湖北襄阳市第四中学2026届高三下学期数学综合测试（含答案）

襄阳四中 2026 届高三下学期数学综合测试
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项符合题目要求.
1. 若集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 设 为单位向量,且 ,则 ( )
A. 1 B. C. D. 2
3. 若椭圆 的长轴长是短轴长的、 倍,则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
4. 在等差数列 中, 为其前 项和. 若 ,则 ( )
A. 420 B. 210 C. 198 D. 105
5. 若 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 已知二项式 的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大,则展开式中 项的系数为( )
A. -160 B. -80 C. 80 D. 160
7. 三棱锥 满足 ，且 ， ，则三棱锥 外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8. 有一组样本数据 ,其中 . 已知 , 设函数 . 则 的最小值为 ( )
A. 19 B. 100 C. 190 D. 200
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项
中, 有多项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得 0 分.
9. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列正确的有( )
A.
B.
C. 是函数 的一条对称轴
D. 函数 的图象可以由函数 的图象向左平移 个单位得到
10. 已知直线 与抛物线 交于 两点， 为抛物线的焦点， 过点 作 的垂线交直线 于点 ,则()
A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则
11. 已知 是首项为 ,公比为 的递增等比数列,其前 项和为 . 若对任意的 ,总存在 ,使得 ,则称 是 “可分等比数列”,则 ( )
A. 不是 “可分等比数列”
B. 是 “可分等比数列”
C. 若 是 “可分等比数列”，则
D. 若 是 “可分等比数列”，则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. _____.
13. 已知坐标原点到直线 的距离为1，则 的最大值为_____.
14. 已知函数 的两个极值点为 ，记 ， . 点 在 的图象上，满足 均垂直于 轴，设点 的横坐标为 .
(1) _____.
(2)若四边形 为菱形,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤.
15. 在 中,内角 的对边分别是 .
(1)求A的值；
(2)若 ，求 的面积.
16. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 ; 当输入的问题表达不清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为 . 已知输入的问题表达不清晰的概率为 . 每次回答是否被采纳相互独立.
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了 3 个问题，设 表示智能客服的回答被采纳的次数，求 的分布列及期望、方差;
(3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了 10 个问题，智能客服的回答每被采纳 1 次计 10 分,不采纳则不计分. 记被采纳的回答数的总得分为 ,若 ,则推广该系统. 试推断该系统是否会得到推广, 请说明理由,
17. 如图 1,在边长为 2 的正方形 中, 分别为线段 的中点,现将四边形 CDFE 折起至 MNFE，得到三棱柱 ，如图 2 所示，记二面角 的平面角为 .
图1
图2
(1)若 时,求三棱柱 的体积;
(2)若 为线段 上一点，满足 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
18. 已知定义在 上的函数 .
( 1 )求曲线 在点 处的切线方程；
(2) 设 为函数 的图象上不同于原点 的三个不同的点,其中 .
①证明: ；
②定义 两点间的距离如下: ，
证明: .
19. 已知双曲线 的焦点 到一条渐近线的距离为 1,且点 在双曲线 上.
(1)求双曲线 的方程；
(2)斜率为 -1 的直线与双曲线 的右支交于 、 两点(异于点 ).
① 求直线 、 的斜率之和；
②若 的外接圆圆心为 ，试问在 轴上是否存在定点 使 为定值，若存在,求出 点坐标,若不存在,请说明理由.
1. A
根据集合交集的概念运算即可求解.
因为集合 ,集合 ,
所以 .
故选: A.
2. B
根据向量模的关系得 ,再计算 即可.
因为 为单位向量,所以 ,
因为 ,平方得 ,即 ,
所以 ,即 .
故选: B.
3. C
由题意可求出 之间的关系,结合离心率 ,即可求得答案.
设椭圆的长轴长为 ,短轴长为 ,
由于椭圆 的长轴长是短轴长的 倍,故 ,即 ,
故椭圆 的离心率为 .
4. B
根据等差数列的通项公式,求出首项和公差,按照等差数列前 项和的公式,求得 .
设等差数列 的公差为 ,则 ,
整理得 ,解得 .
所以 .
5. C
先把 转化为同底数的对数形式,再利用对数函数的单调性,分别比较 、 的大小.
,而 ,且 是单调增函数,
所以 ,即 ;
,而 ,且 是单调增函数,
所以 ,即 ;
综上可得 .
故选:
6. A
依题意可确定 ,再结合通项公式即可求解.
因为二项式 的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大,
所以 ,所以 的展开式的通项为 ,
令 ,得 ,故 ,
故展开式中 的系数为 -160 .
7. D
先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径, 结合侧棱相等得到高, 再利用球心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径, 最后计算表面积.
设点 在底面 的投影为 ,因为 ,
所以点 是 的外心，则 ，且 底面 ，球心 在 上，
由正弦定理得 外接圆的直径径 ，解得半径 ，
即 ,则 ,
设 ,外接圆半径为 ,则 ,
则 ,且 ,
则 ,解得 ,则外接球半径 ,
则三棱锥 外接球的表面积为 .
8. C
将所求函数式展开, 代入已知条件, 转化成二次函数求最小值问题.
因为 , 而 ,则得 . 所以当 时, .
9. ABD
根据函数 的图象,利用三角函数的性质,求得 ,结合三角函数的对称性, 以及图象变换, 逐项判断, 即可求解.
,由函数 的图象,可得 ,可得 ,所以 ,所以 A 正确;
B,由 ,可得 ,可得 ,
解得 ,因为 ,所以 ,所以 正确;
,由 ,令 ,可得 ,
令 ,可得 ,所以 不是函数 的一条对称轴,所以 错误;
D,将函数 的图象向左平移 个单位,
可得 ,所以 D 正确.
10. BCD
设 ,联立方程组求得 , ,结合向量的数量积的运算公式,可得判定 错误, 正确; 由抛物线的定义和 ,得到 ,代入求得 的坐标,结合斜率公式,可判定 正确; 求得 ,列出方程,求得 的值,可判定 正确.
对于 ,设 ,可得
联立方程组 ,整理得 ,
可得 ,且 ,
则 ,
所以 ,所以 A 错误;
对于 ,由抛物线 的焦点为 ,直线 的斜率为 ,
则过 且垂直于 的直线的斜率为 ,其方程为 ,
令 ,可得 ,所以 ,则 ,
所以 ,
又由 ,
所以 ,所以 正确;
对于 ,由抛物线的定义,可得 ,
因为 ,可得 ,即 ,
因为 ,代入可得 ,即 ,
解得 或 (舍去),则 ,
将 代入抛物线的方程，可得 或 (舍去)，所以 ，
此时直线 的斜率为 ,所以 正确;
对于 ,由抛物线 的焦点为 且 ,
可得 ,
因为 ,可得 ,整理得 ,解得 ,
又因为 ,所以 ,所以 正确.
11. ACD
对于 ,取 ,则不存在 ,使得 ; 对于 ,取 ,则不存在 ,使得 ; 对于 根据“可分等比数列”的定义,用反证法证明即可.
对于 ,若 ,则 ,
因为 ,所以 ,
又因为 ,
所以不存在正整数 ,使得 ,
所以 不是 “可分等比数列”,所以选项 正确:
对于 ,若 ,则 ,
所以 ,当 时, ,
所以不存在正整数 ,使得 ,所以 不是 “ 可分等比数列 “,所以选项 B 错误;
对于 ,若 ,则有 ,所以不存在正整数 ,使得 ,所以
因为 是递增等比数列,所以 ,所以 ,
因为 ,所以 ,即 .
下证: 对任意 ,当且仅当 时, .
反证法: 假设存在正整数 ,使得当 时, ,
取满足条件的最小正整数 ,此时有 ,使得 且 ,
则 ,即 ,即 与 矛盾.
所以对任意 ,当且仅当 时, ,所以选项 正确;
对于 ,下证: .
由上可知 ,即 恒成立,只需 ,即 恒成立,
① 当 时,因为 恒成立,所以 符合要求;
② 当 时，因为 ，
当 时, ,不符合题设要求.
综上, ,所以选项 正确.
故选: ACD.
12.
.
13. 5
根据条件得到 ,令 ,可得 ,即可求解.
因为坐标原点到直线 的距离为 1,则 ,整理得到
令 ,则 ,其中 , 所以 ,当且仅当 时取等号,
故 的最大值为 5 .
14.
因为函数有两个极值点,所以先对 求导,利用导数与极值点的关系,得到 是导数为 0 的方程的两根,再结合韦达定理得到 的值,因为 垂直于 轴,所以 和 和 的纵坐标相等,由此建立关于 的方程,继而推导出 与 的关系,即可求得第一空答案; 若四边形 为菱形,则 ,建立关于 的方程求解,可求得第二空答案.
由 ,得 ,
由题意可知 为 的两实数根,则判别式 ,即 ,
则 ,且 ,
均垂直于 轴,则 ,即 ,
整理得 ,而 ,故 ,
结合 ,得 ,解得 或 (此时 重合,舍),
同理可得 ,故 ;
由上面分析可知 ,
此时 的中点为 ,即 ,
的中点为 ,即 ,
即 的中点重合,四边形 为平行四边形;
若四边形 为菱形,则 垂直,则 ;
由于 ,则 ,
则 ,
由 ,得 ,结合 ,解得 .
15.
(2)
(1) 根据两角和与差的正切公式,求得 的值,结合三角形内角的取值范围, 求得 ;
(2)由余弦定理求出 ,再根据三角形面积公式求得 的面积.
(1)因为
且 ,
所以 ,整理得 ,
即 .
所以 或 .
因为 ,所以 ,所以 .
所以 ，所以 ， .
(2)因为 ，
所以由余弦定理 ,得
,即 ,所以
所以 .
所以 的面积为 .
16.
(2)
0 1 2 3
1 125 12 125 48 125 64 125
(3)会得到推广，因为 .
(1)利用全概率公式, 结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解;
(2)由二项分布概率模型, 计算各可能次数的概率及期望、方差;
(3)根据二项分布期望公式求出 10 个问题的总得分期望, 并与 75 比较得出结论.
(1)设事件 表示回答被采纳,事件 表示问题表达清晰,
则 ,
则 .
(2)由(1)知每个问题的回答被采纳的概率 ，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量 服从二项分布 ,
则 ,
的分布列为:
0 1 2 3
1 125 12 25 48 125 64 125
(3)随机抽取 10 个问题,设被采纳的次数为 ,则有 ,总得分 , 则 ,满足推广条件,因此该系统会得到推广.
17. (1)1
(2)
(1) 证明出 ,可知 ,证明出 平面 ,当 时,求出 的面积，结合柱体的体积可求出三棱柱 的体积;
(2)以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，过点 且垂直于平面 的直线为 轴建立空间直角坐标系,分析可知 ,根据 可求出点 的坐标, 再利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
( 1 )翻折前，在图 1 中，因为四边形 为正方形，所以 ， ，
因为 分别为 的中点,所以 ,
所以四边形 为平行四边形,且 ,
因为 ,所以 ,
翻折后,在图 2 中, ,
所以二面角 的平面角为 ,
因为 平面 ,所以 平面 ,
当 时,即 ,且 ,则 , 所以三棱柱 的体积为 .
(2)因为 平面 ，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴， 过点 且垂直于平面 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
设点 ,其中 ,由题意可知 ,则 ,故 ,
因为 ,则 ,解得 ,
则点 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,取 ,则 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
因此直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 .
18.(1) 因为 ,则 ,
又 ,所以曲线 在点 处的切线方程为 .
(2)① 令 ，
则 ,
令 ,
则 ,
当 时, 恒成立,所以 在区间 上单调递增,
则 ,又 ,所以 在区间 恒成立,
所以 在区间 上单调递增,又 ,则 ,即 .
② 当 时， ，当且仅当 时取等号，
所以 ,
要证 ,即证明 ,
也即证明 ,
令 ,易知 ,
则 ,
令 ,则 ,
易知当 时, 恒成立,所以 在区间 上单调递增,
又当 时, ,所以 ,则 ,
所以 在区间 上单调递增,
又 ,则 ,
即 ,命题得证.
19.
(2)①0 ；(②存在，且点 .
(1) 利用点到直线的距离公式求出 的值,将点 的坐标代入双曲线 的方程,求出 的值,即可得出双曲线 的方程;
(2)①设点 、 ，设直线 的方程为 ，将该直线方程与双曲线 的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线 、 的斜率之和；
② 设 的外接圆方程为 ，分析可知方程
与方程 为同解方程,可得出关于 的方程组,解出 ,可得出点 的坐标,求出直线 的方程,当 时, 求出直线 的方程,取点 为直线 与 轴的交点,结合勾股定理可得出结论.
(1) 双曲线 的右焦点为 ,双曲线 的渐近线方程为 ,即
所以焦点 到一条渐近线的距离为 ,
因为点 在双曲线 上,所以 ,解得 ,
故双曲线 的标准方程为 .
(2)① 设点 、 ，设直线 的方程为 ， 因为点 不在直线 上,则 ,可得 ,
联立 可得 ,
则 ,解得 或 ,
由题意可得 ,所以 且 ,
所以
即直线 的斜率之和为 0 .
② 设 的外接圆方程为 ，
则 ,
由 代入 ,
可得 ,
可得 ,
同理可得 ,
所以 为关于 的方程 的两根,
又因为 为关于 的方程 的两根,
所以方程 与方程 为同解方程,
所以 解得 ,
易知点 ,即点 ,
所以直线 的方程为 ,即 ,
当 时,直线 的方程为 ,即 ,
直线 与 轴的交点为 ,不妨取点 ,此时 ,
则 ,
故在 轴上存在定点 ,使得 为定值 2 .