21．2 平行四边形
21．2．1 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形“边角”的性质
1．理解平行四边形的概念．
2．探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等．
知识点一 平行四边形的定义
1．两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
练习1 如图，在 ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，则图中平行四边形共有( D )．
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
知识点二 平行四边形“边角”的性质
2．平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．
练习2 (教材P56探究变式)如图，在 ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N．
(1)若∠B＝45°，求∠MCN的大小；
(2)若 ABCD的周长等于15，CM＝2，CN＝3，求AB，AD的长．
【答案】(1)45° (2)AB＝3，AD＝4．5
基础巩固
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝50°，那么∠A等于( D )．
A．45° B．135°
C．50° D．130°
2．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝65°，则∠DAE等于( B )．
A．15° B．25°
C．35° D．65°
3．(2025·惠州二模)如图，在 ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝________．
【答案】5
4．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处．若∠1＝60°，∠2＝40°，则∠A的度数为________．
【答案】110°
能力达标
5．(2025·黄埔二模)如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝8，AB＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE＝________．
【答案】3
6．如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接BF，DE．求证：DE＝BF，DE∥BF．
【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD＝BC，AD∥BC．
所以∠DAE＝∠BCF．
在△ADE和△CBF中，
所以△ADE≌△CBF(SAS)．
所以∠AED＝∠CFB，DE＝BF．
所以∠DEC＝∠BFA．
所以DE∥BF．
挑战创新
7．(2025·梅州期末)追本溯源：
题(1)来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2)．
(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．
图1
方法应用：
(2)如图2，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G．
图2
①图中一定是等腰三角形的有( )．
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．
【解】(1)△BDE是等腰三角形．理由略．
(2)①B
②因为 ABCD中，AB＝3，BC＝5，
所以AB＝CD＝3，BC＝AD＝5．
由①，得DA＝DF，
所以CF＝DF－CD＝5－3＝2．第2课时 平行四边形对角线的性质
1．探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分．
2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题．
3．理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离．
知识点一 平行四边形对角线的性质
1．平行四边形的对角线 ．
练习1 (教材P56探究变式)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果AC＝8，BD＝14，AB＝x，那么x的取值范围是 ．
知识点二 平行四边形的面积
2．平行四边形的面积等于 ．
练习2 ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若△AOB的面积为3，则△ABC的面积为 ， ABCD的面积为 ．
知识点三 平行线之间的距离
3．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条 ．
练习3 如图，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中，△ABC的面积( )．
A．变大 B．变小
C．不变 D．无法确定
基础巩固
1．在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，若一边上的高为4，则该平行四边形的面积为( )．
A．20 B．16
C．15 D．12
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝14，BD＝20，AB＝11，则△COD的周长是( )．
A．28 B．29
C．30 D．31
3．(2025·肇庆期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，已知∠BAD＝135°，BC＝2AB＝6，过点O作直线PQ，分别交AB，CD于点P，Q，则阴影部分的面积为( )．
A． B．18
C． D．
4．(2024·汕头期末)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点E．若AB＝5 cm，△ABE的周长比△CBE的周长小3 cm，则AD的长度为________cm．
5．以 ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为(－2，1)，则C点坐标为________．
6．平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为________．(写出一个即可)
7．(2025·惠州月考)如图，以 ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点H．
(1)求证：CB＝CH；
(2)若AB＝4，AG＝2GD，∠ABC＝60°，求△BCH的面积．
挑战创新
8．(推理能力) ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
(1)如图1，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F，求证：OE＝OF．
(2)如图2，若过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？
21．2 平行四边形
21．2．1 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形“边角”的性质
1．理解平行四边形的概念．
2．探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等．
知识点一 平行四边形的定义
1．两组对边分别 的四边形叫作平行四边形．
练习1 如图，在 ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，则图中平行四边形共有( )．
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
知识点二 平行四边形“边角”的性质
2．平行四边形的对边 ；平行四边形的对角 ．
练习2 (教材P56探究变式)如图，在 ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N．
(1)若∠B＝45°，求∠MCN的大小；
(2)若 ABCD的周长等于15，CM＝2，CN＝3，求AB，AD的长．
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝50°，那么∠A等于( )．
A．45° B．135°
C．50° D．130°
2．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝65°，则∠DAE等于( )．
A．15° B．25°
C．35° D．65°
3．(2025·惠州二模)如图，在 ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝________．
4．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处．若∠1＝60°，∠2＝40°，则∠A的度数为________．
5．(2025·黄埔二模)如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝8，AB＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE＝________．
6．如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接BF，DE．求证：DE＝BF，DE∥BF．
7．(2025·梅州期末)追本溯源：
题(1)来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2)．
(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．
图1
方法应用：
(2)如图2，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G．
图2
①图中一定是等腰三角形的有( )．
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．第2课时 平行四边形对角线的性质
1．探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分．
2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题．
3．理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离．
知识点一 平行四边形对角线的性质
1．平行四边形的对角线互相平分．
练习1 (教材P56探究变式)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果AC＝8，BD＝14，AB＝x，那么x的取值范围是3＜x＜11．
知识点二 平行四边形的面积
2．平行四边形的面积等于底×高．
练习2 ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若△AOB的面积为3，则△ABC的面积为6， ABCD的面积为12．
知识点三 平行线之间的距离
3．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离．
练习3 如图，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中，△ABC的面积( C )．
A．变大 B．变小
C．不变 D．无法确定
基础巩固
1．在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，若一边上的高为4，则该平行四边形的面积为( D )．
A．20 B．16
C．15 D．12
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝14，BD＝20，AB＝11，则△COD的周长是( A )．
A．28 B．29
C．30 D．31
3．(2025·肇庆期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，已知∠BAD＝135°，BC＝2AB＝6，过点O作直线PQ，分别交AB，CD于点P，Q，则阴影部分的面积为( C )．
A． B．18
C． D．
4．(2024·汕头期末)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点E．若AB＝5 cm，△ABE的周长比△CBE的周长小3 cm，则AD的长度为________cm．
【答案】8
5．以 ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为(－2，1)，则C点坐标为________．
【答案】(2，－1)
能力达标
6．平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为________．(写出一个即可)
【答案】2(答案不唯一)
7．(2025·惠州月考)如图，以 ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点H．
(1)求证：CB＝CH；
(2)若AB＝4，AG＝2GD，∠ABC＝60°，求△BCH的面积．
(1)证明：由作图步骤可得，BG平分∠ABC，
所以∠1＝∠2．
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD．
所以∠1＝∠H．
所以∠H＝∠2．
所以CB＝CH．
(2)9
挑战创新
8．(推理能力) ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
(1)如图1，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F，求证：OE＝OF．
(2)如图2，若过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？
【解】(1)证明：因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AD∥BC，OA＝OC．
所以∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO．
所以△AEO≌△CFO(AAS)．
所以OE＝OF．
(2)能得到(1)中的结论．
一般性结论：过平行四边形的对角线的交点O作一条直线，分别与平行四边形相对的两边或其延长线相交于E，F两点，
则OE＝OF．
