(共13张PPT)
第一部分 核心专题过关
第二章 方程（组）与不等式（组）
第二节 分式方程及其应用
甘肃中考考什么
甘肃中考怎么考
甘肃中考考什么
甘肃中考怎么考
命题点1 分式方程的解法及解的应用
1.（2025省卷）方程的解是 ____.
2.（2025兰州）解方程： .
解：原方程去分母，得 ，
解得.检验，当时， ，
故原方程的解为 .
巩固训练
3.（2025陇南模拟）定义.则方程的解为
_ _.
4.解方程： .
解：原方程可化为 ，
去分母得，解得 .
检验，当时， ，
故原方程的解是 .
解分式方程的一般方法
解分式方程的主要思想是把分式方程转化为整式方程，即方程两边同乘各
分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根.
温馨提示：
1.去分母时，方程中的常数项要乘以最简公分母.
2.去分母时，若分子是多项式,则需要加括号.
3.约分时，不能约去含有未知数的整式.
4.去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中分母为0，故一定要检验.
命题点2 分式方程的实际应用
1.（2024临夏州）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽
子降价2元销售.细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10
袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是 元，所得方程
正确的是( )
C
A. B.
C. D.
巩固训练
2.（2025金昌模拟）某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩
880套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比
更换设备前提高了 ，结果刚好提前5天完成订单任务.设该厂家更换设
备前每天生产 套校服，则可列方程为( )
D
A. B.
C. D.
3.某市为治理污水，需要铺设一段全长为 的污水排放管道，铺设
后，为加快工期，接下来每天的工效比原计划增加 ，结果共用
30天完成这一任务.如果设原计划每天铺设 管道，那么可列方程为
_ _________________.
温馨提示 本节更多练习题见《精练本》第10~11页(共19张PPT)
第一部分 核心专题过关
第二章 方程（组）与不等式（组）
第一节 一次方程（组）及其应用
甘肃中考考什么
甘肃中考怎么考
甘肃中考考什么
甘肃中考怎么考
命题点1 等式的性质
1.（2023省卷）若，则 ( )
A
A.6 B. C.1 D.
巩固训练
2.已知 ，下列变形错误的是 ( )
B
A. B. C. D.
3.（2025白银模拟）若 ，则下列等式中错误的是( )
D
A. B. C. D.
命题点2 一次方程（组）及其应用
1.（2025兰州）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一.“方程
章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；
一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一
头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为，一头牛价格为 ，则可列方程
组为( )
A
A. B.
C. D.
2.（2024兰州）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学
著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果
共1 000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买
了多少个？设买了甜果个，苦果 个，则可列方程组为( )
A
A. B.
C. D.
3.（2022省卷）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一
道有趣的题："今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫
雁俱起，问何日相逢？"大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁
从北海起飞，9天到南海.现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多
少天相遇？设经过 天相遇，根据题意可列方程为 ( )
A
A. B.
C. D.
巩固训练
4.（2025平凉模拟）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的
数学问题，其中《九章算术》中有个问题：“今有人共买鸡，人出九，盈
十一；人出六，不足十六.问人与钱各几何？”意思是：“有若干人共同出
钱买鸡，如果每人出9钱，那么多了11钱；如果每人出6钱，那么少了16钱.
问：人和钱的数量各是多少？”如果设有 个人共同出钱买鸡，则可列一元
一次方程( )
D
A. B.
C. D.
5.明代数学著作《珠算统筹》一书中记载这样一题：“隔墙听得客分银，
不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤 （一斤 两），
问：人和银各几何？”其大意为：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；
每人分9两，则少半斤，问人和银各多少？设共有人， 两银，则可列方
程组为( )
B
A. B.
C. D.
6.为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工
向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成， 两
种等级的农产品对外销售，已知销售6千克等级农产品和4千克 等级农
产品共收入112元，销售4千克等级农产品和2千克 等级农产品共收入68
元.（不考虑加工损耗）
（1）求每千克等级农产品和每千克 等级农产品的销售单价分别为多少元？
解：设每千克等级农产品的销售单价为元，每千克 等级农产品的销售
单价为 元，
由题意得解得
答：每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品的销售
单价为10元.
（2）若该食品企业以每千克8元购进6 000千克农产品，全部加工后对外
销售，要求总利润不低于16 000元，则至少需加工 等级农产品多少千克？
设需加工等级农产品千克，则需加工等级农产品 千克，
由题意得 ，
解得 .
答：至少需加工A等级农产品2 000千克.
列一次方程（组）解决实际问题的方法
1.设未知数的方法：
（1）一般情况下，题中问什么就设什么，即设直接未知数；
（2）当设直接未知数难以列出方程时，可设与所求量相关的一些量，即
设间接未知数.
注意：设几个未知数，就需要列出几个方程求解.
2.找等量关系的方法：
（1）抓住题中的关键词，如“等于”“比”“是”“多”“少”等；
（2）根据实际生活中的数量关系或几何图形中的面积公式、体积公式等
找等量关系；
（3）挖掘题中的隐含条件，如顺流航行和逆流航行的路程相等.
注意：列方程时，等号两边的量的单位要保持一致.
温馨提示 本节更多练习题见《精练本》第9页(共13张PPT)
第一部分 核心专题过关
第二章 方程（组）与不等式（组）
第四节 一次不等式与一次不等式组
甘肃中考考什么
甘肃中考怎么考
甘肃中考考什么
甘肃中考怎么考
命题点 一元一次不等式（组）的解法及其解集的表示
1.（2025省卷）解不等式组：
解：
由①得 ，
由②得 ，
不等式组的解集为 .
2.（2025兰州）解不等式组：
解：解第一个不等式，得 ，
解第二个不等式，得 ，
故原不等式组的解集为 .
3.（2024省卷）解不等式组：
解：由，得 ，
由，得 ，
所以不等式组解集为 .
4.（2024临夏州）解不等式组：
解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
故原不等式组的解集为 .
5.（2024兰州）解不等式组：
解：
由①得 ，
由②得 ，
.
巩固训练
6.（2025张掖模拟）已知点在第二象限，则 的取值范围为
( )
C
A. B. C. D.无解
7.（2025平凉模拟）不等式组 的解集在数轴上表示为( )
C
A. B. C. D.
8.关于的不等式组恰有3个整数解，则 的取值范围是______
_______.
9.解不等式组：
解：解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
则不等式组的解集为 .
10.解不等式组：
解：解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
则不等式组的解集为 .
温馨提示 本节更多练习题见《精练本》第13~14页(共14张PPT)
第一部分 核心专题过关
第二章 方程（组）与不等式（组）
第三节 一元二次方程及其应用
甘肃中考考什么
甘肃中考怎么考
甘肃中考考什么
甘肃中考怎么考
命题点1 一元二次方程的解法及应用
1.（2022省卷）用配方法解方程 时，配方后正确的是 ( )
C
A. B. C. D.
巩固训练
2.两年前生产1千克甲种药品的成本为120元，随着生产技术的进步，现在
生产1千克甲种药品的成本为80元.设甲种药品成本的年平均下降率为 ，
根据题意，下列方程正确的是( )
B
A. B.
C. D.
3.（2025陇南模拟）已知关于的方程的一个根是1，则
的值为___.
2
解一元二次方程的一般方法
1.将一元二次方程整理成一般式.
2.若一次项系数为0，可用直接开平方法.
3.若常数项为0（或能分解为两个多项式之积），可用因式分解法.
4.若一次项系数和常数项都不为0，可用配方法或公式法求解.
命题点2 一元二次方程的判别式
1.（2025省卷）关于的一元二次方程 有两个实数根，
则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
2.（2025兰州）若关于的一元二次方程 有两个不相等的
实数根，则 的值可以是( )
D
A.3 B.2 C.1 D.0
3.（2024兰州）关于的一元二次方程 有两个相等的实数
根，则 ( )
D
A. B.4 C. D.1
4.（2023兰州）关于的一元二次方程 有两个相等的实数
根，则 的值为 ( )
A
A. B.2 C. D.4
巩固训练
5.（2025兰州模拟）一元二次方程 的根的情况是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
6.（2025定西模拟）已知关于的一元二次方程 有实
数根，则实数 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
7.若为方程的一个根，则该方程的另一个根为 ___.
5
判断一元二次方程根的情况的一般方法
判断一元二次方程的根的情况，要明确，，
的值，然后比较 与0的大小：
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根.
一元二次方程根与系数的关系
根与系数的关系为：若一元二次方程 的两根为
，，则， .
温馨提示 本节更多练习题见《精练本》第12页(共7张PPT)
第一部分 核心专题过关
第二章 方程（组）与不等式（组）
核心素养创新练
1.［数学文化］《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：
“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问
良马几何日追及之.”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天
走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马 天可以追上慢
马，则可以列出的方程为( )
A
A. B.
C. D.
2.［数学文化］在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：
“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、物价各几
何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果
每人出6文钱，就差16文钱.问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设买鸡的
人数为人，则 为( )
D
A.5 B.7 C.8 D.9
3.［数学文化］（2025·南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”
阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：
“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”意思
是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个….
问这些物体共有多少个？设3个一数共数了次，5个一数共数了 次，其
中， 为正整数，依题意可列方程( )
A
A. B.
C. D.
4.［新定义］（2025·泸州）对于任意实数， ，定义新运算：
给出下列结论：
① ；
②若，则 ；
③ ；
④若，则的取值范围为 .
其中正确结论的个数是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
5.［真实情境］智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展
趋势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟
的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工
作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均 秒
（1）求 的值；
解：根据题意得，解得 .
采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒
采摘苹果的个数多25个.
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成.
每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同
时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10 000个？
设需要 个这样的机器人，
根据题意得，解得 .
又为正整数， 的最小值为6.
答：至少需要6个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不
少于10 000个.
