第20章勾股定理解答题专练（含答案）-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）

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第20章勾股定理解答题专练-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）
1．如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接
（1）求的长；
（2）求的周长．
2．如图，在中，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若点为线段上一点，连接，且，求的长．
3．如图，在中，，点位于上，过点作，为垂足，且．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
4．如图，经过村和村（将村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且．
（1）求两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是x轴上的一个动点．
（1）当是以为腰的等腰三角形时，求点C的坐标；
（2）当点C在x轴上运动时，是否存在一点C，使得的值最小？若存在，求出此时点C的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．
6．“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，，
（1）护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长；
（2）证明：
7．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
8．（1）如图1，和都是等边三角形，点B，C，D在一条直线上，连接．求证：．
（2）如图2，和都是等边三角形，，连接．求的长．
9．2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距．
（1）判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？
10．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的B处救人后，还要从（即）高的D处救人．
（1）求．
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
11．如图，已知在中，和分别平分和，过O作，分别交于点D，E，连接，
（1）指出图中所有的等腰三角形，并就其中的一个进行证明；
若，则的周长为 ▲ ；
（2）若，求证：为等腰三角形；
（3）若，是否仍为等腰三角形？请证明你的结论．
12．（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理；
（2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积．
13．汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满足：a2+b2=c2
（1）如图1，已知a=6，b=8，则c=　 　；
（2）如图2，点A从点O出发，以每秒1个单位长度沿x轴正半轴运动；与此同时，点C从点O出发，以每秒2个单位长度沿y轴正半轴运动；点B从点O出发，以每秒2个单位长度沿x轴负半轴运动.连接AC，将AC绕点C逆时针旋转90°至CD，连接BD交y轴于点N.当BN=2时，求运动时间t；
（3） 如图3，已知G（0，m）（m＞0），点M是OG中点，过点G作直线l∥x轴，点P是直线l上的动点，连接MP，作MQ⊥MP，且MQ=MP，若MQ+OQ达到最小，且最小值为时，求此时m的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
∴在中，点D是斜边的中点．
∴
（2）解：在中，．
∵是线段的垂直平分线，
∴．
∴的周长
2．【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：在中，，
∵，
∴，
∴是直角三角形
（2）设，则．
在中，∵，
∴，
解得，
∴的长为．
3．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴的长．
4．【答案】（1）解：在中，米，米，∴（米）．
答：A，B两村之间的距离为500米
（2）公路有危险而需要封锁．理由如下：如图，过C作于D．以点C为圆心，250米为半径画弧，交于点E，F，连接，，
∵，
∴（米）．
由于240米250米，故有危险，
因此段公路需要封锁．
∴米，
∴（米），
故米，
则需要封锁的路段长度为140米
5．【答案】（1）解：∵点，，∴，
∴，
如图，以点Ａ为圆心，以为半径画弧，交x轴于点C，
此时，，
∴，
∵点C在x轴的负半轴，
∴；
以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，与x轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
综上所述，符合题意的点C为或或
（2）解：存在
根据点，，故，
∵，
∴当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可．
故，此时，
故时，的值最小，且最小值为5
6．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴在中，有，
∴无人机飞行路径的长为；
（2）证明：，，
，
是直角三角形，
∴，

7．【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
易得四边形ABDE是矩形，
所以DE=AB=1.6米，
所以，（米，
答：风筝的高度为16.6米；
（2）解：由题意得，，
，
（米，
（米，
他应该往回收线7米．
8．【答案】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，
∵点B，C，D在一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，如图所示：
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
，
，
．
9．【答案】（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下：
如图，过作于，
，
，
，
的面积，
，
，
，
农场会受到台风的影响；
（2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
台风中心的移动速度为，
台风影响该农场持续时间是（小时）．
10．【答案】（1）解：在中，
∵，，消防车高，
∴，
∴；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
∴．
11．【答案】（1）证明：和为等腰三角形。证明如下：
∵和分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴和为等腰三角形。
11
（2）证明：∵和分别平分和，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（3）证明：仍为等腰三角形，理由如下：
过点O作于G点，于H点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
12．【答案】解：（1），
即
则；
（2）
设
依题意有
解得
．
故该飞镖状图案的面积是24．
13．【答案】（1）10
（2）如图2，过点D作轴于点E，
点A从点O出发，以每秒1个单位长度沿x轴正半轴运动；点C从点O出发，以每秒2个单位长度沿y轴正半轴运动；点B从点O出发，以每秒2个单位长度沿x轴负半轴运动，设运动时间t s，
，，
将AC绕点C逆时针旋转至CD，
，，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
又，，
≌，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
解得：负值舍去，
故运动时间t为秒；
（3）如图3，M为OG的中点，作轴于点K，
，且，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，
点Q在平行于y轴，且到y轴的距离为的直线n上，
作点O关于直线n的对称点，则，
，
连接，与直线n的交点时最小，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：负值已舍去，
故达到最小，且最小值为时，此时m的值为
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