19．3 二次根式的加法与减法
第1课时 二次根式的加减
1．了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减运算法则，会用它们进行简单的运算．
2．运用二次根式加减解决问题．
知识点一(拓展) 同类二次根式
1．可以合并的二次根式，即化简后被开方数相同的二次根式被称为同类二次根式．
练习1 下列各式中，属于同类二次根式的是( )．
A．与 B．2与
C．3a与 D．与
知识点二 二次根式的加减
2．一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并．
练习2 (教材P13例1变式)下列各式计算正确的是( )．
A．＋＝ B．4－3＝1
C．5＋＝5 D．＋＝3
基础巩固
1．下列运算正确的是( )．
A．2－＝1 B．＋＝
C．÷＝2 D．×＝4
2．(2025·广州期中)下列二次根式化简后与能合并的是( )．
A． B．
C． D．
3．若5与可以合并，则a的最小正整数值是( )．
A．17 B．7
C．3 D．1
4．计算|2－|＋|4－|的结果是( )．
A．－2 B．2
C．2－6 D．6－2
5．(2025·江门期末)若x＋y＝，x－y＝－3，则x2－y2的值是( )．
A． B．－3
C．－3 D．－6
6．计算：
(1)2－＋3；
(2)－(3＋)；
(3)－－；
(4)＋6x－4x．
7．(2025·汕头期中)如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为( )．
A．3 B．4
C．6 D．8
8．小乐准备完成题目“计算：(■－5)－(－)”时，发现“■”处的数字印刷不清楚．
(1)他把“■”处的数字猜成6，请计算(6－5)－(－)的结果；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是．”通过计算说明原题中“■”是多少．
9．(生活运用)某居民小区有一块长方形绿地ABCD，绿地的长BC为 m，宽AB为 m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为(＋1)m，宽为(－1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？19．3 二次根式的加法与减法
第1课时 二次根式的加减
1．了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减运算法则，会用它们进行简单的运算．
2．运用二次根式加减解决问题．
知识点一(拓展) 同类二次根式
1．可以合并的二次根式，即化简后被开方数相同的二次根式被称为同类二次根式．
练习1 下列各式中，属于同类二次根式的是( C )．
A．与 B．2与
C．3a与 D．与
知识点二 二次根式的加减
2．一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并．
练习2 (教材P13例1变式)下列各式计算正确的是( D )．
A．＋＝ B．4－3＝1
C．5＋＝5 D．＋＝3
基础巩固
1．下列运算正确的是( D )．
A．2－＝1 B．＋＝
C．÷＝2 D．×＝4
2．(2025·广州期中)下列二次根式化简后与能合并的是( D )．
A． B．
C． D．
3．若5与可以合并，则a的最小正整数值是( D )．
A．17 B．7
C．3 D．1
4．计算|2－|＋|4－|的结果是( B )．
A．－2 B．2
C．2－6 D．6－2
5．(2025·江门期末)若x＋y＝，x－y＝－3，则x2－y2的值是( D )．
A． B．－3
C．－3 D．－6
6．计算：
(1)2－＋3；
(2)－(3＋)；
(3)－－；
(4)＋6x－4x．
【答案】(1)＋6 (2)－ (3) (4)－x
能力达标
7．(2025·汕头期中)如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为( C )．
A．3 B．4
C．6 D．8
8．小乐准备完成题目“计算：(■－5)－(－)”时，发现“■”处的数字印刷不清楚．
(1)他把“■”处的数字猜成6，请计算(6－5)－(－)的结果；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是．”通过计算说明原题中“■”是多少．
【答案】(1)0 (2)
挑战创新
9．(生活运用)某居民小区有一块长方形绿地ABCD，绿地的长BC为 m，宽AB为 m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为(＋1)m，宽为(－1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【解】(1)因为长方形ABCD的长BC为 m，宽AB为 m，
所以长方形ABCD的周长为2(＋)＝2(9＋8)＝34(m)．
答：长方形ABCD的周长是34 m．
(2)由题意，知[×－(＋1)×(－1)]×5＝(144－12)×5＝660(元)．
答：购买地砖需要花费660元．第2课时 二次根式的混合运算
1．会用二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算．
2．掌握二次根式的多项式乘法公式的应用．
知识点一 二次根式的混合运算
1．二次根式的混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．
练习1 (2025·东莞月考)计算：(－2)×5＋÷－()0．
2．(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．
练习2 (教材P15例5变式)计算：(1－2)2－(2－)(2＋)．
1．计算－(＋)得( )．
A．－2 B．－2－
C．－2 D．－3
2．计算：(＋)(－)＝________．
3．化简×＋的结果是________．
4．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最终输出的结果是________．
5．计算：
(1)；
(2)(＋)(－)；
(3)(＋3)2．
6．计算：
(1)÷－|3－|＋×；
(2)(2－1)2＋(4－)(4＋)．
7．(2025·东莞期中)已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值：
(1)x2＋2xy＋y2； (2)x2－y2．
8．(阅读理解)[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：×＝2，(＋1)×(－1)＝2，我们称和互为有理化因式，＋1和－1互为有理化因式．
(1)的有理化因式是________(写出一个即可)，2－的有理化因式是________(写出一个即可)；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化．
(2)利用分母有理化化简：＋＋＋…＋．
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫作分子有理化．
比如：－＝＝．
(3)试利用分子有理化比较－和－的大小．第2课时 二次根式的混合运算
1．会用二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算．
2．掌握二次根式的多项式乘法公式的应用．
知识点一 二次根式的混合运算
1．二次根式的混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．
练习1 (2025·东莞月考)计算：(－2)×5＋÷－()0．
【答案】－9
知识点二 利用乘法法则和乘法公式运算
2．(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．
练习2 (教材P15例5变式)计算：(1－2)2－(2－)(2＋)．
【答案】12－4
知识点三 求有关二次根式的代数式的值
练习3 已知x＝＋1，求代数式(3－2)x2＋(－1)x－2的值．
【答案】0
基础巩固
1．计算－(＋)得( B )．
A．－2 B．－2－
C．－2 D．－3
2．计算：(＋)(－)＝________．
【答案】4
3．化简×＋的结果是________．
【答案】5
4．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最终输出的结果是________．
【答案】8＋5
5．计算：
(1)；
(2)(＋)(－)；
(3)(＋3)2．
【答案】(1)
(2)－1
(3)23＋6
能力达标
6．计算：
(1)÷－|3－|＋×；
(2)(2－1)2＋(4－)(4＋)．
【答案】(1)－3
(2)19－4
7．(2025·东莞期中)已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值：
(1)x2＋2xy＋y2； (2)x2－y2．
【答案】(1)12 (2)4
挑战创新
8．(阅读理解)[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：×＝2，(＋1)×(－1)＝2，我们称和互为有理化因式，＋1和－1互为有理化因式．
(1)的有理化因式是________(写出一个即可)，2－的有理化因式是________(写出一个即可)；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化．
(2)利用分母有理化化简：＋＋＋…＋．
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫作分子有理化．
比如：－＝＝．
(3)试利用分子有理化比较－和－的大小．
【答案】(1) 2＋
(2)－1
(3)－＞－
