第2课时 勾股定理的实际应用
1．能运用勾股定理解决一些简单的实际问题．
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想．
知识点一 利用勾股定理解决实际问题
练习1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙两轮船同时离开港口，甲船沿北偏西40°方向航行，乙船沿北偏东50°方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12 n mile和16 n mile，1小时后两船分别位于点A，B处，则两船相距 n mile．
知识点二 构造直角三角形解决实际问题
练习2 如图，有两棵树，一棵树高AC是10 m，另一棵树高BD是4 m，两树相距8 m(即CD＝8 m)，一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行 m．
基础巩固
1．(2025·江门期末)如图，强台风时一棵大树在距离地面5 m的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为12 m，则这棵大树折断前的高度为( )．
A．13 m B．15 m
C．17 m D．18 m
2．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了( )的路，却踩伤了花草．
A．5 m B．4 m
C．3 m D．2 m
3．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2．5 m，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1．6 m的学生CD正对着门，缓慢走到离门1．2 m的地方时(BC＝1．2 m)，感应门才自动打开，则该生头顶离感应器的距离AD＝________m．
4．(2025·汕头期末)如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为________．
5．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2．5 m，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端点B距点C的距离为1．5 m，当端点B向右移动0．5 m时，滑竿顶端A下滑________m．
6．(2025·南沙期末)小明和小亮为了测得风筝的垂直高度CE，进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15 m；②通过手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 m；③牵线放风筝的小明的身高为1．7 m．求风筝的垂直高度CE．
7．(2025·惠州月考)【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们应用它解决了很多生活中的实际问题．
【小试牛刀】
(1)如图，铁路上A，B两点(看作直线上的两点)相距24 km，C，D为两个村庄(看作两个点)，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝23 km，BC＝16 km，则两个村庄的距离为多少千米？
(2)在(1)的背景下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的长．
【知识迁移】
(3)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式＋的最小值．20．1 勾股定理及其应用
第1课时 勾股定理
1．探索勾股定理．
2．掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理．
3．培养在实际生活中发现问题、总结规律的意识和能力．
知识点一 勾股定理
1．(1)如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ；
(2)在勾股定理的关系式a2＋b2＝c2中，已知任意两边长，可以求第三边长，如：已知b，c，求a，则a＝ ．
练习1 (教材P25例1变式)在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
(1)若b＝2，c＝3，则a＝ ；
(2)若a∶c＝3∶5，b＝32，则a＝ ，c＝ ．
知识点二 勾股定理的证明
练习2 题图是美国总统伽菲尔德(Garfield)给出的一种验证勾股定理的办法，请利用它证明勾股定理．(提示：图中三个三角形均是直角三角形)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．若a＝12，b＝16，则c为( )．
A．26 B．18
C．20 D．21
2．(2025·东莞期中)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A，B都是格点(即网格线的交点)，则线段AB的长度为( )．
A．3 B．5
C．6 D．4
3．(2025·广州期中)已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长是( )．
A．5 B．7
C．5或 D．7或
4．(2025·珠海期中)如图，点C在数轴上表示的数为2，过点C作数轴的垂线段BC，且BC＝1，以原点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴于点A，则点A表示的数是________．
5．如图，直线l上有三个正方形A，B，C．若A，C的面积分别为5和11，则B的面积为________．
6．如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，BE＝8，则阴影部分的面积是________．
7．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2＋BC2＋AC2的值为________．
8．(2025·惠州期末)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测量校园内旗杆的高度
测量工具 皮尺等
模型抽象 注：线段PQ表示旗杆，PQ垂直地面于点Q．
测绘过程 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE，用皮尺量出QE的长度．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出QF的长度．
数据信息 图①中QE的长度为3 m；图②中QF的长度为9 m．
请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度．第3课时 用勾股定理作无理线段
1．会用勾股定理解决较综合的问题．
2．树立数形结合的思想．
知识点一 用勾股定理作无理线段
练习1 (教材P28探究变式)在数轴上作出表示2的点．(保留作图痕迹，不写作法)
1．在直角坐标系中，点P(2，－3)到原点的距离是( )．
A． B．
C． D．2
2．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，则△ABC的面积为( )．
A．12 B．24
C．10 D．20
3．(2025·广州期中)如图，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于点A，且AB＝1，以O为圆心，以OB为半径画圆，交数轴于点C，则OC的长为( )．
A． B．
C． D．3
4．(2024·汕头期末)如图，在数轴上找出表示数字2的点D，过点D作CD垂直于数轴，且CD＝3，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴于原点右侧一点，则该点大致位于数轴上的( )．
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
能力达标
5．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，A，B为格点，在如图所示的网格中求作一点C，使得CA＝AB且△ABC的面积为，则此时BC的长为________．
6．下图是单位长度为1的正方形网格．
(1)在图1中画出一条长度为的线段AB；
(2)在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
图1 图2
7．(阅读理解)阅读下列材料：
如图1，在2×2的正方形网格纸中，有一个正方形ABCD，这个正方形的面积S1可以利用“割补法”进行计算，就是用4个小正方形的面积减去正方形ABCD周边4个直角三角形的面积，即S1＝12×4－×1×1×4＝2，从而得到正方形ABCD的边长为AB＝＝．
注：在图1、图2、图3的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
(1)利用上述方法，求出图2中正方形EFGH的边EF的长；
(2)如图3，在7×7的正方形网格纸中，两个格点M，N之间的距离为a，试判断a是有理数还是无理数，并说明理由．第3课时 用勾股定理作无理线段
1．会用勾股定理解决较综合的问题．
2．树立数形结合的思想．
知识点一 用勾股定理作无理线段
练习1 (教材P28探究变式)在数轴上作出表示2的点．(保留作图痕迹，不写作法)
【解】所画图形如图所示，其中点A即为所求．
知识点二 勾股定理在网格中的应用
练习2 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC和△A1B1C1关于直线m对称．
(1)请在图中把△ABC和△A1B1C1补充完整；
(2)求线段A1C1的长．
【答案】(1)略 (2)2
基础巩固
1．在直角坐标系中，点P(2，－3)到原点的距离是( C )．
A． B．
C． D．2
2．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，则△ABC的面积为( A )．
A．12 B．24
C．10 D．20
3．(2025·广州期中)如图，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于点A，且AB＝1，以O为圆心，以OB为半径画圆，交数轴于点C，则OC的长为( A )．
A． B．
C． D．3
4．(2024·汕头期末)如图，在数轴上找出表示数字2的点D，过点D作CD垂直于数轴，且CD＝3，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴于原点右侧一点，则该点大致位于数轴上的( B )．
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
能力达标
5．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，A，B为格点，在如图所示的网格中求作一点C，使得CA＝AB且△ABC的面积为，则此时BC的长为________．
【答案】
6．下图是单位长度为1的正方形网格．
(1)在图1中画出一条长度为的线段AB；
(2)在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
图1 图2
【解】(1)如图1．(答案不唯一)
图1
(2)如图2．(答案不唯一)
图2
挑战创新
7．(阅读理解)阅读下列材料：
如图1，在2×2的正方形网格纸中，有一个正方形ABCD，这个正方形的面积S1可以利用“割补法”进行计算，就是用4个小正方形的面积减去正方形ABCD周边4个直角三角形的面积，即S1＝12×4－×1×1×4＝2，从而得到正方形ABCD的边长为AB＝＝．
注：在图1、图2、图3的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
(1)利用上述方法，求出图2中正方形EFGH的边EF的长；
(2)如图3，在7×7的正方形网格纸中，两个格点M，N之间的距离为a，试判断a是有理数还是无理数，并说明理由．
【解】(1)令正方形EFGH的面积为S，
则S＝32－×1×2×4＝9－4＝5，
所以正方形EFGH的边长EF＝＝．
(2)a为有理数．理由如下：
因为MN＝＝＝＝5，5是有理数，
所以a是有理数．20．1 勾股定理及其应用
第1课时 勾股定理
1．探索勾股定理．
2．掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理．
3．培养在实际生活中发现问题、总结规律的意识和能力．
知识点一 勾股定理
1．(1)如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2；
(2)在勾股定理的关系式a2＋b2＝c2中，已知任意两边长，可以求第三边长，如：已知b，c，求a，则a＝．
练习1 (教材P25例1变式)在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
(1)若b＝2，c＝3，则a＝；
(2)若a∶c＝3∶5，b＝32，则a＝24，c＝40．
知识点二 勾股定理的证明
练习2 题图是美国总统伽菲尔德(Garfield)给出的一种验证勾股定理的办法，请利用它证明勾股定理．(提示：图中三个三角形均是直角三角形)
【证明】这个梯形的两底分别为a，b，高是(a＋b)，
所以梯形的面积＝(a＋b)(a＋b)＝·(a＋b)2．
又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
所以梯形的面积＝ab＋ab＋c2＝ab＋c2．
所以(a＋b)2＝ab＋c2．
即a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2，
所以a2＋b2＝c2．
基础巩固
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．若a＝12，b＝16，则c为( C )．
A．26 B．18
C．20 D．21
2．(2025·东莞期中)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A，B都是格点(即网格线的交点)，则线段AB的长度为( B )．
A．3 B．5
C．6 D．4
3．(2025·广州期中)已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长是( C )．
A．5 B．7
C．5或 D．7或
4．(2025·珠海期中)如图，点C在数轴上表示的数为2，过点C作数轴的垂线段BC，且BC＝1，以原点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴于点A，则点A表示的数是________．
【答案】－
5．如图，直线l上有三个正方形A，B，C．若A，C的面积分别为5和11，则B的面积为________．
【答案】16
能力达标
6．如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，BE＝8，则阴影部分的面积是________．
【答案】76
7．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2＋BC2＋AC2的值为________．
【答案】18
挑战创新
8．(2025·惠州期末)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测量校园内旗杆的高度
测量工具 皮尺等
模型抽象 注：线段PQ表示旗杆，PQ垂直地面于点Q．
测绘过程 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE，用皮尺量出QE的长度．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出QF的长度．
数据信息 图①中QE的长度为3 m；图②中QF的长度为9 m．
请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度．
【解】设学校旗杆的高度为x m，则题图②中，PQ＝x m，QF＝9 m，PF＝(x＋3)m．
在Rt△PQF中，
由勾股定理，得PQ2＋QF2＝PF2．
所以x2＋92＝(x＋3)2．
解得x＝12．
答：学校旗杆的高度为12 m．第2课时 勾股定理的实际应用
1．能运用勾股定理解决一些简单的实际问题．
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想．
知识点一 利用勾股定理解决实际问题
练习1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙两轮船同时离开港口，甲船沿北偏西40°方向航行，乙船沿北偏东50°方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12 n mile和16 n mile，1小时后两船分别位于点A，B处，则两船相距20 n mile．
知识点二 构造直角三角形解决实际问题
练习2 如图，有两棵树，一棵树高AC是10 m，另一棵树高BD是4 m，两树相距8 m(即CD＝8 m)，一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行10 m．
基础巩固
1．(2025·江门期末)如图，强台风时一棵大树在距离地面5 m的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为12 m，则这棵大树折断前的高度为( D )．
A．13 m B．15 m
C．17 m D．18 m
2．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了( B )的路，却踩伤了花草．
A．5 m B．4 m
C．3 m D．2 m
3．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2．5 m，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1．6 m的学生CD正对着门，缓慢走到离门1．2 m的地方时(BC＝1．2 m)，感应门才自动打开，则该生头顶离感应器的距离AD＝________m．
【答案】1．5
4．(2025·汕头期末)如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为________．
【答案】24
能力达标
5．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2．5 m，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端点B距点C的距离为1．5 m，当端点B向右移动0．5 m时，滑竿顶端A下滑________m．
【答案】0．5
6．(2025·南沙期末)小明和小亮为了测得风筝的垂直高度CE，进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15 m；②通过手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 m；③牵线放风筝的小明的身高为1．7 m．求风筝的垂直高度CE．
【答案】21．7 m
挑战创新
7．(2025·惠州月考)【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们应用它解决了很多生活中的实际问题．
【小试牛刀】
(1)如图，铁路上A，B两点(看作直线上的两点)相距24 km，C，D为两个村庄(看作两个点)，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝23 km，BC＝16 km，则两个村庄的距离为多少千米？
(2)在(1)的背景下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的长．
【知识迁移】
(3)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式＋的最小值．
【答案】(1)25 km (2)6．312 5 km (3)20
