辽宁省抚顺市清原满族自治县高级中学2025-2026学年高三下学期模拟调研卷数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省抚顺市清原满族自治县高级中学2025-2026学年高三下学期模拟调研卷数学试题（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 310.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-26 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷 数学 (一)
本试卷总分 150 分, 考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，若 ，则 的取值集合为( )
A. B. C. D.
2. 若复数 的共轭复数 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 ，则 “ ” 是 “ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量 ，若向量 在 上的投影向量相等，则 ( )
A. 2 B. 1
C. D. -1
5. 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 ,若函数 与 的图象关于直线 对称,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知直线 与圆 相交于 两点， 为坐标原点，若 ，则 ( )
A. B. 4 C. D.
8. 在四面体 中,平面 平面 ,若点 均在球 的球面上,且 ,则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,上顶点为 ,过点 作垂直于 的直线交 于 两点,则()
A. 的离心率为 B. 的短轴长为
C. 为等边三角形 D. 为等边三角形
10. 甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等. 每次点球若射中，则继续；若未射中，则换对方点球. 已知甲、乙每次点球射中的概率分别为 ，且每次点球是否射中相互独立，则( )
A. 第 2 个球是甲射门的概率为
B. 在第 1 个球和第 2 个球均是甲射门的条件下,第 3 个球是乙射门的概率为
C. 前 4 个球中甲、乙各射 2 个的概率为
D. 在第 3 个球是甲射门的条件下,第 1 个球是乙射门的概率为
11. 已知正方体 的棱长为 2,动点 在该正方体内部及其表面上运动, 为 的中点,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ，则三棱锥 的体积为定值
B. 若 ，则动点 轨迹的长度为 2
C. 若点 到平面 与 的距离相等，则 的最小值为 3
D. 若点 到平面 与 的距离相等，则直线 与 一定不垂直
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 的值为_____.
13. 若圆锥的底面半径与其内接正方体(四个顶点在圆锥的底面上，另四个顶点在圆锥的侧面上)的棱长均为 1，则该圆锥的体积为_____.
14. 已知函数 ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排.
(1)求 2 个白球均不排在两端的所有排法种数；
(2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列.
16. 如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 2 的正方形, 分别为 的中点,平面 底面 .
(1)证明: ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知数列 前 项的积为 .
(1)判断 是否成等差数列，并给出证明;
(2) 令 ，求数列 的前 项和 ，
18. 已知点 在抛物线 上,直线 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)点 在 上，且以 为直径的圆过坐标原点 ，若直线 交 于另一点 ，直线 交 于另一点 .
(i) 证明: 直线 过定点,并求出该定点坐标;
(ii) 是否存在 ,使得 的面积为 面积的 2 倍？若存在，求出 的值；若不存在, 说明理由.
19. 已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2) 记 ,若 ,证明:
(3)记 的导函数为 ，证明:当 时， .
1. C
若 ,则 ,此时 ,不符合题意;
若 ,解得 ,则 ,此时 ,符合题意.
综上, 的取值集合为 .
2. B
由题意知 ,所以 .
3. C
若 ,则 ,又 ,所以 ;
反之,若 ,则 ,又 ,所以 ,
则“ ” 是 “ ” 的充要条件.
4. A
根据向量投影相等的条件,推导出 ,再利用向量垂直的数量积为 0 列方程求解 .
由题意得 ,即 , 整理得 ,所以 ,解得 .
5. A
应用诱导公式及二倍角公式化简,再应用正弦值域得出 ,最后结合同角三角函数关系计算求值.
由题意得 ,所以 . 因为 ,所以 ,所以 ,且 , 所以 ,可得 .
6. B
根据两函数图象关于直线 对称及 得到 ,结合 的范围代入求解即可.
由题意知 ,所以 ,所以
因为 ,所以 ,所以 ,解得 .
7. C
先根据 得出圆心与线段 中点的连线与直线 垂直,进而求出圆心到直线的距离, 再结合圆的半径, 即可得弦长.
由 ,则 在 的垂直平分线上,
又圆的弦 的垂直平分线过圆心 ,
故 为 的垂直平分线,即 ,
所以 ,解得 ,
所以直线 的方程为 ,
则圆心 到直线 的距离 ,
又圆的半径 ,所以 .
8. D
取 的中点 ,由条件可得点 为 的外心,由平面 平面 ,可得四面体 的外接球球心 为 的外心,利用正弦定理即可求得其半径,进而求出答案.
如图,取 的中点 ,因 ,则点 为 的外心,
又因平面 平面 ,平面 平面 ,
故四面体 的外接球球心 必在平面 内,且是 的外心,
易得 平面 ,故有 ,
在 中, ,由正弦定理, ,则 ,
故四面体 的外接球 的表面积为 .
9. AC
先根据椭圆方程应用焦点坐标列式得出 ,进而求出离心率及短轴长,判断 , B, C, 最后结合椭圆定义求出边长判断 D.
由 的左、右焦点分别为 ,得 ,解得 , 则 ,所以 的离心率 ,短轴长为 ,
又因为 ,所以 为等边三角形,故选项 正确,选项 错误, 选项 C 正确;
由题意设 ,则 ,解得 ,
所以 ,又 ,
所以 ,即 不是等边三角形,故选项 错误.
10. AC
对于 : 可得第 2 个球是甲射门的可能情况为: 甲甲,乙甲,进而求概率; 对于 B:分析可知第 2 球甲未射中，即可得概率；对于 C:可能情况有:甲甲乙乙，甲乙甲乙， 甲乙乙甲, 乙甲甲乙, 乙甲乙甲, 乙乙甲甲, 进而求概率; 对于 D: 分析可能情况的组成, 结合条件概率公式运算求解.
记 “抽签抽到甲”, “甲点球射中”, “抽签抽到乙”, “乙点球射中”,
则 ,可得 ,
对于选项 A:第 2 个球是甲射门的可能情况为:甲甲，乙甲， 所以所求事件的概率为 ,故 A 正确;
对于选项 B:在第 1 个球和第 2 个球均是甲射门的条件下，第 3 个球是乙射门，可知第 2 球甲未射中,
所以所求事件的概率为 ,故 错误;
对于选项 C:若前 4 个球中甲、乙各射 2 个，则可能情况有:
甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲甲乙，乙甲乙甲，乙乙甲甲，
所求的概率为
,故 C 正确;
对于选项 D: 第 3 个球是甲射门的可能情况为: 甲甲甲, 乙甲甲, 甲乙甲, 乙乙甲,
对应的概率为 ,
第 1 个球是乙射门且 3 个球是甲射门的可能情况为: 乙甲甲, 乙乙甲,
对应的概率为 ,
所以所求事件的概率 ,故 错误.
11. ACD
对 ,由 得 在中截面内,利用等体积法计算体积; 对 ,由 得 在两平面交线,计算轨迹线段长度; 对 ,由点 到两平面距离相等得其在对角面内, 用对称点转化为两点间距离求 最小值; 对 ,由 得 在球面上,通过球心到平面距离与半径比较.
对于 A: 分别取棱 的中点 ,则 四点共面,
且四边形 为正方形,若 ,则点 在平面 内,且 到平面 的距离
为定值 1,所以 , 正确;
对于 B: 若 ，则点 既在正方形 内及其边界上，又在对角面 内,
所以点 的轨迹为线段 ,其长度为 , B 错误;
对于 : 若点 到平面 与 的距离相等,则点 在对角面 内,取 的中点 ,
则点 关于平面 对称,所以 , 正确;
对于 : 若 ,则点 在以 为直径的球面上,球心为 中点,半径 , 而点 到平面 的距离为 ,所以平面 与以 为直径的球面无公共点, 正确.
12. 2
由 ,得 , 由正态分布的对称性,得 ,所以 的值为 2 .
13.
根据圆锥底面与内接正方体棱长的关系, 求出圆锥的高, 再利用圆锥体积公式即可求得.
设圆锥的高为 ,则由相似三角形对应边成比例可得: ,解得 ,
所以该圆锥的体积 .
14.
对函数 进行求导,根据三角函数周期性并求出其单调性,得出函数极值,即可求得其最小值.
由 ,得
因为 ,所以当 时, ; 当 时, ,
又 满足 ，所以 为 的一个周期，
所以当 时， 单调递增;
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增.
因为 ,所以当 时, 的最小值为 . 即当 时, 的最小值为 .
15. (1)36
(2)
0 1 2 3
2 5 1 5
(1)根据分步乘法计数原理,先选好白球位置,剩下的给红球;(2)先确定 所有可能取值, 再计算相应的概率.
(1)先从中间的 3 个空位中选出 2 个空位排 2 个白球, 再把 3 个红球全排放入剩下
的 3 个空位,共 (种),
所以 2 个白球均不排在两端的所有排法种数为 36 .
(2)由题意知 的所有可能取值为0,1,2,3, 则
所以 的分布列为
0 1 2 3
2 5 3 10 1 5
16.(1)因为底面 是边长为 2 的正方形， 分别为 的中点，所以
因为平面 底面 ,平面 底面 底面 ,
所以 平面 ,
因为 平面 ,
所以 .
(2)由(1)及底面 为正方形，可得 ，
又正方形的边长为 分别为 的中点 ,
所以 ,
在 中， ，
所以 ,所以 两两垂直.
以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , 设平面 的法向量为 ,
则 ,得 ,
令 ,则 ,
所以平面 的一个法向量 .
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17.(1) 成等差数列.
证明: 因为数列 前 项的积 ,所以当 时, ,
当 时, ,符合上式,
所以 ,
所以 ,
因此 成等差数列.
(2)由(1)可得 ，
所以 ,
所以
.
所以数列 的前 项和 .
18.(1) 因为点 在抛物线 上, 所以 ,解得 ,所以 的方程为 .
(2)(i)证明:由题意不妨设 ， ，
则 ,
因为以 为直径的圆过坐标原点 ,所以 ,
则 ,即 .
显然直线 的斜率不为 0,设直线 ,
联立 ,消去 得 ,
则 ,
因为 三点共线,则 ,解得 ,
又 三点共线,则 ,解得 ,
所以 ,又 ,得 ,
所以直线 ,即直线 过定点 .
(ii) 由 (i) 知 ,直线 ,
且 ,
而点 到直线 的距离为 ,且 ,
所以
,
而 ,
若 ,则 ,
整理得 ,即 ,方程有解,则 .
即存在 ,使得 的面积为 面积的 2 倍,此时 .
19. (1) 由题意得 的定义域为 ,且 ,
令 ,则 恒成立,所以 在 上单调递增,
又 ,故当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增,
所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
(2)由(1)知， ，即 ，
即 ,
所以 即 .
(3)因为 ，令 ，则 ， ，且 ，
又 ,则
令 ,则 ,故 在 上单调递增,
所以 ,即 ,所以当 时, ,
又当 时, ,所以当 时,
即当 时 .
本试卷总分 150 分, 考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，若 ，则 的取值集合为( )
A. B. C. D.
2. 若复数 的共轭复数 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 ，则 “ ” 是 “ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量 ，若向量 在 上的投影向量相等，则 ( )
A. 2 B. 1
C. D. -1
5. 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 ,若函数 与 的图象关于直线 对称,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知直线 与圆 相交于 两点， 为坐标原点，若 ，则 ( )
A. B. 4 C. D.
8. 在四面体 中,平面 平面 ,若点 均在球 的球面上,且 ,则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,上顶点为 ,过点 作垂直于 的直线交 于 两点,则()
A. 的离心率为 B. 的短轴长为
C. 为等边三角形 D. 为等边三角形
10. 甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等. 每次点球若射中，则继续；若未射中，则换对方点球. 已知甲、乙每次点球射中的概率分别为 ，且每次点球是否射中相互独立，则( )
A. 第 2 个球是甲射门的概率为
B. 在第 1 个球和第 2 个球均是甲射门的条件下,第 3 个球是乙射门的概率为
C. 前 4 个球中甲、乙各射 2 个的概率为
D. 在第 3 个球是甲射门的条件下,第 1 个球是乙射门的概率为
11. 已知正方体 的棱长为 2,动点 在该正方体内部及其表面上运动, 为 的中点,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ，则三棱锥 的体积为定值
B. 若 ，则动点 轨迹的长度为 2
C. 若点 到平面 与 的距离相等，则 的最小值为 3
D. 若点 到平面 与 的距离相等，则直线 与 一定不垂直
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 的值为_____.
13. 若圆锥的底面半径与其内接正方体(四个顶点在圆锥的底面上，另四个顶点在圆锥的侧面上)的棱长均为 1，则该圆锥的体积为_____.
14. 已知函数 ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排.
(1)求 2 个白球均不排在两端的所有排法种数；
(2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列.
16. 如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 2 的正方形, 分别为 的中点,平面 底面 .
(1)证明: ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知数列 前 项的积为 .
(1)判断 是否成等差数列，并给出证明;
(2) 令 ，求数列 的前 项和 ，
18. 已知点 在抛物线 上,直线 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)点 在 上，且以 为直径的圆过坐标原点 ，若直线 交 于另一点 ，直线 交 于另一点 .
(i) 证明: 直线 过定点,并求出该定点坐标;
(ii) 是否存在 ,使得 的面积为 面积的 2 倍？若存在，求出 的值；若不存在, 说明理由.
19. 已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2) 记 ,若 ,证明:
(3)记 的导函数为 ，证明:当 时， .
1. C
若 ,则 ,此时 ,不符合题意;
若 ,解得 ,则 ,此时 ,符合题意.
综上, 的取值集合为 .
2. B
由题意知 ,所以 .
3. C
若 ,则 ,又 ,所以 ;
反之,若 ,则 ,又 ,所以 ,
则“ ” 是 “ ” 的充要条件.
4. A
根据向量投影相等的条件,推导出 ,再利用向量垂直的数量积为 0 列方程求解 .
由题意得 ,即 , 整理得 ,所以 ,解得 .
5. A
应用诱导公式及二倍角公式化简,再应用正弦值域得出 ,最后结合同角三角函数关系计算求值.
由题意得 ,所以 . 因为 ,所以 ,所以 ,且 , 所以 ,可得 .
6. B
根据两函数图象关于直线 对称及 得到 ,结合 的范围代入求解即可.
由题意知 ,所以 ,所以
因为 ,所以 ,所以 ,解得 .
7. C
先根据 得出圆心与线段 中点的连线与直线 垂直,进而求出圆心到直线的距离, 再结合圆的半径, 即可得弦长.
由 ,则 在 的垂直平分线上,
又圆的弦 的垂直平分线过圆心 ,
故 为 的垂直平分线,即 ,
所以 ,解得 ,
所以直线 的方程为 ,
则圆心 到直线 的距离 ,
又圆的半径 ,所以 .
8. D
取 的中点 ,由条件可得点 为 的外心,由平面 平面 ,可得四面体 的外接球球心 为 的外心,利用正弦定理即可求得其半径,进而求出答案.
如图,取 的中点 ,因 ,则点 为 的外心,
又因平面 平面 ,平面 平面 ,
故四面体 的外接球球心 必在平面 内,且是 的外心,
易得 平面 ,故有 ,
在 中, ,由正弦定理, ,则 ,
故四面体 的外接球 的表面积为 .
9. AC
先根据椭圆方程应用焦点坐标列式得出 ,进而求出离心率及短轴长,判断 , B, C, 最后结合椭圆定义求出边长判断 D.
由 的左、右焦点分别为 ,得 ,解得 , 则 ,所以 的离心率 ,短轴长为 ,
又因为 ,所以 为等边三角形,故选项 正确,选项 错误, 选项 C 正确;
由题意设 ,则 ,解得 ,
所以 ,又 ,
所以 ,即 不是等边三角形,故选项 错误.
10. AC
对于 : 可得第 2 个球是甲射门的可能情况为: 甲甲,乙甲,进而求概率; 对于 B:分析可知第 2 球甲未射中，即可得概率；对于 C:可能情况有:甲甲乙乙，甲乙甲乙， 甲乙乙甲, 乙甲甲乙, 乙甲乙甲, 乙乙甲甲, 进而求概率; 对于 D: 分析可能情况的组成, 结合条件概率公式运算求解.
记 “抽签抽到甲”, “甲点球射中”, “抽签抽到乙”, “乙点球射中”,
则 ,可得 ,
对于选项 A:第 2 个球是甲射门的可能情况为:甲甲，乙甲， 所以所求事件的概率为 ,故 A 正确;
对于选项 B:在第 1 个球和第 2 个球均是甲射门的条件下，第 3 个球是乙射门，可知第 2 球甲未射中,
所以所求事件的概率为 ,故 错误;
对于选项 C:若前 4 个球中甲、乙各射 2 个，则可能情况有:
甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲甲乙，乙甲乙甲，乙乙甲甲，
所求的概率为
,故 C 正确;
对于选项 D: 第 3 个球是甲射门的可能情况为: 甲甲甲, 乙甲甲, 甲乙甲, 乙乙甲,
对应的概率为 ,
第 1 个球是乙射门且 3 个球是甲射门的可能情况为: 乙甲甲, 乙乙甲,
对应的概率为 ,
所以所求事件的概率 ,故 错误.
11. ACD
对 ,由 得 在中截面内,利用等体积法计算体积; 对 ,由 得 在两平面交线,计算轨迹线段长度; 对 ,由点 到两平面距离相等得其在对角面内, 用对称点转化为两点间距离求 最小值; 对 ,由 得 在球面上,通过球心到平面距离与半径比较.
对于 A: 分别取棱 的中点 ,则 四点共面,
且四边形 为正方形,若 ,则点 在平面 内,且 到平面 的距离
为定值 1,所以 , 正确;
对于 B: 若 ，则点 既在正方形 内及其边界上，又在对角面 内,
所以点 的轨迹为线段 ,其长度为 , B 错误;
对于 : 若点 到平面 与 的距离相等,则点 在对角面 内,取 的中点 ,
则点 关于平面 对称,所以 , 正确;
对于 : 若 ,则点 在以 为直径的球面上,球心为 中点,半径 , 而点 到平面 的距离为 ,所以平面 与以 为直径的球面无公共点, 正确.
12. 2
由 ,得 , 由正态分布的对称性,得 ,所以 的值为 2 .
13.
根据圆锥底面与内接正方体棱长的关系, 求出圆锥的高, 再利用圆锥体积公式即可求得.
设圆锥的高为 ,则由相似三角形对应边成比例可得: ,解得 ,
所以该圆锥的体积 .
14.
对函数 进行求导,根据三角函数周期性并求出其单调性,得出函数极值,即可求得其最小值.
由 ,得
因为 ,所以当 时, ; 当 时, ,
又 满足 ，所以 为 的一个周期，
所以当 时， 单调递增;
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增.
因为 ,所以当 时, 的最小值为 . 即当 时, 的最小值为 .
15. (1)36
(2)
0 1 2 3
2 5 1 5
(1)根据分步乘法计数原理,先选好白球位置,剩下的给红球;(2)先确定 所有可能取值, 再计算相应的概率.
(1)先从中间的 3 个空位中选出 2 个空位排 2 个白球, 再把 3 个红球全排放入剩下
的 3 个空位,共 (种),
所以 2 个白球均不排在两端的所有排法种数为 36 .
(2)由题意知 的所有可能取值为0,1,2,3, 则
所以 的分布列为
0 1 2 3
2 5 3 10 1 5
16.(1)因为底面 是边长为 2 的正方形， 分别为 的中点，所以
因为平面 底面 ,平面 底面 底面 ,
所以 平面 ,
因为 平面 ,
所以 .
(2)由(1)及底面 为正方形，可得 ，
又正方形的边长为 分别为 的中点 ,
所以 ,
在 中， ，
所以 ,所以 两两垂直.
以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , 设平面 的法向量为 ,
则 ,得 ,
令 ,则 ,
所以平面 的一个法向量 .
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17.(1) 成等差数列.
证明: 因为数列 前 项的积 ,所以当 时, ,
当 时, ,符合上式,
所以 ,
所以 ,
因此 成等差数列.
(2)由(1)可得 ，
所以 ,
所以
.
所以数列 的前 项和 .
18.(1) 因为点 在抛物线 上, 所以 ,解得 ,所以 的方程为 .
(2)(i)证明:由题意不妨设 ， ，
则 ,
因为以 为直径的圆过坐标原点 ,所以 ,
则 ,即 .
显然直线 的斜率不为 0,设直线 ,
联立 ,消去 得 ,
则 ,
因为 三点共线,则 ,解得 ,
又 三点共线,则 ,解得 ,
所以 ,又 ,得 ,
所以直线 ,即直线 过定点 .
(ii) 由 (i) 知 ,直线 ,
且 ,
而点 到直线 的距离为 ,且 ,
所以
,
而 ,
若 ,则 ,
整理得 ,即 ,方程有解,则 .
即存在 ,使得 的面积为 面积的 2 倍,此时 .
19. (1) 由题意得 的定义域为 ,且 ,
令 ,则 恒成立,所以 在 上单调递增,
又 ,故当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增,
所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
(2)由(1)知， ，即 ，
即 ,
所以 即 .
(3)因为 ，令 ，则 ， ，且 ，
又 ,则
令 ,则 ,故 在 上单调递增,
所以 ,即 ,所以当 时, ,
又当 时, ,所以当 时,
即当 时 .
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