江苏省盐城市滨海县八滩中学2025-2026学年高三二模模拟数学试卷（含答案）

江苏省盐城市 2025-2026 学年度春学期高三年级二模模拟试卷 数学试题
时间:120 分钟 总分:150 分
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ，则 ( )
A. 1 B. C. 2 D. 4
2. 设集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 4 个不全相等的正整数的平均数与中位数都是 2 ，则这组数据的极差为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 是坐标原点，若 的面积为 ，则 ( )
A. 2 B. 3
C. D. 4
5. 国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为2m，4m，侧棱长为3m的正四棱台，则该台基的体积约为( )
A. B. C. D.
6. 已知正项等比数列 满足 ,若存在两项 ,使得 ,则 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 . 过 向一条渐近线作垂线,垂足为 . 若 ,直线 的斜率为 ,则双曲线的方程为 ( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数 有唯一零点,则
A. B. C. D. 1
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题的选项中, 有多项 符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若函数 既有极大值也有极小值,则 ( ).
A. B. C. D.
10. 在数列 中, 是数列 的前 项和,则 ( )
A. 数列 是等比数列
B. 数列 是等差数列
C. D.
11. 在 ，已知 ，则下列说法正确的是( )
A. 可以等于 2
B. “ ”是“ 为直角三角形”的必要条件
C. 若 ,则
D. 若 ,则 的取值范围是
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若函数 为偶函数，则 _____.
13. 已知函数 ,如图, 是直线 与曲线 的两个交点,若 ，则 _____.
14. 已知向量 满足 ，则 取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 在定义域上单调递增，求实数 的取值范围.
16. 在 中, 的对边分别为 ,且满足 . (1)求 ；
(2)若四边形 内接于圆 ，求 面积的最大值.
17. 如图,在四棱锥 中,底面四边形 是正方形, 底面 是线段 的中点， 在线段 上， .
(1)证明: 平面 ；
(2)G在线段 上， 与 所成的角为45°，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 一对夫妻计划进行为期 60 天的自驾游. 已知两人均能驾驶车辆，且约定:① 在任意一天的旅途中，全天只由其中一人驾车，另一人休息；②若前一天由丈夫驾车，则下一天继续由丈夫驾车的概率为 ,由妻子驾车的概率为 ;③妻子不能连续两天驾车. 已知第一天夫妻双方驾车的概率均为 .
(1)在刚开始的三天中，妻子驾车天数的概率分布列和数学期望；
(2)设在第 天时，由丈夫驾车的概率为 ，求数列 的通项公式.
19. 已知椭圆 经过点 分别为 的左、右焦点,离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 的角平分线所在的直线 的方程；
(3)过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，记直线 ， 的斜率分别为 ,是否存在常数 ,使得 为定值 若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由.
1. A
根据复数除法运算、共轭复数、复数的模等知识求得正确答案.
,
所以 .
故选: A
2. B
根据交集、并集、补集的知识来求得正确答案.
依题意, ,
所以 或 , A 选项错误;
选项正确;
或
或 选项错误.
选项错误.
故选: B
3. C
根据平均数、中位数的知识来确定正确答案.
设这四个不全相等的正整数为 ,
不妨设 ,
则 ,
所以 ,
由于 是正整数,所以 ,
(若 ,则 ,与已知 4 个数不全相等矛盾) 所以极差为 .
故选: C
4. D
由焦点坐标得出 ,从而得出抛物线方程,设出 的坐标,结合三角形面积公式计算出坐标值, 进而利用两点间距离公式求解.
,即 抛物线的方程为 .
设 ,则 的面积为:
,解得 ,将 代入 ,解得 ,
.
故答案为: D.
5. A
根据题意先求出棱台的高, 然后利用棱台体积公式可求解.
由题意作出正四棱台图象, 如下图所示:
为正四棱台，
连接 得 ,
过 作 ,过 作 ,
所以 ,
在直角三角形 中, ,
所以正四棱台的高 ,正四棱台上、下底面积为 和 , 所以体积 .
故选: A.
6. B
先由条件可得公比和 ,进而再用基本不等式可得最小值.
设正项等比数列的公比为 ,通项为 .
由 ,代入通项得: 两边同除以 ,
整理得: ,解得正根 (负根舍去).
再由 得: ,整理得: 化为指数形式:
即 ,得: .
等号成立条件: 且 ,解得 ,均为正整数,符合条件.
因此 的最小值为 2 .
7. D
先由点到直线的距离公式求出 ,设 ,由 得到 , . 再由三角形的面积公式得到 ,从而得到 ,则可得到 ,解出 ,代入双曲线的方程即可得到答案.
如图,
因为 ,不妨设渐近线方程为 ,即 ,
所以 ,
所以 .
设 ,则 ,所以 ,所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,解得 ,
所以双曲线的方程为
故选: D
8. C
因为 ,设 ,则 ,因为 ,所以函数 为偶函数,若函数 有唯一零点,则函数 有唯一零点,根据偶函数的性质可知,只有当 时, 才满足题意,即 是函数 的唯一零点,所以 ,解得 . 故选: C.
9. BCD
求出函数 的导数 ,由已知可得 在 上有两个变号零点,转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
函数 的定义域为 ,求导得
因为函数 既有极大值也有极小值,则函数 在 上有两个变号零点,而 , 因此方程 有两个不等的正根 ,
于是 ,即有 ,显然 ,即 , A 错
误, BCD 正确.
故选: BCD
10. ABD
根据已知递推式得 ,结合等比、等差数列的定义判断 A、
B; 应用分组求和及等差、等比数列前 项和公式求和判断 .
由 ,得 ,
则数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，A 正确.
根据等比数列的通项公式得 ,即 ,则 , 所以数列 是首项为 ,公差为 1 的等差数列, 正确.
根据等差数列的通项公式得 ,即 ,
所以 , C 错误.
由 ,
正确.
故选: ABD
11. AB
利用三角恒等变换,把 化成 的形式,当 为直角三角形时,计算此时 的值可判断 ； 把 代入,解方程可判断 ; 把 代入,求 关于 的三角函数值域即可.
在 中, ,
,
,
,
,
对于 ,当 时, ,故 ,
此时 , 正确;
对于 ,若 为直角三角形,不妨设 ,则 ,
故 ,
因此 “ ” 是 “ 为直角三角形” 的必要条件, 正确;
对于 ,当 时, ,
, ,
所以 ,所以 错误;
对于 ,当 时, ,
由于 ,故 ,
从而 , D 错误.
12. 1
由函数 为偶函数 函数 为奇函数,
13.
先根据两个交点和 得出 ,根据点的坐标求出解析式代入即可.
由 可得 或 ,
两个相邻交点的横坐标的差为: ,
因为 ,所以 ,即 .
函数为 ,由图象过点 ,且该点在递减区间,
所以 ,解得 ,故 .
14.
先通过 换元,再根据向量线性运算的几何意义及椭圆的定义及几何性质可得.
设 ,则 ,代入 得 ,
根据向量的几何意义知,向量 表示的点到 表示的点和 的距离和为常数 8,
根据椭圆的定义知向量 表示的点在以长轴为 ，焦距为 的椭圆上,
所以 ,所以 表示椭圆上的点到椭圆中心的距离,
由椭圆的几何性质可知 ,即 ,如图:
所以 取值范围是 .
15. (1)
(2)
(1) 求出 ,切点为 ,利用点斜式直线方程求出切线方程即可;
( 2 )转化为 在 上恒成立，参变分离，令 ，利用导数法求解 的最小值,即可求得 的取值范围.
(1) 当 时, ,
则 ,故 ,
所以曲线 在 处的切线方程为: ,即 .
(2)由题意得 ,
若函数 在 上单调递增,则 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,所以 ,
令 ,
当 时, ,当 时, ,
故 的单调递增区间为 的单调递减区间为 ,
所以函数 的最小值为 ,所以 .
16.
(2)
(1) 根据正弦定理进行边换角,再结合三角恒等变换即可得到 ,则得到 的大小;
(2)法一:利用正弦定理和三角恒等变换得 ，再利用正弦型函数值性质即可求出最值; 法二: 利用余弦定理得 ,再利用基本不等式和三角形面积公式即可得到最值; 法三: 利用几何法, 找到面积最大时得情况, 求出高的最大值即可得到面积最大值.
(1) 因为 ,
所以 ,
又因为在 中,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,即 .
因为 ,所以 .
(2)法一:在 中， ， ， 所以 ,
设 ,则 .
所以 ,所以 ,
因为 ,
所以
所以
,
所以当 ,即 时 面积的最大值为 .
法二: 在 中,已知 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,(等号当 时取得).
所以 面积的最大值为 .
法三: 在四边形 的外接圆内考虑,因为 ,则 ,
则 的外接圆直径为 ,
是圆 上动点,所以 面积取最大值时高最大,即 点到 距离最大,
此时最大距离为圆心 到 距离加半径 2,
在直角三角形 中可知,圆心 到 距离为 ,所以高的最大值为 , 所以 面积的最大值为 .
17(1) 根据题意,证得 和 ,得到 平面 ,证得 ,再由 ,得到 ,证得 平面 ,得到 ,进而证得 平面 ;
(2)以点 为原点，建立空间直角坐标系，设正方形 的边长为2，设 ，根据 与 所成的角为 ,求得 ,得到 ,求得平面 和平面 的法向量分别为 和 ,结合向量的夹角公式,即可求解.
(1)证明: 因为 底面 ,且 底面 ,所以 ,
又因为 为正方形,可得 ,
因为 ,且 平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 ,
因为 ,且 为 的中点,所以 ,
又因为 ,且 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,
又因为 ,且 平面 ,所以 平面 .
(2)解:以点 为原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系,如图所示,设正方形 的边长为 2,可得 ,
可得 ,
则
因为 在线段 上,设 ,其中 ,
则 ,
因为 与 所成的角为 ,可得 ,
解得 ,所以 ,所以 ,可得 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,可得 ,所以 ,
因为 平面 ,所以平面 的一个法向量为 ,
设平面 与平面 所成的二面角为 ,其中 ,
可得 ,即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.(1)设妻子驾车天数为 ,写出 的可能取值,根据题意求出相对应的概率,列出分布列,根据期望公式求出结果即可;
(2)由于丈夫驾车的概率与前一天驾车的对象有关系,不妨假设第 天,丈夫驾车的概率为 ,则妻子驾车的概率为 ,得到关于 的递推关系式,构造等比数列,求出等比数列通项公式即可求得 通项公式.
(1)解:设妻子驾车天数为 ，则 的可能取值为:0,1,2,
由题意可知: ,
所以 的分布列如下表所示:
0 1 2
1 32 19 32 3 8
所以 ;
(2)假设第 天，丈夫驾车的概率为 ，则妻子驾车的概率为 ，
此时第 天时,由丈夫驾车的概率为 ,
即 ,则有 ,
所以 ,因为 ,
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列,
即 ,故 .
19.
(2)
(3)存在，
(1) 根据离心率得 的关系,然后将点 的坐标代入椭圆方程,联立方程即可求解;
(2)由角平分线的性质角平分线上的点到两边的距离相等可求解;
(3)设出直线方程并联立椭圆方程，根据韦达定理表示出 化简求解.
(1) 由 可得 ,
将点 代入椭圆方程得 ,
联立可得 ,故椭圆方程为 ;
(2)由(1)知 ，则直线 方程为 .
直线 方程为 .
设角平分线 上的一点为 ,则 ,
得 或 ,
因为角平分线 的斜率为正,所以直线 方程为 ;
(3)设直线 方程为 ,
联立 得 ,
设 ,则 ,
则
代入 ,整理得 ,
所以当 时,使得 恒为定值 -1 .