2026年湖北省黄石市高考数学模拟试卷（3月份）（含答案）

2026年湖北省黄石市高考数学模拟试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则向量与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.已知平面，两条不重合的直线，，则“存在直线，使”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.某次考试有人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有参考数据：若，则有，，
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
6.若实数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列的首项为，前项和为，若，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
8.已知曲线：，将绕坐标原点逆时针旋转后所得的曲线是某个函数的图像，则正实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列命题正确的有( )
A. 函数的图像关于点对称
B. 函数的最大值是
C. 若实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则
D. 是函数的单调递减区间
10.如图，在正方体中，记各面的对角线为它的面对角线，，，，为它的体对角线设，，分别为，，的中点，则( )
A. 存在面对角线与平面平行
B. 存在面对角线与平面垂直
C. 存在体对角线与平面平行
D. 存在体对角线与平面垂直
11.如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时在欧洲，这个表被认为是帕斯卡首先发现的我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有( )
A. 第行共有个数
B. 从第行起到第行，每一行的第个数字之和为
C. 第行的所有数字之和被除的余数为
D. 去除所有为的项，依次构成数列，，，，，，，，，，，则此数列前项的和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，满足，则的取值范围是______．
13.已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为，则圆柱的底面半径为 ．
14.已知点，在轴上，其既是椭圆的焦点，也是双曲线的焦点设椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点在第一象限的双曲线上，且，若为等轴双曲线，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别，，，已知C.
求角的大小；
若，求的面积．
16.本小题分
已知数列满足．
设，证明是等比数列，并求的通项公式；
判断数列的单调性．
17.本小题分
袋中有个除了颜色外完全相同的小球，其中有个红球，个黑球，个白球现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量．
求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率；
求的分布列和期望．
18.本小题分
设函数，为自然对数的底数．
讨论的单调性；
设，记，证明：
；注：
．
19.本小题分
如图所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线．
如图所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且，为弧的中点，点满足，点为线段的中点；
求直线与平面所成角的大小；
平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴设以的方向为轴正方向，以线段的中垂线为轴设以逆时针旋转后的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系．
求出曲线的标准方程；
设，为曲线上两动点，若的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15.解：由，
得，
因为，
所以，
即，
因为为的内角，
故舍或，
所以；
因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
解得负值已舍，
故，
又由知，
故的面积为．
16.解：证明：因为，
所以，
所以，因为，所以，
又因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，且；
因为，所以，
因为，
所以，所以数列为递增数列．
17.解：记事件“第二次取出的是黑球”，事件“第三次取出的是红球”，
事件可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况，
所以，
事件“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球”，
可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球“两种情况，
故，
所以第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率为：
；
根据题意可得可能的取值为，，，
当时，前三次分别取出个红球、个黑球和个白球，
，
当时，前四次分别取出个黑球和个白球，
，
当时，，
所以的分布列为：
所以．
18.解：由题得，
易知，当且仅当，因此时取等号，
故当时，，此时在上单调递增；
当时，令，
解得，易知，
当或时，，当时，，
故此时在和上单调递增，
在上单调递减；
证明：由知，当时，在上单调递增，
故当时，，因此有．
令，则有，因此，因此，
赋值代入，可得，
累加可得：
；
令，则有，
因此，化简得，
当时，由，
累加可得：
，
因此．
因此有，而当时，
因此有．
19.解：由题设以为原点，分别以．．所在直线和正方向为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
故，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
故，，
则，
故直线与平面所成角的大小为．
由知，直线与圆锥母线所成的角为，且，故曲线为椭圆，
设该椭圆的方程为，，故，
由可得，设与的交点为，
则，，，
易得，即，且，
设的中点为，易得．，故F，
故点在平面内的坐标为，
因为点在曲线上，故有，
故曲线的标准方程为．
证明：易知直线的斜率存在，设其方程为，
联立，
得，
设点，由韦达定理与点坐标，
则，
的平分线与轴垂直，故直线与直线的斜率互为相反数，
设直线的方程为，
设点，
同理可得，
故直线的斜率为，是一个定值．
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