21．1．2 多边形及其内角和
1．了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线．
2．探索并掌握多边形内角和与外角和公式．
知识点一 多边形及其相关概念
1．(1)在平面内，由n(n≥3)条线段 ，组成的图形叫作多边形．多边形有几条边就叫作 ．与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形．今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形．
(2)我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形这样，各个角都 、各条边都 的多边形叫作正多边形．
练习1 如图，其中属于多边形的是( )．
① ② ③ ④ ⑤
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．②④⑤
知识点二 多边形的对角线
2．一般地， 从n边形的一个顶点出发，可以作 条对角线．
练习2 若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为 ．
知识点三 多边形的内角和
3．n边形的内角和等于 ．
练习3 (教材P50探究变式)一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ．
知识点四 多边形的外角和
4．多边形的外角和等于 ．
练习4 如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3＝ °．
基础巩固
1．对于正多边形，下列说法正确的是( )．
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形的边都相等，内角都相等
C．各角相等的多边形是正多边形
D．由多个正多边形拼成的多边形是正多边形
2．下图是一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是________．
3．已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引________条对角线．
4．要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条……按这个规律，要使n边形木架不变形至少要再钉________(用n表示，n为大于3的整数)根木条．
5．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝________°．
6．如图，五边形ABCDE为正五边形，AF∥DG，若∠2＝20°，则∠1＝________°．
7．【阅读材料】如图1，四边形ABCD是凸四边形，探索其内角和的方法是：连接对角线AC，则四边形ABCD的内角和就转化为△ABC和△ADC的内角和，为360°．
【解决问题】如图2，四边形ABCD不是凸四边形，请探究∠BDC(∠BDC<180°)与∠B，∠C，∠BAC三个角之间的数量关系．佳佳得出的结论是∠BDC＝∠B＋∠BAC＋∠C．她的证明如下．
证明：连接AD并延长AD到点E．
请你将佳佳的证明过程补充完整．21．1．2 多边形及其内角和
1．了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线．
2．探索并掌握多边形内角和与外角和公式．
知识点一 多边形及其相关概念
1．(1)在平面内，由n(n≥3)条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形．多边形有几条边就叫作几边形．与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形．今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形．
(2)我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形．
练习1 如图，其中属于多边形的是( C )．
① ② ③ ④ ⑤
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．②④⑤
知识点二 多边形的对角线
2．一般地， 从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线．
练习2 若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为14．
知识点三 多边形的内角和
3．n边形的内角和等于(n－2)×180°．
练习3 (教材P50探究变式)一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是6．
知识点四 多边形的外角和
4．多边形的外角和等于360°．
练习4 如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3＝180°．
基础巩固
1．对于正多边形，下列说法正确的是( B )．
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形的边都相等，内角都相等
C．各角相等的多边形是正多边形
D．由多个正多边形拼成的多边形是正多边形
2．下图是一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是________．
【答案】12
3．已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引________条对角线．
【答案】7
4．要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条……按这个规律，要使n边形木架不变形至少要再钉________(用n表示，n为大于3的整数)根木条．
【答案】n－3
能力达标
5．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝________°．
【答案】150
6．如图，五边形ABCDE为正五边形，AF∥DG，若∠2＝20°，则∠1＝________°．
【答案】56
挑战创新
7．【阅读材料】如图1，四边形ABCD是凸四边形，探索其内角和的方法是：连接对角线AC，则四边形ABCD的内角和就转化为△ABC和△ADC的内角和，为360°．
【解决问题】如图2，四边形ABCD不是凸四边形，请探究∠BDC(∠BDC<180°)与∠B，∠C，∠BAC三个角之间的数量关系．佳佳得出的结论是∠BDC＝∠B＋∠BAC＋∠C．她的证明如下．
证明：连接AD并延长AD到点E．
请你将佳佳的证明过程补充完整．
【证明】连接AD并延长AD到点E，则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角，
所以∠BDE＝∠B＋∠BAD，∠CDE＝∠C＋∠CAD．
因为∠BDC＝∠BDE＋∠CDE，
所以∠BDC＝∠B＋∠BAD＋∠C＋∠CAD．
因为∠BAC＝∠BAD＋∠CAD，
所以∠BDC＝∠B＋∠BAC＋∠C．
