ACD
根据分布列的性质可得 ,结合等差数列的前 项和公式,可得 . 结合等差数列的性质,可判断 的真假; 由 可判断 的真假; 结合数列的单调性,可判断 的真假; 结合数列求和,可判断 的真假.
由数列 是等差数列且 ,得 ,所以 ,
对于 ,当 为奇数时, ,故 正确;
对于 ,由 得 ,故选项 错误;
对于 ,若数列 单调递增,则 可得 ,故 ,故选项 正确;
对于 D: 由 ,其中 ,
所以 ,
因为 ,
所以
,故选项 D 正确.
故选: ACD
12.
略
13. 2
由题意得 ,再结合 即可求解.
渐近线方程为 ,
点 到渐近线的距离为 ,
即 ,所以 .
故答案为: 2 .
14. 5
构建 ,根据题意分析可知 的零点与 的零点相同,进而可得 ,结合基本不等式即可得结果.
令 ,
因为 的零点为 ,
可知 的零点为 的零点为 ,
又因为 ,则 ,
若 ,即 ,则 ,
可知 的零点与 的零点相同,
则 ,可得 ,
则 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 的最小值为 5 .
故答案为:5.
15. (1) 与 具有较强的线性相关关系
(2) 关于 的回归直线方程为 ，种子的发芽率 的预测值为 97.8
(1) 由题意,计算 ,由相关系数得公式运算判断即可;
(2)根据题意，求出 ，得到回归直线方程，代入值可求得预测值.
(1) 由题 , 所以 关于 的相关系数 , 所以 与 具有较强的线性相关关系.
(2) ，则 ， 所以 关于 的回归直线方程为 ,
当 时, ,
所以当土壤的湿度为 70% 时,种子的发芽率 的预测值为 97.8 .
16. (1)
(2)
略
17. (1)求出圆心坐标和圆 的半径，根据抛物线的准线与圆 相切求出 的值,即可得出抛物线的方程;
(2)根据题意，设直线 的方程为 ，设点 、 、 ，将直线 的方程与抛物线方程联立,列出韦达定理,求出点 的坐标,根据 轴可求出 的值,由此可得出直线 的斜率;
(3)利用抛物线的焦点弦长公式以及平面内两点间的距离公式可证得结论成立.
(1) 由题意可得,圆 的圆心为 ,半径为 5,且抛物线的准线为 , 与圆 详相切,
则 ,因为 ,解得 ,故抛物线的方程为 .
(2)设点 、 、 ，
显然直线 的斜率不为零,
设直线 的方程为 ,
联立 可得 ,则 ,
由韦达定理可得 ,
则 ,即点 ,
因为 轴,则 ,解得 , 因此,直线 的斜率为 .
(3)由抛物线焦点弦长公式可得 ,
由(2)可得 ,
所以 .
18. (1)(i)结合已知和勾股定理，根据线面垂直的判定定理可证线面垂直；
(ii) 根据三棱锥的特征确定球心, 然后利用球的性质求出球的半径, 代入球的体积公式求解即可.
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量表示出直线 与平面 所成角的正弦值，再结合换元法和基本不等式可求其最大值.
(1)(i)在 中， ， ，所以 .
因为 ， ，所以 ，所以 .
又因为 , 平面 ,
所以 平面 .
(ii) 因为 平面 ,且 为正三角形,作下图
设三棱锥 的外接球的球心为 ,连结 ,延长交球面于 ,
过 作 交平面 于 ,
则 为直角三角形，
所以 为斜边 的中点， 平面 ， 为 的外接圆的直径.
所以, 为 的中位线, 为小圆圆心,则 为 的中点,
则 ,则 ,
则球的半径 ,
所以三棱锥 的外接球体积为 .
(2)如图，建立以 为原点的空间直角坐标系，设二面角 的平面角为 ， 则 .
所以 ,平面 的法向量为 .
设直线 与平面 所成角为 ,
则 .
设 ,
设 ,所以 ,
(当且仅当 ,即 时取等号),即 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
19. (1) 由题可得 ,则函数 在区间 上单调递增,且 ,再分情况讨论当 时,当 时的单调情况,从而可求解;
(2)由(1)可得当 时， ，从而可得令 时， ,再利用累加法即可证明;
(3)先利用导数求出即 ，然要证方程 有唯一的实数解即证只要证方程 有唯一的实数解,设 ,再利用导数证明只有一个零点,从而可求解.
(1) a 为正实数, 令 ,则 恒成立,
函数 在区间 上单调递增,且 .
① 当 时， ，所以函数 在 上单调递减，此时 ,符合题意.
② 当 时， ， ，由零点存在定理， 时,有 ,即函数 在 上递减,
在 递增,所以当 时,有 ,此时不符合.
综上所述,正实数 的最大值为 1 .
(2)由(1)知,当 时, ,
令 时,有 ,即 ,
累加得, .
(3)因为 ，所以 ，即函数 在 上递增， 又 , 由零点存在定理, 时,有 ,即 ,
因此 ,而函数 在 上递减,在 上递增,
所以 ,
由于对勾函数 在 单调递减,
故 ,则 ,因此 ,
即 .
要证方程 有唯一的实数解,
只要证方程 有唯一的实数解.
设 ,则 ,
所以函数 在 上递增,又 ,
由零点存在定理, 时, ,即 ,
因此 ,又 ,
设 ,则函数 在 上递增,
于是 ,
又 ,故 ,
而函数 在 上递减，在 上递增，
, 即函数 有唯一零点 ,故方程 有唯一的实数解.