第2课时 利用一组对边判定平行四边形
1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．
知识点一 用一组对边平行且相等判定平行四边形
练习1 (教材P62例5变式)下图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是( B )．
因为∠A＋∠D＝180°， 所以AB∥CD． 又因为( )， 所以四边形ABCD是平行四边形．
A．∠B＋∠C＝180° B．AB＝CD
C．∠A＝∠B D．AD＝BC
知识点二 平行四边形性质与判定的综合应用
练习2 如图，已知在 ABCD中，M，N是对角线BD的三等分点．连接AM，AN，CM，CN．
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)若AM⊥BD，AD＝13，BD＝18，求CD的长．
(1)证明：如图，连接AC交BD于点O．
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA＝OC，OB＝OD．
因为M，N是对角线BD的三等分点，
所以BM＝DN＝BD．
所以OB－BM＝OD－DN．
所以OM＝ON．
所以四边形AMCN是平行四边形．
(2)
基础巩固
1．(2025·广州期中)已知四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( B )．
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AD∥BC D．∠A＋∠B＝180°
2．(2025·汕头期中)观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是( A )．
①②③
A．只有③ B．只有②
C．①② D．①②③
3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，当四边形AEFC是平行四边形时，运动时间为________s．
【答案】6
4．在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，连接CF．下列条件：①BD∥CF；②DF＝BC；③BD＝CF；④∠B＝∠F中，能使四边形BCFD是平行四边形的是________(填上所有符合要求的条件的序号)．
【答案】①②④
能力达标
5．(2025·惠州期中)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F是直线BD上的两点，且DE＝BF．
(1)求证：AE＝CF．
(2)连接AF，CE，则四边形AFCE是平行四边形吗？请说明理由．
(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，AD＝BC．
所以∠ADB＝∠CBD．
所以∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
所以△ADE≌△CBF(SAS)．
所以AE＝CF．
(2)解：四边形AFCE是平行四边形．理由如下：
如图，连接AF，CE．
因为△ADE≌△CBF，
所以∠AED＝∠CFB．
所以AE∥CF．
因为AE＝CF，
所以四边形AFCE是平行四边形．
挑战创新
6．(学习探究)综合实践课上，老师让同学们开展了 ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将 ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′．
(1)【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4＋2，求EC的长；
(2)【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形．
【答案】(1)2
(2)证明：由折叠的性质知∠CEF＝∠C′EF，∠EFD＝∠EFD′．
由 ABCD，得AD∥BC，∠D＝∠B，
所以∠CEF＋∠EFD＝180°．
所以∠C′EF＋∠EFD′＝180°．
所以C′E∥D′F．
所以∠BC′E＝∠D′＝∠D＝∠B．
所以BE＝C′E＝CE．
所以C′E＝BC．
因为AD∥BC，点D′在BA的延长线上，
所以∠B＝∠D′AF＝∠D′．
所以AF＝D′F＝DF．
所以D′F＝AD．
因为AD＝BC，
所以C′E＝D′F．
又因为C′E∥D′F，
所以四边形EC′D′F是平行四边形．21．2．2 平行四边形的判定
第1课时 利用边、对角线判定平行四边形
1．理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
知识点一 用两组对边分别平行判定平行四边形
练习1 在四边形ABCD中，AD∥BC，要判定四边形ABCD是平行四边形，那么还需满足( )．
A．∠B＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠C＝180°
知识点二 用两组对边分别相等判定平行四边形
练习2 在四边形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，CD＝3，要使该四边形是平行四边形，则AD的长为( )．
A．3 B．4
C．5 D．6
知识点三 用两组对角分别相等判定平行四边形
练习3 下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )．
A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶3
C．2∶3∶2∶3 D．2∶3∶3∶2
知识点四 用对角线互相平分判定平行四边形
练习4 (教材P60例4变式)如图，在四边形ABCD中，如果AC＝10 cm，BD＝8 cm，AC与BD相交于点O，那么当AO＝5 cm，BO＝4 cm时，四边形ABCD为平行四边形，因为对角线互相平分的四边形是平行四边形．
基础巩固
1．下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是( )．
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠B＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
2．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D满足下列条件( )能判定四边形ABCD是平行四边形．
A．2∶3∶6∶7 B．4∶5∶4∶5
C．1∶2∶3∶4 D．3∶5∶7∶9
3．如图，C为线段AB上一动点(不与点A，B重合)，分别以AC，BC为边在AB同侧构造等边三角形ACD和等边三角形BCE，延长AD，BE交于点F．若AB＝3，则四边形CEFD的周长为________．
4．如图，先以△ABC的顶点A为圆心，BC的长为半径画弧；再以顶点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，CD．若∠B＝65°，则∠ADC的度数为________．
5．(2025·广州期中)如图，四边形ABCD中，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)求BC的长和四边形ABCD的面积；
(3)求点D到线段AB的距离．
挑战创新
6．(2025·江门二模)如图，在△ABC中，E为BC的中点，DE∥AC交AB于点D．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ADG，使∠ADG＝∠B，且射线DG交AC于点F(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)试判断(1)中得到的四边形CEDF的形状，并说明理由．第2课时 利用一组对边判定平行四边形
1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．
知识点一 用一组对边平行且相等判定平行四边形
练习1 (教材P62例5变式)下图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是( )．
因为∠A＋∠D＝180°， 所以AB∥CD． 又因为( )， 所以四边形ABCD是平行四边形．
A．∠B＋∠C＝180° B．AB＝CD
C．∠A＝∠B D．AD＝BC
知识点二 平行四边形性质与判定的综合应用
练习2 如图，已知在 ABCD中，M，N是对角线BD的三等分点．连接AM，AN，CM，CN．
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)若AM⊥BD，AD＝13，BD＝18，求CD的长．
基础巩固
1．(2025·广州期中)已知四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )．
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AD∥BC D．∠A＋∠B＝180°
2．(2025·汕头期中)观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是( )．
①②③
A．只有③ B．只有②
C．①② D．①②③
3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，当四边形AEFC是平行四边形时，运动时间为________s．
4．在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，连接CF．下列条件：①BD∥CF；②DF＝BC；③BD＝CF；④∠B＝∠F中，能使四边形BCFD是平行四边形的是________(填上所有符合要求的条件的序号)．
5．(2025·惠州期中)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F是直线BD上的两点，且DE＝BF．
(1)求证：AE＝CF．
(2)连接AF，CE，则四边形AFCE是平行四边形吗？请说明理由．
挑战创新
6．(学习探究)综合实践课上，老师让同学们开展了 ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将 ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′．
(1)【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4＋2，求EC的长；
(2)【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形．
21．2．2 平行四边形的判定
第1课时 利用边、对角线判定平行四边形
1．理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
知识点一 用两组对边分别平行判定平行四边形
练习1 在四边形ABCD中，AD∥BC，要判定四边形ABCD是平行四边形，那么还需满足( A )．
A．∠B＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠C＝180°
知识点二 用两组对边分别相等判定平行四边形
练习2 在四边形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，CD＝3，要使该四边形是平行四边形，则AD的长为( B )．
A．3 B．4
C．5 D．6
知识点三 用两组对角分别相等判定平行四边形
练习3 下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是( C )．
A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶3
C．2∶3∶2∶3 D．2∶3∶3∶2
知识点四 用对角线互相平分判定平行四边形
练习4 (教材P60例4变式)如图，在四边形ABCD中，如果AC＝10 cm，BD＝8 cm，AC与BD相交于点O，那么当AO＝5 cm，BO＝4 cm时，四边形ABCD为平行四边形，因为对角线互相平分的四边形是平行四边形．
基础巩固
1．下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是( D )．
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠B＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
2．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D满足下列条件( B )能判定四边形ABCD是平行四边形．
A．2∶3∶6∶7 B．4∶5∶4∶5
C．1∶2∶3∶4 D．3∶5∶7∶9
3．如图，C为线段AB上一动点(不与点A，B重合)，分别以AC，BC为边在AB同侧构造等边三角形ACD和等边三角形BCE，延长AD，BE交于点F．若AB＝3，则四边形CEFD的周长为________．
【答案】6
4．如图，先以△ABC的顶点A为圆心，BC的长为半径画弧；再以顶点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，CD．若∠B＝65°，则∠ADC的度数为________．
【答案】65°
能力达标
5．(2025·广州期中)如图，四边形ABCD中，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)求BC的长和四边形ABCD的面积；
(3)求点D到线段AB的距离．
(1)证明：因为AD＝12，OD＝5，
∠ADB＝90°，
所以AO＝13．
因为AC＝26，
所以AO＝OC＝13，且DO＝OB＝5．
所以四边形ABCD为平行四边形．
(2)解：因为四边形ABCD为平行四边形，
所以BC＝AD＝12．
因为∠ADB＝90°，且BD＝10，
所以S四边形ABCD＝AD·BD＝12×10＝120．
(3)解：设点D到线段AB的距离是h．
在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．
因为S ABCD＝AB·h＝AD·DB，
所以h＝＝．
挑战创新
6．(2025·江门二模)如图，在△ABC中，E为BC的中点，DE∥AC交AB于点D．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ADG，使∠ADG＝∠B，且射线DG交AC于点F(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)试判断(1)中得到的四边形CEDF的形状，并说明理由．
【解】(1)∠ADG如图所示．
(2)四边形CEDF为平行四边形．理由略．
