20．2 勾股定理的逆定理及其应用
1．了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．
2．探索勾股定理的逆定理．
3．能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题．
知识点一 勾股定理的逆定理
1．如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．我们把这个定理叫作勾股定理的逆定理．
练习1 (教材P35例1变式)如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个△ABC，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是( A )．
知识点二 勾股数
2．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
练习2 (2025·惠州期中)下列各组数中是勾股数的是( A )．
A．5，12，13 B．1，1，
C．2，2，3 D．，，
知识点三 勾股定理逆定理的实际应用
练习3 在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，A舰艇以12 n mile/h的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行；同时，B舰艇从港口O以16 n mile/h的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示．离开港口5 h后两船相距100 n mile，则B舰艇的航行方向是北偏东40°．
基础巩固
1．(2025·东莞期中)长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是( C )．
A．1，2，3 B．3，5，7
C．6，8，10 D．4，5，6
2．△ABC的三边长a，b，c满足：(a－1)2＋＋|c－|＝0，则△ABC的形状为( D )．
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
3．(2025·惠州月考)已知△ABC的三边长分别为，，2，则△ABC的面积为________．
【答案】
能力达标
4．若一个三角形三边的长度之比为3∶4∶5，且周长为60 cm，则它的面积是________cm2．
【答案】150
5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD为△ABC的角平分线，则CD＝________．
【答案】3
6．(2025·广州期中)在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝2．
(1)求AC和AB的长度；
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)AC＝2，AB＝
(2)2＋
挑战创新
7．(2025·广东)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．
3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181
4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29
5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35
6,8,10 10,____26 14,48,50 18,80,82 22,120,122
(1)请补全上表中的勾股数．
(2)根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．
(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1 m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
【解】(1)24
(2)由题意，得a＝k(m2－n2)，b＝2kmn，c＝k(m2＋n2)，其中k，m，n都是正整数，m＞n．证明略．
(3)由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示．
设AC＜BC，即直角三角形中最短边为AC．
因为仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1 m，三角形最短边种21株花，
所以AC＝20 m．
由题意可知，BC最小为21 m，那么AB＝
＝＝29(m)，
那么这块绿地最少需要种植(20＋21＋29)×4＝280(株)花．20．2 勾股定理的逆定理及其应用
1．了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．
2．探索勾股定理的逆定理．
3．能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题．
知识点一 勾股定理的逆定理
1．如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是 三角形．我们把这个定理叫作 ．
练习1 (教材P35例1变式)如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个△ABC，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是( )．
知识点二 勾股数
2．满足a2＋b2＝c2的三个 数，称为勾股数．
练习2 (2025·惠州期中)下列各组数中是勾股数的是( )．
A．5，12，13 B．1，1，
C．2，2，3 D．，，
知识点三 勾股定理逆定理的实际应用
练习3 在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，A舰艇以12 n mile/h的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行；同时，B舰艇从港口O以16 n mile/h的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示．离开港口5 h后两船相距100 n mile，则B舰艇的航行方向是 ．
基础巩固
1．(2025·东莞期中)长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是( )．
A．1，2，3 B．3，5，7
C．6，8，10 D．4，5，6
2．△ABC的三边长a，b，c满足：(a－1)2＋＋|c－|＝0，则△ABC的形状为( )．
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
3．(2025·惠州月考)已知△ABC的三边长分别为，，2，则△ABC的面积为________．
4．若一个三角形三边的长度之比为3∶4∶5，且周长为60 cm，则它的面积是________cm2．
5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD为△ABC的角平分线，则CD＝________．
6．(2025·广州期中)在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝2．
(1)求AC和AB的长度；
(2)求四边形ABCD的面积．
7．(2025·广东)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．
3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181
4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29
5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35
6,8,10 10,____26 14,48,50 18,80,82 22,120,122
(1)请补全上表中的勾股数．
(2)根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．
(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1 m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
