第11章　磁场 第8讲　专题提升：带电粒子在三维空间中的运动--2027全国版高考物理第一轮(含答案)

2027全国版高考物理第一轮
第8讲　专题提升:带电粒子在三维空间中的运动
基础对点练
题组一　带电粒子在电、磁场中的螺旋线运动和旋进运动
1.(11分)(2025广东广州模拟预测)如图甲所示,磁透镜是利用磁聚焦现象制成的,在电子显微镜中具有非常重要的作用。现将其原理简化:质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从O点以与x轴正方向成θ角斜向上射入磁感应强度大小为B、方向沿x轴正方向的匀强磁场中,在洛伦兹力的作用下,粒子的轨迹为一条螺旋线,如图乙所示,不计粒子的重力,π已知。
甲
乙
(1)若已知该粒子在O点入射的速度大小为v且θ=30°,再次回到x轴时,粒子与x轴交于P点,求经过多长时间粒子到达P点及P点与O点间的距离;
(2)若撤去磁场,并施加一与x轴正方向成60°且斜向下的匀强电场,当该粒子在O点入射的速度大小仍为v且θ=30°,仍然与x轴交于P点,求该电场强度E的大小。
题组二　带电粒子在空间电、磁场中的偏转运动
2.(12分)(2025山西晋中三模)如图所示,在长方体真空腔内存在竖直向下的匀强电场,电场强度大小为E。一电荷量为+q(q>0)、质量为m的粒子以速度v0从左侧沿中心线水平射入,打在右侧探测屏上时的速度偏转角为θ(未知)。已知空腔的长度为L,宽度和高度足够大,不计粒子的重力,求:
(1)速度偏转角θ的正切值;
(2)保持上述条件不变,在空腔内再加一竖直向下的匀强磁场,为使该粒子的运动轨迹与探测屏相切,求所加磁场的磁感应强度大小B,以及轨迹与探测屏相切时粒子的速度大小。
综合提升练
3.(15分)(2025湖南长沙模拟)如图所示,立方体空间的边长为L,侧面CDHG为荧光屏,能完全吸收打在屏上的带电粒子并发光,三维坐标系坐标原点O位于底面EFGH的中心,Ox∥FG,Oy∥GH。已知从原点O向xOy平面内各个方向均匀持续发射速率为v0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子。不计粒子重力及粒子间的相互作用。
(1)若在立方体空间内仅存在方向平行于z轴的匀强磁场,沿y轴正方向射出的粒子恰好打在荧光屏上的H点。求磁场的磁感应强度B和粒子从原点O运动到荧光屏的最短时间t;
(2)若在立方体空间内仅存在沿z轴负方向的匀强电场E=和沿y轴正方向的匀强磁场B=,沿x轴正方向射出的粒子,经某些位置恰好与射出时速度相同,求这些位置的坐标。
4.(16分)(2025江苏泰州模拟预测)某离子实验装置的基本原理图如图所示,截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区,Ⅰ区长度d=4R,内有沿y轴正向的匀强电场,Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场,又有沿z轴正向的匀强电场,电场强度与Ⅰ区电场强度等大,现有一正离子从左侧截面的最低点A处以初速度v0沿z轴正向进入Ⅰ区,经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区,在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出,最终从右侧截面上的C点飞出,B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图所示),已知离子质量为m、电荷量为q,不计离子重力,求:
(1)电场强度的大小;
(2)Ⅱ区中磁感应强度的大小;
(3)Ⅱ区L的最小长度。
培优拔高练
5.(多选)(2025河北邯郸模拟)如图所示,质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从静止开始经加速电压U加速后,从三维直角坐标系O-xyz的原点O处沿不同方向射入匀强磁场,磁感应强度大小为B、方向沿z轴正方向。已知加速电压U调节范围为U0≤U≤3U0,其中U0=。x轴上距离O点1.5L处有一长为L的吸收板,吸收板接地,粒子打在板上即被吸收。不计粒子重力,下列说法正确的是(　　)
A.当粒子沿y轴正方向射入磁场时,调节U,板上有粒子击中的长度为L
B.当U=3U0,粒子从O点射入xOy平面x>0、y>0的区域,速度方向在0°~90°均匀变化,且沿各方向发射的粒子数目相等,则击中吸收板的粒子占粒子总数的50%
C.当U=U0,t=0时刻,粒子从O点射入yOz平面y>0、z<0的区域,且速度方向与y轴正方向夹角为30°,粒子与z轴距离最大时的时间为t1=n(n=1,2,3,…)
D.当U=2U0,粒子从O点射入yOz平面y>0、z<0的区域,且速度方向与y轴正方向夹角为45°,则经过t2=时粒子的坐标为
答案：
1.答案 (1)　(2)
解析 (1)把v沿平行于B和垂直于B的两个方向分解为v1=v、v2=v,如图所示
粒子在垂直于B方向上以v2做匀速圆周运动,在平行于B的方向上以v1做匀速直线运动。因此,当粒子恰好在垂直于B的方向上完成一次完整的圆周运动时,将第一次回到x轴
根据牛顿第二定律,有qv2B=m
解得r=
即t=T=
则O点到P点的距离为xOP=v1t
可得xOP=。
(2)在静电力的作用下,粒子做类平抛运动,设运动到P点时间为t'
沿初速度方向xOPcos 30°=vt'
沿电场方向xOPsin 30°=t'2
又 qE=ma
联立解得E=。
2.答案 (1)　(2)　
解析 (1)粒子在空腔内运动的时间为t=
加速度为a=
打在探测屏上的竖直分速度vy=at
速度偏转角的正切值tan θ=
解得tan θ=。
(2)由于磁场的作用,粒子在水平面内将以v0做匀速圆周运动,有Bqv0=
粒子轨迹与探测屏相切,则有R=L,解得B=
竖直方向粒子在电场作用下做匀加速运动,有vy'=at'
竖直分运动与圆周运动的时间相等,则t'=
故vy'=
可知轨迹与探测屏相切时粒子的速度大小为v=。
3.答案 (1)　(2)
解析 (1)如图所示,沿y轴正方向射出的粒子恰好打在荧光屏上的H点,根据几何关系有r1=
粒子在磁场中做圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,则有qv0B=m
解得B=
粒子在匀强磁场中运动的周期为T=
由题意可知,粒子从y轴射出,弦长最短为,粒子的运动时间最短。此时圆心角为60°,运动的最短时间为t=。
(2)根据题中给出的电场强度与磁感应强度的关系有Eq=Bq
所以,粒子以v0做匀速直线运动,以v0做匀速圆周运动,一个周期时与原速度方向相同,此时沿x轴方向的位移为x0=
由于x=nx0=n
该结果需小于,故坐标为。
4.答案 (1)　(2)　(3)πR+R
解析 (1)离子在Ⅰ区做类平抛运动,根据类平抛规律有4R=v0t,t2
根据牛顿第二定律有a=
解得电场强度的大小为E=。
(2)离子在Ⅰ区运动过程中,由动能定理可得qE·mv2-
解得离子到达B点时速度的大小为v=v0
离子在Ⅱ区里,做复杂的旋进运动。将该运动分解为圆柱腔截面上的匀速圆周运动和z轴正方向的匀加速直线运动,根据题意可得,在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如图所示
设临界圆轨迹半径为r,根据几何知识有(R-r)2=r2+
解得离子的轨迹半径为r=R
离子沿y轴正方向的速度为vy=v0
则根据洛伦兹力提供向心力有qvyB=
解得Ⅱ区中磁感应强度大小为B=。
(3)离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期为T=
离子在z轴的正方向做匀加速直线运动,根据匀变速直线运动的位移公式可得L=v0nT+(nT)2
联立解得Ⅱ区的长度为L=nπR+R(n=1,2,3,…)
当n=1时,Ⅱ区的最小长度为Lmin=πR+R。
5.AD　解析 粒子经加速电压U后,由动能定理可知qU=mv2,可得速度v=,代入磁场中半径公式r=,可求得粒子的轨迹半径与电压的关系,当U=U0=时,半径r1=;U=2U0时,半径r2=;U=3U0时,半径r3=;当粒子沿y轴正方向射入磁场时,粒子在xOy平面偏转半个圆周打在x轴上,当加速电压为3U0时粒子打中板上位置最远,为L,因此打中板长度为L,A正确。当U=3U0、粒子射向xOy平面,恰好打在板上的临界情况如图甲所示,由几何关系可知sin θ=,θ=60°,则击中吸收板的粒子占粒子总数的比例为=33%,B错误。当U=U0,粒子射向yOz平面,速度方向与y轴正方向夹角为30°时,粒子的运动轨迹如图甲所示,将速度分解为沿y轴方向的vy和沿z轴方向的vz,则粒子在z轴方向以vz分速度做匀速直线运动,在xOy平面以vy分速度做匀速圆周运动,故当粒子运动圆周运动半周期的奇数倍时粒子离z轴最远,由T=可知,粒子与z轴距离最大时的时间为t1=n(n=1,3,5,…),C错误。当U=2U0,粒子速度方向与xOy平面和z坐标轴夹角均为45°时,初速度大小为v0=,将其分解为z轴方向分速度vz=和xOy平面分速度vxOy=,粒子在z轴方向以vz分速度做匀速直线运动,在xOy平面以vxOy分速度做匀速圆周运动,如图乙所示,则经过t2=时粒子的坐标为,D正确。
甲
乙
8