21．2．3 三角形的中位线
1．探索并证明三角形的中位线定理．
2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
知识点一 三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
练习1 如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线分别与EF的延长线交于点M，N．
求证：∠BME＝∠N．
【证明】如图所示，连接BD，取BD的中点G，连接GE，GF．
在△ABD中，因为G，F分别是BD，AD的中点，
所以GF＝AB，
GF∥BM．
同理可证GE＝CD，GE∥CN．
因为AB＝CD，
所以GF＝GE．
所以∠GEF＝∠GFE．
因为GF∥BM，所以∠GFE＝∠BME．
因为GE∥CN，所以∠GEF＝∠N．
所以∠BME＝∠N．
知识点二 三角形中位线定理的应用
练习2 (2025·广州期中)如图，平地上A，B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D，E，测量得DE＝8 m，则A，B两点间的距离为16 m．
基础巩固
1．(2025·惠州期中)如图所示，在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长是( A )．
A．10 B．20
C．30 D．40
2．(2025·佛山期末)如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是线段AB，CD，AC，BD的中点，则四边形EGFH的周长( B )．
A．只与AB，CD的长有关
B．只与AD，BC的长有关
C．只与AC，BD的长有关
D．与四边形ABCD各边的长都有关
3．如图，在四边形ABCD中，R是CD的中点，点M在BC边上运动，E，F分别是AM，MR的中点，则EF的长随着M点的运动( C )．
A．变短 B．变长
C．不变 D．无法确定
4．如图所示是吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5 m，他想把四边形BCFE用篱笆围起来放养小鸡，则需要篱笆的长是________m．
【答案】25
5．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点．若AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是________．
【答案】18°
能力达标
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F．若BC＝6，AC＝10，则线段DF的长为________．
【答案】8
7．(2025·南沙期末)如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝2，BD＝3．
(1)顺次连接四边形ABCD各边中点所围成的四边形的周长是________；
(2)AD＋BC的最小值是________．
【答案】(1)5 (2)
挑战创新
8．(课本再现)【三角形中位线定理】已知：在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系为________________；
【应用】如图1，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝4，EF＝1．5，∠AFE＝40°，则∠ADC的度数为________；
【拓展】如图2，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．求证：AC＝BD．
【三角形中位线定理】DE＝BC，DE∥BC
【应用】130°
【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH，NH．
因为M，H分别是AD，DC的中点，
所以MH是△ADC的中位线．
所以MH∥AC且MN＝AC．
同理可得NH∥BD且NH＝BD．
因为EF＝EG，
所以∠EFG＝∠EGF．
因为NH∥BD，MH∥AC，
所以∠EGF＝∠HNM，
∠EFG＝∠HMN．
所以∠HMN＝∠HNM．
所以MH＝NH．
所以AC＝BD．21．2．3 三角形的中位线
1．探索并证明三角形的中位线定理．
2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
知识点一 三角形的中位线定理
三角形的中位线 于三角形的第三边，并且等于第三边的 ．
练习1 如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线分别与EF的延长线交于点M，N．
求证：∠BME＝∠N．
1．(2025·惠州期中)如图所示，在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长是( )．
A．10 B．20
C．30 D．40
2．(2025·佛山期末)如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是线段AB，CD，AC，BD的中点，则四边形EGFH的周长( )．
A．只与AB，CD的长有关
B．只与AD，BC的长有关
C．只与AC，BD的长有关
D．与四边形ABCD各边的长都有关
3．如图，在四边形ABCD中，R是CD的中点，点M在BC边上运动，E，F分别是AM，MR的中点，则EF的长随着M点的运动( )．
A．变短 B．变长
C．不变 D．无法确定
4．如图所示是吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5 m，他想把四边形BCFE用篱笆围起来放养小鸡，则需要篱笆的长是________m．
5．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点．若AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是________．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F．若BC＝6，AC＝10，则线段DF的长为________．
7．(2025·南沙期末)如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝2，BD＝3．
(1)顺次连接四边形ABCD各边中点所围成的四边形的周长是________；
(2)AD＋BC的最小值是________．
8．(课本再现)【三角形中位线定理】已知：在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系为________________；
【应用】如图1，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝4，EF＝1．5，∠AFE＝40°，则∠ADC的度数为________；
【拓展】如图2，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．求证：AC＝BD．
【三角形中位线定理】DE＝BC，DE∥BC
【应用】130°
【拓展】
