(共18张PPT)
第四章
三角形
第17节
线段、角、相交线与平行线
考点1直线与线段
两个基本事实
(1)直线的基本事实：两点确定一条直线；(2)线段的基本事实：两点之间线段最短
两点之间的距离
两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
如图，在线段AC上取一点B,则有：AB+①BC=AC;
线段的和差
C
AB=AC-2BC;BC=AC-③AB
线段的中点
如图，若M是线段AB的中点，则AM=BM=④
AB
A
M
B
如图，若M,N是线段AB的三等分点，则AM=MN=NB=⑤
AB.
线段的
3
三等分点
【易错警示】一条线段的三等分点有2个，遇到三等分点时要注意分类讨论
M
考点2)角与角平分线
度、分、秒的换算
1°=60'，1′=60”.如7.24°=7°614′⑦24
余角
(1)若∠1+∠2=890°，则∠1与∠2互为余角；(2)性质：同角或等角的余角⑨相等
补角
(1)若∠1+∠2=0180°，则∠1与∠2互为补角；(2)性质：同角或等角的补角①相等
角平分线上的点到这个角的
如图，PM⊥OA,PN⊥OB.
性质
两边的距离12相等
(1)OC平分∠AOB台∠AOC=
M
4
角平分线
在一个角的内部，到角的两
1
∠BOC=18
∠AOB;
B
判定
边距离相等的点在这个角的
2
平分线上
(2)OC平分∠AOB→PM=14PN
考点3)相交线与平行线（贵州3年3考）
1.相交线：
(1)三线八角：
对顶角
对顶角相等.如图，∠1=15∠3，∠2=16∠4
邻补角
互为邻补角的两个角之和等于180°.
(人教版教材)
如图，∠1的邻补角是1⑦∠2和∠4，∠2的邻补角是18∠1和∠3
同位角(“F”形)
如图，∠1与19∠5，∠2与∠6，∠4与0∠8，∠3与2m∠7
内错角(“Z”形)
如图，∠2与2∠8，∠3与∠5
同旁内角（倒“U”形）
如图，∠2与∠5，∠3与3∠8
(2)垂线：
基本事实
平面内，过一点有且只有4一条直线与已知直线垂直
垂线段的性质
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，5垂线段最短
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的6垂线段的长度
2.平行线：
基本事实（平行公理）
过直线外一点有且只有7一条直线与这条直线平行
推论
平行于同一条直线的两条直线8平行
判定
同位角29相等
两直线平行
如图，∠1=30∠2台a∥b
性质
平线的性质与判定
内错角相等
判定两直线平行
如图，∠3=∠4台31a∥b
性
同旁内角互补
器两古线平行
如图，∠2+∠3=32180→1∥b
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这
平行线之间的距离
个距离称为平行线之间的距离(共19张PPT)
考点1)三角形的分类
按边分
按角分
(1)三边各不相等的三角形；
(1)锐角三角形（三个内角都是锐角）；
(2)底边和腰不相等的等腰三角形；
(2)②直角三角形（有一个内角是③直角）；
(3)①等边三角形
(3)钝角三角形（有一个内角是④纯角
考点2)三角形的基本性质
稳定性
三角形的稳定性是其特有的性质，只要三角形三边的长度确定了，其大小和形状是固定不变的
三角形任意两边之和⑤大于笫三边；
三边
三角形任意两边之差⑥小于第三边：
关系
【特别提醒】判断三条线段能否构成三角形，可以将较短的两条线段长度相加，若和大于第三条线
段的长度，则可以构成三角形，反之则不能
(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°；
角的
(2)三角形的一个外角⑦等于和它不相邻的两个内角的和；
关系
(3)三角形的一个外角⑧大于任何一个和它不相邻的内角
边、角
在同一个三角形中，等边对等角，长边对大角，短边对小角
关系
如图①，S=)ah(其中u为某边的长，h为该边上的高).
面积
h
关系
B
①
②
【知识拓展】同底（等底）等高（同高）的三角形面积相等.如图②，若AB∥CD,则h,9=2,
S△ABC10=S△ABD
考点3)三角形中的重要线段（贵州3年3考）
名称
图示
重要结论
(1)BD=1①CD
=。BC;(2)SAARD=2S△ACD=
2
△ABC)
中线
(3)三角形的重心：三角形三条中线的交点
B
【知识拓展)重心到三角形顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的2倍
名称
图示
重要结论
(1)∠BAD=BLCAD=，∠BAC;
(2)
S AABD
BD AB
角平
CD AC'
分线
(3)三角形的内心：三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距
B
D
离相等，是三角形内切圆的圆心
【对比学习】三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的
距离相等，是三角形外接圆的圆心
(1)∠ADB=∠ADC=90°；
(2)SAARD :SAACD=BD CD;
(3)三角形的垂心：三角形三条高所在直线的交点.直角三角形的三条高的交点是
高
直角顶点
B
D
【特别提醒】在解与三角形的高有关的题目时，若未指明三角形的形状，也无图示，
通常需要分类讨论
A
(L)DE∥BC,DE=42
BC;
中位线
E
(2)△ADE的周长=△ABC的周长的15一半；
B
C
(3)S△ADe=16
S△ABC(共19张PPT)
考点1)等腰三角形的性质与判定（贵州3年3考）
名称
等腰三角形
等边三角形
a
图形
60
(1)两个底角相等（简述为：等边对等角）；
(1)具有等腰三角形的所有性质；
(2)等腰三角形顶角的①平分线、底边上的②中线、
(2)三条边均相等，三个内角均为⑤60°；
性质
底边上的③高重合（也称“三线合一”）；
(3)是轴对称图形，有⑥3条对称轴，对称
(3)是轴对称图形，有④1条对称轴，对称轴是底边
轴是三边上的中线（三个角的平分线、三边
上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在的直线
上的高)所在的直线
(1)有两边⑦相等
的三角形叫做等腰三角形（定
(1)三边都相等的三角形是等边三角形（定义）；
义)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
判定
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形（简述为“等
(3)有一个角等于860°的等腰三角形是
角对等边”)
等边三角形
面积
ah
S=-
/3
ah=
4
特别提醒
(1)等腰三角形中的分类讨论：①当顶角和底角不确定时，需要分类讨论；②当腰长和底边长不确定时，
需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验
(2)等腰三角形的“三线合一”是一条重要性质，在证明和计算中，往往作为辅助线，需灵活添加，
考点2)直角三角形的性质与判定（贵州3年3考）
(1)直角三角形的两个锐角⑨互余，如图，∠A+∠B=1090°；
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的①一半，如图，若CD是斜边AB上的中线，
I
则CD=12
AB;
2
性质
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的
3一半，如图，若∠A=30°，则BC=①4。
AB:
(4)勾股定理：直角三角形两直角边的15平方和等于斜边的平方！
【知识拓展】在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角等于30°
(1)有一个内角是16直角的三角形是直角三角形（定义）；
(2)有两个角1⑦互余的三角形是直角三角形；
判定
(3)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的18平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【知识拓展】某条边上的中线等于该边的一半的三角形是直角三角形
续表
如图，S=。ab=。ch(其中a,b为两直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高).
面积
h
【技巧点拨】通常用等面积法求直角三角形的边长或高
特别提醒
(1)己知直角三角形的两边长，求第三边长，当没有明确直角边和斜边时，需分类讨论；
(2)已知三角形为直角三角形，当未明确直角顶点时，需分类讨论(共20张PPT)
考点全等三角形的性质与判定（贵州3年3考）
1.全等三角形的概念与性质：
(1)概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
(2)性质：①全等三角形的对应边①相等，对应角②相等
②全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高、中位线）相等
③全等三角形的周长③相等，面积④相等
2.全等三角形的判定：
判定方法
文字语言
图示
几何语言
D
边边边
三边分别相等的两个三角
.·AB=DE,BC=EF,AC=DF,∴.
(SSS)
形全等
△ABC△DEF
角边角
两角及其夹边分别相等的
.·∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F,.
（ASA)
两个三角形全等
△ABC≌△DEF
两角分别相等且其中一组
D
角角边
.·∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,
等角的对边相等的两个三
(AAS)
△ABC≌△DEF
角形全等
B
边角边
两边及其夹角分别相等的
.·AB=DE,∠A=∠D,AC=DF,∴.
(SAS)
两个三角形全等
△ABC≌△DEF
B
斜边、
D
斜边和一条直角边分别相
.·AB=DE,BC=EF,
直角边
等的两个直角三角形全等
..Rt△ABC≌Rt△DEF
(HL)
B
技巧点拨
已知两边
(1)找夹角SAS;(2)找第三边SSS;(3)找直角→HL或SAS
已知一边
边为角的对边→找任意一角→AAS;
和一角
边为角的邻边：(1)找角的另一边SAS;(2)找边的另一角→ASA;(3)找边的对角AAS
已知两角
(1)找夹边→ASA;(2)找其中一角的对边→AAS
特别提醒
(1)“SSA”和“AAA”不能判定两个三角形全等；
(2)“HL”只适用于直角三角形；
(3)证明三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应的位置上.
题多问教材母题·衍生变式
（人教版教材八上P34习题T6变
式)如图，根据己知条件填空：
(1)已知BD=CE,若利用“SSS”直接判定
△BCD≌△CBE,则需添加的条件为
E
CD=BE
B
(2)己知AD=AE,若利用“ASA”直接判定△ABD兰△ACE,则
需添加的条件为
∠ADB=∠AEC
(3)己知AD=AE,若利用“AAS”直接判定△ABD≌△ACE,则
需添加的条件为
∠ABD=∠ACE
(4)己知OE=OD,若利用“SAS”直接判定△BOE≌△COD,
则需添加的条件为
OB=OC
(5)己知∠BEC=∠CDB=90°，若利用“HL”直接判定△BCE
≌△CBD,则需添加的条件为BE=CD(或CE=BD)》(共17张PPT)
考点1)比例线段及性质
1成比例线段：四条线段“，d,d中，如果u与6的比等于c与1的此，即6，那么这四条
线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.
2.比例的性质：
基本
()如果分行，那么od-c:
性质
如果3x=5y,那么=2
3
(2)如果l=bc(u,b,c,d都不等于0)，那么么=①
d
等比
2
如果
0=C=…=m(b+d++n≠0)，那么
+c+··+mu
如果%== ,那么-3
性质
b d n
b+d+...+n b
b d3
b+d
3
合比
方，那么+1a-6-d
如果”-
m 2
9
性质
bd’bd
如果”7那么
tn
7
AC BC
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
B1C,那么称线段AB被点C董金分割，点
拓
叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，
AC 5-1
展
≈0.618.
2
B
考点2)平行线分线段成比例
类别
文字语言
几何语言
DE AB DE BC
基本
两条直线被一组平行线所截，所得的对应
如图，4几，，则
BC EF'AC DE'AC
D
事实
线段成比例
EF
B
DF
ls
平行于三角形一边的直线与其他两边相
如图，DE∥BC,则
AD AE AD
=(6
推论
DB EC'AB
AC
交，截得的对应线段成比例
E
B
C
考点3)相似三角形的性质与判定（贵州3年3考）
1.相似三角形的性质：
相似三角形的对应角⑦相等，对应边⑧成比例；
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于⑨相似比；
2.相似三角形的判定：
文字语言
图形
几何语言
平行于三角形一边的直线和其他
A
.·DE∥BC,
两边相交，所构成的三角形与原三
.△ADE∽△ABC
角形相似（人教版教材）
B
.·∠A=∠A',∠B=∠B',
两角分别相等的两个三角形相似
B'4
..△ABC∽△A'B'C'
C
AB BC
两边成比例且夹角相等的两个三
`ABB'C,∠B=∠B',
角形相似
..△ABC∽△A'B'C'
AB
BC CA
三边成比例的两个三角形相似
·A'BB'C'C'A,
B
.·.△ABC∽△A'B'C
技巧点拨
找（另一对等角，
相似三角形的判定思路：(1)有平行截线→用平行线的性质找等角：(2)有一对等角
该角的两边成比例；
夹角相等，
斜边和一条直角边成比例，
找
找
(3)有两边成比例
第三边也对应成比例，（4)有两个直角三角形
对锐角相等，
一
对直角；
两组直角边成比例(共23张PPT)
考点1)锐角三角函数及解直角三角形（贵州3年2考）
1.相关概念：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
∠A的对边a
∠A的正弦：sinA=
斜边
∠A的余弦：cosA=
∠A的邻边
斜边
∠A的对边
a
∠A的正切：tanA=
∠A的邻边
2.特殊角的三角函数值：
三角函数值
角ax
30°
45
60°
三角函数
A
1
小30°
sin a
2
2
2
2
3
2
3
√2
45o1
cos a
⑤
6
2
2
2
B60
C
45
C
1
1
√3
tan a
⑦1
√3
3
3.解直角三角形：
三边之间的关系
a2+b2=c2
B
两锐角之间的关系
∠A+∠B=890°
a
边角之间的关系
sin A-4-cos B:cosAsinB
tan A=10-
tan B
【知二推三】在直角三角形的6个元素中，直角是己知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角
形的所有元素就都可以确定下来
考点2)解直角三角形的实际应用（贵州3年3考）
视线
北
北偏东30°
仰角水平线
坡面
图示
垂
A70°
230°
线
俯
水平线
+东
视线
西南方向45
在视线与水平线所成的角
坡角：Q
方向角：指北或指南方向线与目标
中，视线在水平线上方的是
相关概念
坡度（坡比）：
方向线所成的小于90°的角.如图，
①仰角，视线在水平线下
i=tan a=(
12
点A在点013北偏西70°的方向上
方的是俯角
考点1)
锐角三角函数及解直角三角形
1.（2025·常州)如图，在Rt△ABC中，∠A=
90°，AB=3,AC=4,则sinB的值是
C
3
3
4
B
D
5
4
5
3
2.(2025·南通)在△ABC中，∠C=90°，tanA=
21C=25,则BC的长为
(C
A.1
B.2
C.5
D.5
3.(2025·广州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB
12
90°，AD平分∠CAB,己知cos∠CAD
二
AB
13
26,则点B到AD的距离为
10
考点2
解直角三角形的实际应用
考向1
仰角、俯角问题
4.（2025·内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两湍
A,B的距离不易测量，某科技小组需要用
无人机进行测量，他们将无人机上升并飞
行至距湖面90m高的点C处，从点C测得
点A的俯角为60°，测得点B的俯角为309
(A,B,C三点在同一竖直平面内)，则湖泊
两端A,B的距离为
1203m(结果保留
根号).(共24张PPT)
类型1)
构造中位线
例1如图，在△ABC中，D,E分别是
BC,AB的中点，连接AD,CE交于点F,
E
若DF=2,则AF的长为4
B
例2如图，在△ABC中，D为AC的中
点，DE⊥AC交AB于点F,交CB的延
长线于点E,若F为DE的中点，且BF
=2,则AF的长为
6
E
B
模型展示：如图，在△ABC
中，D,E分别是AB,AC的
E
中点，连接DE,则DE∥
BCDF--BC.
方法指导：三角形边上遇中点，己知两个中
点，连接构造中位线；己知一个中点，作平行
线或取另一边中点并连接构造中位线：
类型2)
构造斜边上的中线
例3如图，∠ABC=∠ADC=90°，M,N分别是AC,BD
的中点，AC=8,BD=6,则MW的长为√7
N
A
M
B
模型展示：如图，在Rt△ABC
中，∠ACB=90°，D是斜边AB
的中点，连接CD,则AB
=
2CD.
方法指导：直角三角形斜边上遇中点，连接
直角顶点与中点构造斜边上的中线
类型3
巧用“三线合一”
例4如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,M为BC的
12
中点，MN⊥AC于点N,则MN的长为
5
N
B
C
M
例5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,CB=6,
AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,则线段CE
的长为
4
B
D
C
/E
A
2.如图②，在△ABC中，E是边BC的中点，
DE⊥BC交AC于点D,连接BD,则△BCD
是等腰三角形，即BD=CD
方法指导：1.等腰三角形底边上遇中点，连
接顶点与中点，巧用“三线合一”：2.垂线过
中点，连接构造等腰三角形.
A
B
C
D
①
A
D
B
E
C
2
类型4)倍长（类）中线
例6
如图，在△ABC中，D是BC边的中点，
∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=3,则AC的长
为
6
A
B
D
C
例7如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D
是AB的中点，连接DC,作DE⊥DC交AC于
7
点E.若AB=10,CE=6,则AE的长为
3
A
E
D
B
C
模型展示：1.如图①，在△ABC中，AD是边BC上的中
线，延长AD到点E,使得DE=AD,连接BE,则
△ACD≌△EBD,BE=AC等.
A
B
C
E
①
2.如图②，在△ABC中，D是边BC的中点，E是AB上
一点，延长ED到点F,使得DF=ED,连接CF,则
△BED≌△CFD,BE=CF,BE∥CF等.
方法指导：当题中己知中线（或中点），且要求的线段
或角与题中己知线段和角无法转化到同一个三角形中
时，构造“倍长（类）中线”.(共25张PPT)
类型
过角平分线上的点向角的两边作垂线
例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线
AD交BC于点D,BC=9,点D到AB的距离是3，则BD
二
B
C
D
例2
如图，AD是△ABC的角平分线，AB=7,AC=5,则
BD
7
二
CD
5
A
B
C
D
模型展示：
情形1：作单垂线
条件：AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB
A
结论：（1)DE=DC;
E
(2)△ADE≌△ADC;
B
(3)AB·DE=BD·AC.
情形2：作双垂线
条件：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC.
结论：（1)DE=DF;
(2)△ADE≌△ADF;
,S△ABD
AB
BD
B
(3)
AC
CD
类型
2
截长补短法
例3
题多解
如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD平分
∠BAC交BC于点D.若AC=7,AB=4,则BD的长为3
A
B
D
C
解题思路：在△ABC中，AD是角平分线
截长法：如图①，在AB上截取AF=AC,连
接DF,则△ACD≌△AFD.
B
B
补短法：如图②，延长AC至点E,使AE=AB,
连接DE,则△AED≌△ABD
类型
3
延长角平分线的垂线
例4
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC,
A
AP⊥BP于点P,连接CP.若△PBC的面
P
积为3，则△ABC的面积为
B
(D
A.9
B.8
C.7
D.6
解题思路：如图，OP平
分∠MON,AP⊥OP交
OM于点A,延长AP交
B N
OW于点B,则①△OPA≌△OPB;②P为
AB的中点
类型
4
作平行线构造等腰三角形
例5
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平
分线，E是AC边上的一点，连接DE.若∠BAC
=30°，∠CED=120°，DE=1,则AE的长为
2+W
3
C
E
D
A
B
解题思路：如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，过
点P作PQ∥OB交OA于点Q.
B
结论：△OPQ为等腰三角形，
知二推一：①P为∠AOB(或其邻补角)平分线上一点；
②PQ∥OB;③△POQ为等腰三角形.知道其中任意两
个条件，均可推出其余一条结论
1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点
D,DE⊥AB,垂足为E,△ABC的面积为30，AB
=8,DE=4,则AC的长为
7
A
E
B
D
C
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
CD平分∠ACB,若AC=1,则AD的长为
W3-1(共21张PPT)
基本图形1：形内作高
B
A145o
609
C
基本图形2：形外作高
B
B
B
150°
120°
135
A
A
题型1形内作高
例1如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=42,求AC的长
解：8.
题型2形外作高
例2如图，在△ABC中，∠C=30°，∠B=135°，AB=2√2，求BC的长
解：2W3-2.
A
B
C
基本图形1：延长补形
基本图形2：连接构造
45°
3
3
13
60°
2
4
2
12
基本图形3：构二倍角
X
X
15o
30°
22.5
45o
2x
V3x
X
A
D
C
B
题型2连接构造
例4如图，AB=5V2,AC=5,D为∠BAC内一点，且∠BDC=90°，CD=3,BD=4,求图中阴影
部分的面积.
解：如图，连接BC.:∠BDC=90°，CD=3,BD=4,.BC=√/CD+BD2=√/32+42=5.
AB2=(5V2)2=50,AC2+BC2=52+52=50,.AC2+BC2=AB2,
.△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
:.阴影部分的面积=S△Bc-S△Dac=2X5X5-
1
.13
=—×5×5--×3
×4=
B
C
2
2
A
D
0
B
C
题型3构二倍角
例5如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，若AC=1,求BC的长.
解：如图，作AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,连接AD.
根据垂直平分线的性质，得AD=BD,
∴.∠DAB=∠B=15°，∴.∠ADC=30°.
又.·∠C=90°，AC=1,.AD=2AC=2,CD=W3AC=W3,
.BD=AD=2,..BC=BD+CD=2+3.
A
E
C
B
D
A
C
B
类型3)利用网格构造直角三角形
技巧点拨
正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的
长度问题，一般情况下都是应用勾股定理来进行计算，关键是确定相应的直角三角形
例6如图，在正方形网格中，点A,B,P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA=
45°
B
1.如图，在△ABC中，∠ACB=75°，∠B=60°，
BC=23,则AB的长为3+√3
A
B
2.如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=
150°，则△ABC的面积为1.
A
3.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ADC=
150°，AB=AD=3,BC=5,则CD=4
D
B
C(共21张PPT)
类型
全等和相以中的“一线三等角”模型
例1如图，∠BAC=90°，AD是∠BAC内部一条射线，若
AB=AC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F.求证：△ABE≌
△CAF.
证明：.·∠BAC=90°，.∴.∠CAF+∠BAE=90°.
B
.·BE⊥AD,CF⊥AD,
E
.∠CFA=∠AEB=90°.
∴.∠CAF+∠C=90°，.∴.∠BAE=∠C.
A
又AB=CA,∴.△ABE≌△CAF(AAS).
例2如图，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，且∠BDA
=∠BAC=∠AEC=,若DE=8,BD=
解：6.
B
D
A
E m
例3如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边
的点F处，求证：△ABF∽△FCE.
证明：.·四边形ABCD是矩形，
A
.∠B=∠C=∠D=90°，
E
.∴.∠BAF+∠AFB=90°.
B
由折叠可得∠AFE=∠D=90°，
F
C
.∴.∠AFB+∠CFE=180°-∠AFE=90°，
.∠BAF=∠CFE,..△ABF∽△FCE.
例4如图，在△ABC中，AB=AC,P,D分别是BC,AC边
上的点，且∠APD=∠B.求证：AC·CD=CP·BP.
证明：.AB=AC,.∠B=∠C.
.·∠APD=∠B,..∠APD=∠B=∠C.
.·∠APC=∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD,
B
C
.∴.∠BAP=∠CPD,
P
AB BP
.△ABP∽△PCD,PC
CD
.AB·CD=CP·BP.
.AB=AC,.AC·CD=CP·BP.
模型图示：
同侧型
C
D
C
D
1
2
3
1
2
3
A
B A
P
B
C
2
3
A
P
B
异侧型
C
C
12
1
B
P
3XBA
12
D
D
解题策略：
利用三角形内角和定理、外角的性质
进行等量代换得出相等角.
模型结论：
1.△ACP∽△BPD;
2.若在上述两个三角形中给出一组对
应边相等，则△ACP≌△BPD
类型
2
构建全等和相似中的“一线三等角”模型
例5如图，AB=BC且AB⊥BC,P为线段BC上一点，PA
⊥PD且PA=PD,若∠A=26°，求∠D的度数.
解：如图，过点D作DH⊥BC,交BC的延长线
于点H..·AB⊥BC,DH⊥BC,PA⊥PD,
∴.∠B=∠APD=∠H=90°，
.∠A+∠APB=0°，∠APB+∠DPH=0°，
BE
.∴.∠DPH=∠A=26°.
又.PA=DP,.△ABP≌△PHD(AAS),.AB=PH,PB=DH.
AB=BC,..BC=PH,..BC-PC=PH-PC,PB=CH,
∴.CH=DH,∴.易得∠DCH=45°.
.∠PDC=∠DCH-∠DPH=45°-26°=19°.(共25张PPT)
类型
1
全等和相以中的“手拉手”模型
例1如图，△ADB和△ACE是等腰直角三角形，连接
DC,BE相交于点M.
(1)求证：△ADC≌△ABE;
(2)试判断线段BE与线段CD的数量关系和位置关系，并
证明你的结论，
D
A
E
B
M
C
(1)证明：.·△ADB和△ACE是等腰直角三角形，·.∠DAB=
A
E
∠CAE=0°，AD=AB,AC=AE,∴.∠DAB+∠BAC=∠CAE+
∠BAC,∠DAC=∠BAE.'.△ADC≌△ABE(SAS).
B
M
(2)解：数量关系：BE=CD,位置关系：BE⊥CD.证明如下：
设AB与CD相交于点N.由(1)知，△ADC≌△ABE,∴.BE=CD,∠ADC=
∠ABE..·∠DAB=90°，..∠AND+∠ADC=90°.又.·∠AND=∠BNM,
∴.∠BNM+∠ABE=90°，∴.∠BMN=90°，即BE⊥CD.
例2
(1)如图①，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,
∠ABD=∠ACE.求证：△ABC∽△ADE;
(2)如图②，点C在BD的延长线上，且∠BAC=∠DAE=
90°，∠B=∠ADE.求证：CE⊥BC.
A
E
E
D
B
C
B
证明：(1).·∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,.△ABD∽△ACE,
AB AD
AB AC
。。
ACAE’'ADAE
.·∠BAD=∠CAE,
∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE,
.∴.△ABC∽△ADE.
A
E
D
B
C
1
(2).·∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,
AB AC
AB AD
.△ABC∽△ADE,.
AD
）AE
AC AE
.·∠BAC=∠DAE,.∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE,∴.△ABD∽△ACE,.∠B=∠ACE.
.·∠BAC=90°，∴.∠B+∠ACB=90°，
∴.∠ACE+∠ACB=90°，∴.∠BCE=90°，即CE⊥BC.
A
E
B
D
C
2
E
D
基本
B
C
图形
A
E
D
B
C
A
E
演变
B
C
图形
B
结论
△ABD≌△ACE
A
E
D
B
C
基本
AD:AB=AE:AC=k
图形
A
E
B
D
C
B
演变
A
图形
E
F
GB
四边形ABFC和四边形
ADGE为矩形，AB:AC=AD
:AE
结论
△ABD∽△ACE(共23张PPT)
类型
正方形中含45°半角
例1
如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别在边BC,
CD上，连接AE,AF,EF,∠EAF=45°.试判断BE,EF,DF
之间的数量关系，并说明理由
A
D
F
B
C
E
解：EF=BE+DF.理由：如图，延长CD到点G,使得
DG=BE,连接AG
·四边形ABCD是正方形，
.AB=AD,∠B=∠ADC=90°，
.∠ADG=90°，.∠B=∠ADG.
B
E
C
.△ABE≌△ADG(SAS),
..AE=AG,∠1=∠2.
.·∠EAF=45°，∴.∠1+∠3=45°，
.∠2+∠3=45°，∴.∠EAF=∠GAF.
又.∵AF=AF,∴.△AFE≌△AFG(SAS),
.EF=GF=DG+DF =BE+DF.
模型展示：
如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°.
方法一：延长CB到点G,使BG=DF,
连接AG;
方法二：把△ADF绕点A顺时针旋转
90°得△ABG.
45°
45°
F
B
E
B E
C
模型结论：
)△AEF≌△AEG;
②△AGF是等腰直角三角形；
③EF=BE+DF.
类型2)
等腰直角三角形中含45°半角
例2如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E为BC
上两点，且∠DAE=45°.若BD=2,CE=1,求DE的长.
解：如图，把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得
到△ABG,连接DG,则△ABG≌△ACE.
.AG=AE,BG=CE,∠ABG=∠ACE,
∠BAG=∠CAE.
E
.·∠BAC=90°，AB=AC,
.'.∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=90°，∠ABC=
∠ACB=45°.
A
B
D
E
C
.∴.∠GAD=∠GAE-∠DAE=90°-45°=45°，∠ABG=45°.
..∠DAG=∠DAE.
在△ADG和△ADE中，.'AG=AE,∠DAG=∠DAE,AD=AD,
.∴.△ADG≌△ADE(SAS).∴.DG=DE.
.·∠GBD=∠ABG+∠ABC=90°，
∴.BD+BG=DG2,即BD+CE2=DE2,
所以DE=√/BD2+CE2=/22+12=√5.
A
G
B
D
C
E
模型展示：
如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=
AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°，把
△ABD绕点A逆时针旋转90°得△ACF
45°
45o
B
E
B(共14张PPT)
例1如图，边长为4的正方形ABCD的对角线的交点为O,另一个边长为4的正方形0EFG
绕点O转动，且边OE,OG分别交边BC,CD于点M,N.
(1)求证：△OBM≌△OCN.
(2)设这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分）的面积为S,则S是否为定值？若是，求出
S的值；若不是，请说明理由，
(1)证明：·四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，
∴.易得OB=OC,∠OBM=∠OCN=45°，∠BOC=∠EOG=90°，
B
∴.∠BOC-∠MOC=∠EOG-∠MOC,P∠BOM=∠CON,
E
.△OBM≌△OCN(ASA).
(2)解：S是定值，为4.
例2两个等腰直角三角尺ABC,DEF按如图所示放置，点E
在AC上，点B在DF上，AB交DE于点G,BC交EF于点H.
AE
若GE=2EH,则的值为2·
A
D
G
E
B
H
C
F
思路分析
第一步：依据特征找模型
第二步：抽离模型
第三步：用模型
特征1：是否存在一组对角互补的
过点E分别作EM⊥BG于点M,EN⊥BH
四边形？
交BH的延长线于点N,则△EMG∽
答：存在.四边形BHEG,∠GBH+
△ENIH
E
∠GEH=180°.
G
B
H
M
特征2：是否存在角平分线？
E
答：不存在
B
N
H
1.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC,BD的交点，过点O作OE⊥OF分别交AB,BC于
E,F两点，AE=4,CF=2,则EF的长为25
D
B
B
M
第1题图
第2题图
2.如图，在矩形ABCD中，P为对角线AC的中点，M,N为边BC,CD上的动点，且∠MPW=
64
90°.若AB=6,AD=8,PM=3.2,则PN=
15
B
E
D
A
FC
类型1
“对角互补”模型与全等相结合
1.如图，△ABC是边长为10的等边三角形，D
为AC的中点，E是边AB上一点，连接DE,
作∠EDF=120°，交BC的延长线于点F.若
AE=4BE,则CF的长为
C)
A.1
A
B.2
C.3
E
D.4
B
2.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AD⊥BC
于点D.
(1)如图①，点E,F分别在AB,AC上，且
∠EDF=90°，求证：BE=AF,
(2)如图②，点M在AD的延长线上，点N
在AC上，且∠BMW=90°，求证：AB+AW
=/2AM.
A
A
F
N
E
D
B
D
C
B
C
M
①
2
