山东省青岛第五十八中学2026届高三第二次模拟考试数学试题（含答案）

绝密★启用前
2026 年青岛五十八中高三第二次模拟考试 数学
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写 在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 满足 ，则 ( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
3. 已知复数 满足 ( 为虚数单位),则 ( )
A. B. C. 2 D.
4. 设 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 在等比数列 中， ， ，则 ( )
A. -24 B. -8 C. 8 D. 24
6. 设函数 的定义域为 ,且 是奇函数, 是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
7. 已知双曲线 的右焦点为 ,若双曲线 的离心率为 , 则双曲线 的渐近线与圆 的位置关系是
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定
8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究. 设 为整数,若 和 被 除得的余数相同,则称 和 对模 同余,记为 . 若 ,则 的值可以是( )
A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”。为备战 2024 年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为:9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的( )
A. 众数为 12 B. 平均数为 14
C. 中位数为 14.5 D. 第 85 百分位数为16
10. 已知函数 ,则 ( )
A. 为周期函数
B. 存在 ,使得 的图象关于 对称
C. 在区间 上单调递减
D. 的最大值为 2
11. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，上下顶点分别为 ，左顶点为 是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点, 则下列四点可能共圆的是 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 的展开式中 的系数是_____.
13. 已知 为坐标原点,点 为椭圆 的右焦点,点 在 上, 的中点为 ，则 的离心率为_____.
14. 已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为2 正三角形， 分别是 的中点， ，则球 的体积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 如图,在直三棱柱 中, 为 的中点, .
(1)证明: .
(2)求二面角 的余弦值.
16. 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的面积.
17. 已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的极大值；
( 2 )若函数 ，讨论函数 在 上零点的个数.
18. 设 为坐标原点,抛物线 与 的焦点分别为 为线段 的中点. 点 在 上 在第一象限 ,点 在 上, .
(1)求曲线 的方程；
(2)设直线 的方程为 ，求直线 的斜率；
(3)若直线 与 的斜率之积为 -2，求四边形 面积的最小值.
19. 有 张编号分别为 1 到 的卡片,横向随机排列.对于这 张卡片,初始状态下卡片标号从左到右为 ,记此时的卡片排列为 . 对这 张卡片的排列进行如下三步操作:1.取出最左边的卡片，记其标号为 ；2.剩余卡片中，标号小于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空),标号大于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空)；3. 对这 张卡片重新排列,得到新排列: . 每进行完上述三步操作, 称为一次“完整操作”.
(1)若初始排列为 ，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；
(2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 的顺序排列的概率；
(3)记初始排列中有 个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列,当 时,证明: .
1. D
利用交集运算即可.
由 ,
故选: D.
2. B
利用平面向量数量积的运算律, 数量积的坐标表示求解作答.
向量 满足 ,
所以 .
故选: B
3. D
应用复数除法求复数,再由 即可得.
由 ,则 .
故选: D
4. D
将已知条件两边平方,利用同角三角函数基本关系和二倍角公式即可求出 的值.
,
.
故选: D.
5. A
设等比数列 的公比为 ,
因为 ,
所以 ,解得 .
6. C
利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可.
易知选项 ABCD 中的函数定义域即为 R ;
因为 是奇函数, 是偶函数,所以 ,
对于 ,故 是奇函数,即 错误;
对于 ,故 是偶函数,即 错误;
对于 ,故 是奇函数,即 正确;
对于 ,故 是偶函数,即 错误; 故选: C.
7. B
根据双曲线的几何性质, 求得双曲线的渐近线的方程, 再利用直线与圆的位置关系的判定方法, 即可得到直线与圆的位置关系, 得到答案.
据题意,双曲线的离心率为 ,即 ,可得 .
又因为 ,所以 ,所以双曲线 的渐近线方程为 .
圆 的圆心为 ,半径为 .
点 到渐近线的距离 .
又因为 ,所以双曲线 的渐近线与圆 相交. 故选 B.
8. D
首先根据二项式定理化简 ,再判断余数,结合选项,即可求解.
,
所以 除以 9 的余数是 8,
选项中只有 2024 除以 9 余 8 .
故选: D
9. BC
由众数, 中位数, 平均数, 第百分位数的定义求出即可.
成绩从小到大排列为:8,9,12,12,13,16,16,16,18,20.
A: 出现次数最多的数为 16 , 故 A 错误;
B: 平均数 ,故 B 正确;
C: 中位数为: ,故 C 正确;
D: 第 85 百分位数为第 ,即第 9 位,为 18,故 D 错误;
故选: BC.
10.
证明 ,结合周期函数定义判断 ,证明函数 为奇函数,结合周期性证明若函数 存在对称轴,则 为其对称轴,推出矛盾,判断 ,利用导数判断指定区间函数的单调性,判断 ,结合正弦函数性质可得 ,进一步说明等号不成立,判断 .
由于 ,故 , 所以 为 的周期, 正确;
函数 的定义域为 ,定义域关于原点对称,
所以 为奇函数,
假设 图象关于 对称,则函数 为偶函数,
所以 ,故 ,
所以 ,又 ,所以 为函数 的对称轴,
所以 ,
但 ,
所以 ,矛盾,所以 图象不关于 对称, B 错误;
因为 ,化简整理得 ,
当 时, ,
函数 的图象为开口向上,对称轴为 的抛物线,
若 ,则 ,
所以当 时, ,
故 在区间 上单调递减, 正确;
因为 ,当且仅当 时取等号,
但当 ,即 时, ,所以 不正确.
故选: AC.
11. ACD
结合椭圆的几何性质,可判定 正确, 不正确; 设圆的方程为
,将 代入求得 ,结合
,求得圆的方程,可判定 正确; 取点 ,求得过点 圆的方程, 可判定 D 正确.
由椭圆 ,可得 ,则 ,
对于 ,由 ,则以 为直径的圆与椭圆有 4 个交点,所以 正确;
对于 ,以 为直径的圆与椭圆仅有两个交点,所以 错误;
对于 ,设圆的方程为 ,
将 代入得 ,解得 ,
则圆的方程为 ,
设 ,则 ,则 ,
两式相加,可得 ,两式相减,可得 ,
联立方程组,可得 ,
又因为 ,联立可得 ,则 ,
将其代入 ，可得 ，
即 ,此时方程有解,所以 正确;
对于 ,设直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ,
因为 关于原点对称,则 中垂线的方程为 ,
因为 ,可得线段 中垂线的方程为 ,
联立方程组 ,可得 ,可得 ,
因为 关于原点对称,不等式 ,则 ,
联立方程组 ,可得 ,即圆心 ,
若 ,即 ,
可得 ,即 ,
即 ,即 ,所以 ,解得 ,
所以当 的斜率为 ,可得 ,
此时 四点共圆,所以 正确.
故选: ACD.
12. 10
利用二项展开式的通项公式可求 的系数.
的展开式的通项公式为 ,
的展开式的通项公式为 ,
令 ,则 的展开式中 的系数为 ,
的展开式中 的系数为 ,
故 的展开式中 的系数为 10,
故答案为: 10 .
13.
先结合图形求得 ,代入椭圆方程构造齐次式,然后可解.
由椭圆的对称性可知, 垂直于 轴,
又 ,所以 ,
所以 为等腰直角三角形，故 ，
所以 ,即 ,
所以 ,整理得 ,
解得 或 (舍去),
故 . 故答案为:
14.
由已知设出 ，分别在 中和在 中运用余弦定理表示 ,得到关于 与 的关系式,再在 中运用勾股定理得到关于 与 的又一关系式,联立可解得 ,从而分析出正三棱锥是 两两垂直的正三棱锥,所以三棱锥 的外接球就是以 为棱的正方体的外接球,再通过正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求出球的半径, 再求出球的体积.
在 中，设 ， ， ， ， ，
因为点 ,点 分别是 的中点,所以 ,
在 中， ，在 中， ，
整理得 ,
因为 是边长为 2 的正三角形，所以 ，
又因为 ，所以 ，由 ，解得 ，
所以 .
又因为 是边长为 2 的正三角形,所以 ,所以 ,
所以 两两垂直,
则球 为以 为棱的正方体的外接球,
则外接球直径为 ,
所以球 的体积为 ,
故答案为 .
15.(1)在直三棱柱 中， 平面 平面 ，
所以 ,
又由题可知, ,
平面
且 ,
所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 .
(2)以 为坐标原点， 分别为 轴建系如图，
由 ,可得 ,
则有 ,
设平面 的一个方向量为 ,
所以 ,即 ,令 ,则 ,
所以 ,
因为 平面 ,所以 为平面 的一个法向量,
所以， ，
即二面角 的余弦值等于 .
16.
(2)2
(1) 根据数量积的定义及正弦定理得 . 再结合三角形的性质 建立方程求解即可;
(2)根据正弦定理及面积公式直接求解即可.
(1)在 中有 .
即 .
因为 ,由正弦定理可得 ,即 .
同理 ,
由正弦定理可得 ,即 .
在 中有 .
解得 .
由 ,得: .
(2) 面积 ，代入 ，整理得: .
由 (1) 知 ,即 .
中,由正弦定理可得 ,即 .
所以 .
17.(1) 求出导数,列表分析 随 变化情况,根据单调性和极值定义求解;
(2)化简得 ,令 ,得 或 , 分 或 讨论判断方程 解得个数得解.
(1) 当 时, ,
则 ,
令 ,得 或 或 ,
因此,当 变化时, 的变化情况如下表所示: 所以当 时, 有极大值,极大值为 .
- 0 + 0 - 0 +
单调递减 单调递增 单调递减 单调递增
(2)
当 时,由 ,得 或 ,
其中 ,则 ,
当 或 时,方程 无解,此时函数 只有一个零点 ,
当 时,方程 只有一解为 ,此时函数 只有一个零点,
当 时,方程 有两个不同的解且均不等于 ,此时函数 有三个零点,
当 时,方程 有一解且不等于 ,此时函数 有两个零点.
综上,当 或 时,函数 只有一个零点,
当 时,函数 有三个零点,
当 时,函数 有两个零点.
18.
(2)1
(3)3√2
(1) 求出 的坐标,即可得到 的坐标,从而求出抛物线方程;
(2)设 ，联立直线与抛物线方程，求出 ， 的坐标,再由向量的关系求出 的坐标,即可得解;
(3)推导出 ，同理 ，即可得到 ，设 ， 联立直线与抛物线方程,消元、列出韦达定理,即可求出 过定点坐标,再求出 的最小值.
(1) 抛物线 的焦点为 ,
由 为线段 的中点,可得 ,
所以曲线 的方程为 ;
(2)设 ， 联立 ,消去 整理得 ,解得 , 则 ,
因为 ,则 ,
因为 ,则 ,所以 ,
所以 ,即 ,直线 的斜率为 ;
(3)因为 ， 所以 ,
因为 ,所以
因为 ,
所以 ,
由 代入①得 ,
由 得 ,
因为 ,所以 ,所以 ,同理 ,
所以 且 ,
所以 ,因为 ,所以 ,
所以 ,得 ,即 ,
设 ,联立 消去 ,得 ,
所以 ,所以 ,则 ,所以 过定点 ,
则 ,
当且仅当 ,即 时取等号,所以 , 所以四边形 面积的最小值为 .
19.
(1)根据题意，逐步对初始数列进行完整操作；
(2)分析初始排列的特点，计算出满足条件的排列种数与总排列数的比值;
(3)分析初始排列经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列的情况，通过对
排列的构造和分析证明不等式.
(1)第一次完整操作:
初始排列为 ,最左边的卡片标号 ,
可得标号小于 的卡片 ,
标号大于 的卡片
重新排列得到新排列 ,
第二次完整操作:
最左边的卡片标号 ,
可得标号小于 的卡片 ,
标号大于 的卡片 ,
重新排列得到新排列 .
连续经过两次完整操作后得到的新排列 .
(2)要使初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 的顺序排列，必须满足:
,即原排列中小于 的 个元素已经是递增顺序;
,即原排列中大于 的 个元素已经是递增顺序;
首元素为 时,剩余 个位置由已经各自内部有序的 和 穿插而成,
确定 中元素的位置可确定整个排列,共有 种排法,
又因为 可以取遍 中的任意整数,
所以满足条件的初始排列总数为 .
又因为 个元素的全排列总数为 ,
所以初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 的顺序排列的概率 .
(3)考虑初始排列 经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列,
对于 张卡片的情况,我们可以将其分为两种情况来考虑:
情况一:初始排列中 在最左边，
此时,去掉 后,剩下的 张卡片的排列经过连续若干次完整操作后能得到
的顺序排列,这样的排列种数为 种,
情况二: 初始排列中 不在最左边,
设 在第 个位置 ,那么前 个位置的卡片经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列,后 个位置的卡片经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列,
对于前 个位置的卡片,其排列种数为 种; 对于后 个位置的卡片,其排列种数为 种,
因为 可以取 2 到 这 个值,所以这种情况下的排列种数为 种, 由上述分析可知,
因为 (当且仅当 时取等号),
所以
因此,当 时, 得证