(共41张PPT)
第三章 万有引力定律
提升课三 应用万有引力定律解决三个热点问题
课堂 重难探究
地球同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较
1．同步卫星的6个“一定”
2．近地卫星、同步卫星和赤道上物体运动规律比较
例1 (2024年连州期中)有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星．各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是 ( )
A．a的向心加速度大于b的向心加速度
B．四颗卫星的线速度大小关系是va＞vb＞vc＞vd
C．在相同时间内d转过的圆心角最小
D．d的运动周期可能是20小时
【答案】C
变式1 (多选)(2025年汕头期末)中国天和机械臂具有7个自由度，可承担捕获悬停航天器等任务．如图所示，空间站绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道离地高度为h，航天员操纵长为l的机械臂捕获了一航天器．在机械臂作用下，航天器、空间站和地球球
心始终在同一直线上．已知地球半径为 R，引力常量为G，忽略地球自转及捕获过程中空间站轨道的变化，下列说法正确的是 ( )
【答案】CD
卫星的变轨与航天器的对接
1．卫星变轨的原理
两类变轨 离心运动 向心运动
示意图
变轨起因 卫星速度增大 卫星速度减小
两类变轨 离心运动 向心运动
万有引力与向心 力的大小关系
变轨结果 速度增大——离心：转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动． 新圆轨道上运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大 速度减小——近心：转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动．
新圆轨道上运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小
2．变轨前后各运行物理参量的比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB．在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB．
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3．
①在A点，由圆周Ⅰ变至椭圆Ⅱ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；
②在B点，由椭圆Ⅱ变至圆周Ⅲ时，发动机向后喷气，推力做正功、动能增加、势能不变、机械能增加，反之也有相应的规律．
3．航天器的对接
(1)若两个航天器在不同的轨道上运动，高轨道的减速与低轨道的对接，低轨道的加速与高轨道对接．
(2)若两个航天器在同一轨道上运动，后面的航天器先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速度．
例2 (2024年信阳高级中学期中)中国预计将在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点．如图所示是“嫦娥一号”奔月的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星．关于“嫦娥一号”下列说法正确的是 ( )
A．在绕地轨道中，48 h轨道的公转半长轴的三次方与公转周期的二次方之比最大
B．发射时的速度必须达到第二宇宙速度
C．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时的速度小于其在轨道Ⅱ上经过Q点时的速度
D．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时的加速度等于其在轨道Ⅱ上经过Q点时的加速度
【答案】D
变式2 我国发射了“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接，如图所示．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是 ( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
【答案】C
【解析】为了实现飞船与空间实验室的对接，必须使飞船在较低的轨道上加速做离心运动，上升到空间实验室运动的轨道后逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接，C正确．
小练 随堂巩固
1．(多选)(2025年北京期中)如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经变轨，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次变轨，将卫星送入同步圆轨道3．轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点．当卫星分别在1、2、3轨道上运行时，下列说法正确的是 ( )
A．卫星在轨道1上的速度大于轨道3的速度
B．卫星在轨道2上经过Q点的速度大于在轨道1上经过Q点的速度
C．卫星在轨道2上运行时，经过P点速度小于Q点的速度
D．卫星在轨道2上经过P点的加速度小于在轨道3上经过P点的加速度
【答案】ABC
2．(2024年江门鹤山一中考试)2024年9月19日，我国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第59、60颗导航卫星．北斗卫星导航系统中包括分布于a类型轨道的同步轨道卫星、分布于b类型轨道的倾斜轨道卫星(与同步卫星轨道半径相同，轨道倾角55°)和分布于c类型轨道的中轨道卫星.
它们均为圆轨道卫星，轨道分布情况如图所示．关于这些卫星，以下说法正确的是 ( )
A．导航系统所有卫星的运行速度一定都大于第一宇宙速度
B．导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大，周期越小
C．地球同步倾斜轨道卫星的轨道高度等于同步静止轨道卫星的轨道高度
D．同步卫星相对于地面静止且处于平衡状态
【答案】C
3．(多选)(2024年武汉六校联考)中国“天眼FAST”观测某脉冲双星系统如图所示．该双星系统由两颗相距较近的天体组成，并远离其他天体，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的一点做匀速圆周运动．若较大天体质量为M、运动轨道半径为R，较小天体质量为m、运动轨道半径为r，引力常量为G，则 ( )
A．两天体质量与半径之间的关系式为Mr＝mR
B．两天体质量与半径之间关系式为MR＝mr
【答案】BD
4．(多选)(2025年珠海检测)两个质量相差悬殊的天体(如太阳和地球)所在同一平面上有5个特殊点，如图中L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称之为拉格朗日点．若飞行器位于这些点上，会在太阳与
地球共同引力作用下，可以不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动．已知太阳质量为地球质量的33万倍，日地距离为太阳半径的215倍，L4和L5对称，且与太阳连线的夹角为120°，则下列说法正确的是 ( )
A．卫星在L1和L2处的向心加速度不同
B．在L4和L5处的卫星绕太阳中心做圆周运动
C．卫星在L2点处于平衡状态
D．同一颗卫星在L1处所受太阳和地球引力的合力比在L3处小
【答案】AD
【解析】L1和L2的角速度相同，圆周运动半径不同，根据an＝rω2可知，向心加速度大小不同，A正确；L4和L5处的卫星受到太阳和地球的万有引力，两力的合力提供卫星做圆周运动的向心力，并不指向太阳中心，则卫星不绕太阳中心做圆周运动，B错误；该卫星所受的合力为地球和太阳对它的万有引力的合力，在L2点处这两个引力方向相同，合力不为零，处于非平衡状态，C错误；卫星所受太阳和地球引力的合力提供向心力，根据向心力公式Fn＝mω2r，由于角速度相等，该卫星在L1处的轨道半径小于在L3处的轨道半径，可知该卫星在L1处所受太阳和地球引力的合力比在L3处小，D正确．
5．(2025年深圳期末)2024年6月，“嫦娥六号”探测器成功将月球背面的月壤带回，开辟了探月工程的新纪元．探测器在登陆之前，环绕月球在不同轨道上做匀速圆周运动，其环绕周期与轨道半径之间的关系如图所示．月球半径为R，万有引力常量为G，a、b已知．求：
(1)月球的质量；
(2)月球表面重力加速度大小．(共61张PPT)
第三章 万有引力定律
第三节 万有引力定律的应用
1．学会应用万有引力定律“称量”地球质量，计算太阳质量，估算天体密度等．2．知道海王星的发现过程，了解哈雷彗星的“按时回归”．
课前 自主预习
估测地球的质量和形状
1．若不考虑地球自转影响，地面上的物体所受的重力等于地球对物体的____________．
万有引力
3．牛顿通过万有引力理论大胆预测：地球由于自转作用，_______部分应该隆起，成为________扁平的椭球．
赤道
两极
发现未知天体和预言哈雷彗星回归
1．已知天体的轨道推算．
18世纪，人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨道和用_________________计算出来的轨道有一些偏差．
2．未知天体的发现．
根据已发现的天体运行轨道，结合万有引力定律推算出未知天体的________，如海王星、冥王星就是这样发现的．
万有引力定律
轨道
3．英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算彗星的________，成功预言了彗星的________．
4．__________的发现和____________的“按时回归”确定了万有引力定律的地位．
轨道
回归
海王星
哈雷彗星
估算天体的质量
课堂 重难探究
万有引力和重力的关系
1．在地球上不同的纬度，万有引力和重力的关系不同(地球质量用M表示，物体质量用m表示):
例1 (2025年东莞期中)考虑到地球自转的影响，下列示意图中可以表示地球表面P点处重力加速度g方向的是 ( )
【答案】D
变式1 (2024年保定期中)一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R．则飞船所在处的重力加速度大小为 ( )
【答案】C
天体质量和密度的计算
天体质量的计算方法
类型 自力更生法 借助外援法
情境 已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
例2 (多选)航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R．不考虑月球自转的影响，则下列表述正确的是 ( )
【答案】ABD
变式2 (2025年湛江期中)2025年3月17日，我国在酒泉卫星发射中心用“谷神星一号”运载火箭成功发射“云遥一号55～60星”，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．若卫星沿圆轨道运行，轨道半径为r，卫星在时间t内通过的运动轨迹对应的圆心角为θ，引力常量为G，则地球的质量为 ( )
【答案】A
天体运动参量的分析与计算
1．一般卫星(或行星)的运动可看成匀速圆周运动，其所需向心力与万有引力的关系可写为：
2．根据1中的关系式推导向心加速度大小a、线速度大小v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系．
口诀：一定四定，越高越慢．
例3 2025年10月26日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将高分十四号02星发射，至此，高分十四号有多颗卫星在轨运行．如图所示，若其中的A、B两颗卫星均沿图示方向绕地球做匀速圆周运动，角速度大小分别为ωA、ωB．下列判断正确的是
( )
【答案】C
变式3 (2025年佛山七校联考)2025年11月30日，我国成功发射“实践二十八号”卫星．假设地球是半径为R的标准球体，该卫星质量为m，运行在距地面高度为h的圆形轨道上，地球表面重力加速度为g，则关于运行在该轨道上的卫星，下列说法正确的是 ( )
A．运行的向心加速度大小为g
【答案】B
小练 随堂巩固
1．(2025年广东学业考)如图所示，两颗人造卫星均处于赤道平面内，甲为近地轨道卫星，乙为中地轨道卫星，两卫星均做匀速圆周运动．下列说法正确的是 ( )
A．甲的线速度小于乙的线速度
B．甲的角速度等于乙的角速度
C．甲的周期大于乙的周期
D．甲的向心加速度大于乙的向心加速度
【答案】D
2．(2025年深圳期末)2025年5月17日我国发射了“北邮二号”卫星，用于推动6G空天信息网络建设．已知“北邮二号”卫星绕地球做匀速圆周运动，周期为T，离地面高度为h，质量为m．地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G．则“北邮二号”卫星受到地球的万有引力大小为 ( )
【答案】B
3．(2025年深圳模拟)如图所示，飞行器P绕某未知星体做匀速圆周运动．测得星体相对飞行器的张角为θ．为计算该星球的密度，还需要测量的物理量是 ( )
A．星体的质量
B．星体的半径
C．飞行器运行的周期
D．飞行器的轨道半径
【答案】C
4．(2025年江西学业考)某天坑如图所示．为了测量该天坑的深度，探险队员在天坑底部将一质量为m0的物块静止悬挂于弹簧测力计挂钩上，弹簧测力计的示数为F．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，假设地球可视为质量分布均匀的球体，且质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则该天坑的深度为( )
【答案】D
5．(2025年深圳期中)2025年2月20日“天问二号”火星探测器运抵西昌卫星发射中心，预计将实现火星环绕、着陆和采样返回任务．假设火星探测器着陆前绕火星做匀速圆周运动，探测器距火星表面的高度为h，运行周期为T．已知火星半径为R，引力常量为G．
(1)求火星的质量M；
(2)求火星表面的重力加速度大小g．
(3)假设你是航天员，登陆火星后，要测量火星表面的重力加速度，请写出一种简便的测量方案．
(3)在火星表面用弹簧测力计测出一个质量为m0的钩码的重力为G0，则G0＝m0g，
(注：开放题，结果合理皆可．)
课后提升训练
考点1 万有引力和重力的关系
1．(2025年佛山检测)假如地球自转角速度增大，考虑地球自转的影响，关于放置在地球表面上的物体，下列说法正确的是 ( )
A．物体随地球自转的角速度都变大
B．放在赤道地面上的物体受到的万有引力变大
C．放在两极地面上的物体重力不变
D．放在赤道地面上的物体重力不变
【答案】C
基础对点练
2．(2025年苏州期中)一颗在赤道上空做匀速圆周运动的人造卫星，其轨道半径上对应的重力加速度为地球表面重力加速度的九分之一．已知地球半径为R，则该卫星离地面的高度为 ( )
A．R B．2R C．3R D．4R
【答案】B
考点2 中心天体质量和密度的计算
3．(2025年毕节期中)地球不仅是人类文明的摇篮，更是宇宙中罕见的宜居行星，其复杂系统与演化历史持续激发科学探索的热情．已知地球半径为R，地球围绕太阳公转的周期为T，轨道半径为r，万有引力常量为G．利用以上物理量，我们可以得到太阳的质量为 ( )
【答案】B
4．航天员站在某一星球上，将一个小球距离星球表面h高度处由静止释放使其做自由落体运动，经过t时间后小球到达星球表面．已知该星球的半径为R，引力常量为G，则下列判断正确的是 ( )
D．通过题中数据无法确定该星球的密度
【答案】A
5．(2024年广州第七十五中学期中)金星是太阳系的八大行星中的第二颗行星，在中国古代称为太白、长庚或大嚣．如果金星的公转周期为T，自转周期为T′，半径为R，金星到太阳的距离为r，引力常量为G，则 ( )
【答案】C
考点3 天体运动参量的分析与计算
6．木星是绕太阳公转的行星之一，而木星的周围又有卫星绕木星公转．如果要通过观测求得木星的质量，需要测量的物理量是(已知引力常量为G) ( )
A．木星绕太阳公转的周期和轨道半径
B．木星绕太阳公转的周期和环绕速度
C．卫星绕木星公转的周期和木星的半径
D．卫星绕木星公转的周期和轨道半径
【答案】D
7．登上火星是人类的梦想，地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比 ( )
行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m
地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
A．火星的公转周期较小
B．火星做圆周运动的加速度较小
C．火星表面的重力加速度较大
D．火星公转的线速度比地球的大
【答案】B
8．(2024年佛山一中月考) “天问一号”登陆火星前须制动在停泊轨道(如图所示的椭圆轨道)上．若火星可视为半径为R的质量均匀分布的球体，轨道的近火点P离火星表面的距离为L1，远火点Q离火星表面的距离为L2．已知探测器在轨道上运行的周期为T，L1＋L2≈18R，引力常量为G．则火星的密度约为 ( )
综合提升练
【答案】A
9．(2024年广州实验外语学校期中)一探月卫星绕月球做匀速圆周运动时距月球表面的距离为h．已知引力常量G、月球质量M、月球半径R，不计其他星体和月球自转的影响．求：
(1)探月卫星绕月球做匀速圆周运动的周期；
(2)探月卫星绕月球做匀速圆周运动的向心加速度与月球表面附近的重力加速度的大小之比．(共49张PPT)
第三章 万有引力定律
第二节 认识万有引力定律
1．知道万有引力定律的内容、公式和适用条件．2．知道引力常量的数值、单位．
3．会应用万有引力定律计算物体间的引力．4．知道万有引力常量的测定方法及相关人物．
课前 自主预习
行星绕太阳运动
1．行星绕太阳的运动可以看作________________，向心力F＝
__________．
匀速圆周运动
2．测得行星公转周期T，则
万有引力定律
1．含义：自然界中_________________都相互吸引，引力的方向在______________上，引力的大小与物体的质量m1和m2的________成正比，与它们之间距离r的__________成反比．
2．公式：F＝__________．
3．引力常量G：1789年，英国物理学家___________在实验室利用扭秤装置较准确地得出了G的数值．G＝_______________________．
任何两个物体
它们的连线
乘积
二次方
卡文迪许
6.67×10－11N·m2/kg2
课堂 重难探究
万有引力定律的发现过程
例1 (2025年北京朝阳期中)1687年，牛顿正式发表了万有引力定律．在万有引力定律中有一个引力常量G．利用扭秤首先精确测出G值的科学家是 ( )
A．卡文迪许 B．牛顿 C．开普勒 D．第谷
【答案】A
【解析】1687年，牛顿正式发表了万有引力定律．在万有引力定律中有一个引力常量G，利用扭秤首先精确测出G值的科学家是卡文迪许，故选A．
变式1 (2025年株洲检测)航天员王亚平随中国空间站绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r，已知地球质量为M，半径为R，引力常量为G．若王亚平的质量为m，则下列说法正确的是 ( )
C．空间站环绕地球做匀速圆周运动的加速度不变
D．在空间站内航天员王亚平不受重力
【答案】B
万有引力定律的理解
1．万有引力的“四性”
四性 内容
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，根据牛顿第三定律，总是满足大小相等、方向相反、分别作用在两个物体上
四性 内容
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与所在空间的运动性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
2．万有引力定律的适用条件
(1)万有引力定律公式适用于质点之间的引力大小的计算．
(2)对于实际物体间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小(物体可视为质点)时也适用．
(3)两个质量分布均匀的球体间的引力大小可用万有引力定律公式求解，公式中的r为两球心之间的距离．
(4)一个质量分布均匀的球体与球外一质点之间的引力大小也可用万有引力定律公式求解，公式中的r为质点到球心之间的距离．
A．公式中G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1和m2所受引力大小总是相等的
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
【答案】AC
【解析】引力常量G是英国物理学家卡文迪许用扭秤实验测定的，A正确；若两个物体间的距离r趋于零，两个物体不能被看成质点，其万有引力不能由公式直接求解，B错误；两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，作用在两个物体上，C正确，D错误．
变式2 (多选)(2025年惠州检测)为了验证地球对月球的引力F1与地球对地球表面物体的引力F2遵循相同的规律，牛顿进行了著名的“月—地检验”．月球绕地球运动的向心加速度为a，地表重力加速度为g，月球轨道半径为r，地球半径为R，忽略地球自转影响．关于“月地检验”，下列说法中正确的是 ( )
A．计算a需要测量引力常量G
B．“月—地检验”需要测量F1、F2的大小
C．g可以通过自由落体实验测量得出
【答案】CD
小练 随堂巩固
1．(2025年中山期中)在人类探索宇宙的过程中，许多伟大的物理学家作出了卓越的贡献，下列说法正确的是 ( )
A．开普勒根据第谷的行星观察数据，提出了行星运动定律
B．古希腊科学家托勒密提出了“日心说”，大胆反驳了“地心说”
C．牛顿发现了万有引力定律并利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量
D．第一位较准确测量出引力常量的科学家是笛卡尔
【答案】A
【解析】开普勒根据第谷的行星观察数据，提出了行星运动定律，A正确；古希腊科学家哥白尼提出了“日心说”，大胆反驳了“地心说”，B错误；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量，C、D错误．
2．(2025年广东学业考)由于阻力，人造卫星绕地球做匀速圆周运动的半径逐渐减小，下列说法正确的是 ( )
A．运动速度变小 B．运动周期减小
C．需要的向心力变小 D．向心加速度减小
【答案】B
3．(2025年北京西城期末)人造卫星绕地球做匀速圆周运动，地球对它的万有引力大小为F．若该卫星绕地球运动的轨道半径增大为原来的2倍，则地球对它的万有引力大小将变为 ( )
【答案】B
4．(2025年江门检测)我国发射的“天和”核心舱距离地面的高度为h，运动周期为T，绕地球的运动可近似为匀速圆周运动．已知万有引力常量为G，地球半径为R，根据以上信息可知 ( )
【答案】B
【答案】D
课后提升训练
考点1 万有引力的发现
1．(2025年天津南开期末)关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是 ( )
A．第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律
B．开普勒指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的中心处
C．卡文迪许在实验室里通过扭秤实验得出了引力常量的数值
D．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”
基础对点练
【答案】C
【解析】第谷进行了长期的天文观测积累了大量的天文观测数据，但行星运动规律是由开普勒分析其数据得出的，A错误；开普勒第一定律指出行星轨道为椭圆，但太阳位于椭圆的一个焦点上，B错误；卡文迪许通过扭秤实验首次测定了引力常量，C正确；牛顿的“月地检验”是通过比较月球公转向心加速度与地球表面重力加速度的关系验证万有引力定律，而非与地球赤道上的自转向心加速度比较，D错误．
2．牛顿进行了著名的月地检验，验证了使苹果下落的力和使月球绕地球运动的力是同一种性质的力，同样遵从“平方反比”规律．在进行月地检验时，不需要用到的物理量是 ( )
A．月球公转的周期 B．地球的半径
C．地表的重力加速度 D．地球自转的周期
【答案】D
【答案】A
【解析】根据牛顿第三定律，太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，故两个力的大小相等、方向相反，A正确，B、D错误；太阳对行星的引力受力物体是行星，行星对太阳的引力受力物体是太阳，故两个力不是同一个力，C错误．故选A．
考点2 万有引力定律的理解
A．公式中G为引力常量，它是牛顿通过扭称实验测得的，而不是人为规定的
B．当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1与m2受到的引力总是大小相等的，方向相反，是一对平衡力
D．m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关
【答案】D
【解析】公式中G为引力常量，它是卡文迪许通过扭称实验测得的，而不是人为规定的，故A错误；当r趋近于零时，物体不能视为质点，万有引力公式不成立，万有引力不会趋于无穷大，故B错误；m1与m2受到的引力总是大小相等的，方向相反，是一对相互作用力，故C错误；m1与m2受到的引力是相互作用力，总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关，故D正确．
5．(2025年丽水期末)用国际单位制的基本单位表示引力常量G的单位，正确的是 ( )
A．N·m2/kg2 B．m3/(kg·s2)
C．J·m/kg2 D．F·m2/kg2
【答案】B
6．(2025年安徽期末)如图所示，是卡文迪许利用扭秤测量引力常量的实验装置，一旦测得引力常量G，就可以算出地球的质量．因此，卡文迪许把这个实验说成是“称量地球的质量”．该实验用到的科学研究方法是 ( )
A．类比法
B．放大法
C．累积法
D．理想实验法
【答案】B
【解析】卡文迪许扭秤实验中，通过扭秤装置将微小的万有引力引起的扭转角度，利用平面镜反射光线的移动进行放大，从而能够准确地测量出引力常量，所以该实验用到的科学研究方法是放大法．故选B．
7．从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越．已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍．在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程．悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为 ( )
A．9∶1
B．9∶2
C．36∶1
D．72∶1
【答案】B
8．从平原到高原过程中，地球对汽车的引力F随高度h的变化关系图像可能是 ( )
综合提升练
【答案】C
【答案】A
10．月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．一切物体都存在这样的引力，为什么我们感觉不到周围物体的引力呢？
(1)如图所示，假若你与同桌的质量均为60 kg，相距0.5 m．粗略计算你与同桌间的引力(已知G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)．
(2)一粒芝麻的质量大约是0.004 g，其重力约为4×10－5 N，是你和你同桌之间引力的多少倍？
(3)在对一个人受力分析时需要分析两个人之间的引力吗？
解：(1)由万有引力公式得
(3)由上述可知这时的万有引力很小，所以两个人靠近时，在进行受力分析时，一般不考虑两物体的万有引力，除非是物体与天体、天体与天体间的相互作用．(共51张PPT)
第三章 万有引力定律
第四节 宇宙速度与航天
1．知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度．2．了解人造卫星的有关知识，掌握人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系．3．了解人类对太空探索的历程及我国卫星发射的情况．
课前 自主预习
宇宙速度
宇宙速度 数值 意义
第一宇宙速度 ______km/s (1)卫星环绕地球表面运行的_______速度
(2)发射地球卫星的_______速度
第二宇宙速度 ______km/s 使卫星挣脱_______引力束缚的_______地面发射速度
第三宇宙速度 ______km/s 使卫星挣脱_______引力束缚的_______地面发射速度
7.9
最大
最小
11.2
地球
最小
16.7
太阳
最小
人造卫星
1．________年10月4日，世界上第一颗人造地球卫星发射成功．
2．________年4月24日，我国第一颗人造地球卫星“东方红1号”发射成功．为我国航天事业作出特殊贡献的科学家__________被誉为“中国航天之父”．
3．地球同步卫星：(1)位于________上方，高度约为________km．
(2)相对地面________，周期与____________周期相同．
1957
1970
钱学森
赤道
36 000
静止
地球自转
载人航天与太空探索
1．1961年4月12日，苏联航天员_________乘坐“东方1号”载人飞船首次成功进入太空．
2．1969年7月美国“阿波罗11号”登上________．
3．2003年10月15日我国航天员_________踏入太空．
4．2013年6月，“神舟十号”分别完成与“天宫一号”的手动和自动交会________．
加加林
月球
杨利伟
对接
课堂 重难探究
三个宇宙速度的理解
1．第一宇宙速度有“三层含义”，以地球为例，分别是①第一宇宙速度是人造地球卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时所具有的速度；②第一宇宙速度是在地球上发射人造地球卫星所需的最小发射速度；③第一宇宙速度是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，数值为7.9 km/s．
所以第一宇宙速度也是指人造卫星近地环绕速度，许多同学把这一速度理解为人造卫星绕地球运行的最小速度，并且认为环绕地球做匀速圆周运动的卫星速度一定等于或大于第一宇宙速度．这显然是错误的．
2．当发射速度为7.9 km/s(第一宇宙速度)时，物体恰好环绕地球表面运行，成为地球的近地卫星．若发射速度v＞7.9 km/s，则有三种情形：一是仍绕地球运行，轨迹是椭圆(7.9 km/s＜v＜11.2 km/s)；二是脱离地球的吸引而绕太阳运行(11.2 km/s＜v＜16.7 km/s)；三是脱离太阳吸引而成为自由的天体(v＞16.7 km/s)．若发射速度v＜7.9 km/s，则被发射的卫星不可能成为绕地球运行的卫星．第一宇宙速度是环绕地球的最大速度，其他的人造天体绕地球运行的速度，都比这一速度小．
例1 关于第一宇宙速度，下列说法正确的是 ( )
A．第一宇宙速度是人造地球卫星环绕运行的最小速度
B．第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球做圆周运动的最大速度
C．第一宇宙速度是地球同步卫星环绕运行的速度
D．不同行星的第一宇宙速度都是相同的
【答案】B
变式1 (多选)如图所示，牛顿在思考万有引力定律时就曾设想，把物体从高山上O点以不同的速度v水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远．如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星，则下列说法正确的是 ( )
A．以v＜7.9 km/s的速度抛出的物体可能落在A点
B．以v＜7.9 km/s的速度抛出的物体将沿B轨道运动
C．以7.9 km/s＜v＜11.2 km/s的速度抛出的物体可能沿C轨道运动
D．以11.2 km/s＜v＜16.7 km/s的速度抛出的物体可能沿C轨道运动
【答案】AC
【解析】物体抛出速度v＜7.9 km/s时必落回地面，物体抛出速度v＝7.9 km/s时，物体刚好能不落回地面，绕地球做圆周运动，A正确，B错误；当物体抛出速度7.9 km/s＜v＜11.2 km/s时，物体在抛出点做离心运动，但物体不能脱离地球引力束缚，故物体做椭圆运动，可能沿C轨道运动，C正确；当物体抛出速度v＞11.2 km/s时，物体会脱离地球引力束缚，不可能沿C轨道运动，D错误．
第一宇宙速度的计算
7.9 km/s是地球的第一宇宙速度，实际上不同的天体都有自己的第一宇宙速度．求法与地球上的相同．
例2 若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球的1.5倍，这颗行星的第一宇宙速度约为 ( )
A．2 km/s B．4 km/s
C．16 km/s D．32 km/s
【答案】C
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
【答案】B
小练 随堂巩固
1．(2025年广东学业考)中国空间站正常运行的轨道低于地球同步卫星的轨道．关于在轨运行的中国空间站，下列说法正确的是 ( )
A．运行周期大于24 h
B．运行的角速度比地球同步卫星的小
C．运行速度小于第一宇宙速度
D．运行速度大于第二宇宙速度
【答案】C
2．(2025年广东学业考)关于地球第一宇宙速度，下列说法正确的是 ( )
A．第一宇宙速度大小为7.9 km/s
B．第一宇宙速度大小为11.2 km/s
C．第一宇宙速度大小为16.7 km/s
D．人造地球卫星的运行速度都大于第一宇宙速度
【答案】A
3．(2025年佛山期中)发射地球同步卫星时，要使同步卫星进入预定轨道Ⅲ，需先将卫星发射到近地轨道Ⅰ，卫星在轨道Ⅰ的A点变轨进入转移轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的远地点B再次变轨进入轨道Ⅲ．下列说法正确的是 ( )
A．地球同步卫星可以在广州的正上空
B．卫星在轨道Ⅲ上的速度大小介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
C．卫星在轨道Ⅱ上经过B点时的速率小于其在轨道Ⅲ上经过B点时的速率
D．卫星在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度大于其在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度
【答案】C
【答案】B
5．(2025年北京海淀期中)已知地球质量为M，万有引力常量为G．将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，忽略地球自转影响．
(1)求地面附近的重力加速度g；
(2)求地球的第一宇宙速度v；
(3)若考虑地球的自转，求质量为m的物体分别静止在南极和赤道上时，所受的重力的差值ΔF，已知地球自转周期为T．
课后提升训练
考点1 三个宇宙速度的理解
1．关于地球第一宇宙速度，下列说法正确的是 ( )
①它是人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度 ②它是使人造地球卫星绕地球运行的最小发射速度 ③第一宇宙速度跟地球的半径无关 ④第一宇宙速度跟地球的质量无关
A．①③ B．②③
C．①② D．②④
【答案】C
基础对点练
2．“天问一号”火星探测器在地球的发射速度 ( )
A．只要大于第一宇宙速度即可
B．小于第一宇宙速度也可以
C．只有达到第三宇宙速度才可以
D．大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度
【答案】D
【解析】火星探测器前往火星，脱离了地球引力束缚，但还是在太阳系内飞行，所以发射速度应该大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度．
【答案】A
4．假设地球质量不变，而地球的半径增大到原来的2倍，那么从地球发射人造卫星的第一宇宙速度的大小应为原来的 ( )
【答案】D
【答案】C
【答案】B
综合提升练
7．(2024年华南师大附中期中)我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功发射第五十六颗“北斗”导航卫星，该卫星为地球同步卫星．已知地球半径为R，地球的自转周期为T0，引力常量为G，下列说法正确的是 ( )
A．该卫星可以经过广州华附上空
B．该卫星的运行速度大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度
D．该卫星在运行过程中加速度时刻变化
【答案】D(共56张PPT)
第三章 万有引力定律
第一节 认识天体运动
1．知道天体运动中的“地心说”和“日心说”两种观点．2．理解开普勒三大定律的内容．3．学会应用开普勒定律分析天体运动问题．
课前 自主预习
地心说和日心说
1．地心说
认为________是宇宙的中心，是____________的，太阳、月球以及其他星球都绕________运动．代表人物是古希腊天文学家托勒密．
2．日心说
认为________是静止不动的，地球和其他行星都绕________运动．代表人物是16世纪波兰天文学家哥白尼．
地球
静止不动
地球
太阳
太阳
开普勒定律
定律 内容 公式或图示
开普勒第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运行的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个________上
开普勒第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在_____________内扫过的___________
椭圆
焦点
相等的时间
面积相等
定律 内容 公式或图示
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的________的三次方跟它的____________的二次方的比值都______
公式：_____＝k，k是一个对所有行星都_______的常量
半长轴
公转周期
相等
相同
课堂 重难探究
对开普勒定律的理解
2．开普勒行星运动定律是总结行星运动的观测结果结合严密的数学推理得到的定律．它们中的每一条都是经验定律．
3．开普勒行星运动定律是对行星绕太阳运动的总结，实践表明开普勒行星运动定律也适用于其他天体的运动，如月球绕地球的运动，卫星(或人造卫星)绕行星的运动．
例1 (2025年清远开学考)哈雷彗星从a点运行到b点和从c点运行到d点的两个过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1＜S2，则彗星从a运行到b的时间t1与从c运行到d的时间t2关系是 ( )
A．t1＞t2
B．t1＝t2
C．t1＜t2
D．无法判断
【答案】C
【解析】根据开普勒第二定律可知，哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同，根据S1＜S2可知从a运行到b的时间小于从c运行到d的时间，即t1＜t2．故选C．
变式1 自远古以来，当人们仰望星空时，天空中壮丽璀璨的景象便吸引了人们的注意．智慧的头脑开始探索星体运动的奥秘，其中德国天文学家开普勒做出了卓绝的贡献，发现了行星运动的三大定律，下列关于这三大定律的说法正确的是 ( )
A．太阳系中所有行星的公转周期与行星的轨道半长轴的三次方成正比
B．太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等
C．木星、地球和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
D．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的中心
【答案】B
应用开普勒定律研究天体运动
1．为了简化运算，一般把天体运动当成匀速圆周运动来研究，此时椭圆的半长轴近似为圆周的半径．
A．k与a和T均无关
B．k与a3成正比
C．k与T2成反比
D．k是一个与行星质量有关的常量
【答案】A
变式2 (多选)(2025年深圳期中)“天舟”货运飞船被人们称为太空快递，它定期向“天宫号”空间站运送物资．其示意图如图所示，下列说法正确的是 ( )
A．“天舟”飞船与“天宫号”在B点的向心加速度相等
B．“天舟”飞船运动的周期比“天宫号”运动的周期小
C．“天舟”与地球的连线和“天宫号”与地心的连线在相同时间内扫过的面积相等
D．“天宫号”空间站所在轨道高，线速度低，所以“天舟”飞船在B点变轨时需减速
【答案】AB
根据开普勒二定律可知，同一轨道上卫星与地心的连线在相同时间内扫过的面积相等，但“天舟”与“天宫号”在不同轨道上，所以“天舟”与地球的连线和“天宫号”与地心的连线在相同时间内扫过的面积不相等，C错误；卫星从低轨道变轨到高轨道，需要在变轨处点火加速，所以“天舟”飞船在B点变轨时需加速，D错误．
小练 随堂巩固
1．下列说法不正确的是 ( )
A．托勒密和哥白尼都建立了物理模型来分析行星运动，对后人产生了深远影响
B．第谷经过二十年观察，详细记录了行星的位置和时间
C．开普勒通过分析第谷的数据，得出了行星运动的规律
D．开普勒分析伽利略的实验数据，得出行星运动规律
【答案】D
【解析】托勒密和哥白尼都建立了物理模型来分析行星运动，对后人产生了深远影响，A不符合题意；第谷经过二十年观察，详细记录了行星的位置和时间，B不符合题意；开普勒通过分析第谷的数据，得出了行星运动的规律，D符合题意，C不符合题意，故选D．
2．(2025年惠州期中)天文学家宣称找到了太阳系八大行星之外的第九大行星．他们通过数学建模和计算机模拟，得出它与太阳的平均距离大约是海王星与太阳之间距离的20倍．已知海王星的公转周期大约是165年，若将太阳系内所有行星的公转当作圆周运动处理，估算第九大行星的公转周期大约是 ( )
A．1.5×104年 B．1.2×103年
C．22年 D．2年
【答案】A
3．(多选)(2025年海南检测)关于开普勒行星运动定律，下列说法错误的是 ( )
A．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，行星运动过程中速度大小不变
B．所有的行星围绕太阳运动的轨道都是圆，行星运动的方向总是与它和太阳的连线垂直
D．行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，所以行星运动的方向有时并不沿椭圆轨道的切线方向
【答案】ABD
4．(2025年梅州期末)二十四节气是我国古代历法的独创，早在西汉时期的《淮南子》中就有记载，它是根据地球在公转轨道上不同位置所反映的寒暑变化并结合相应的气象条件和自然现象(即物候)来命名的．现行二十四节气划分以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气，如图为二十四个节气对应的地球在公转轨道上位置的示意图．其中冬至时地球在近日点附近，春分、秋分点与太阳刚好在同一直线上．则下列说法正确的是 ( )
A．春分点与秋分点，地球环绕太阳公转速度相同
B．地球从小暑到冬至的过程中，其公转运动可视为加速运动
C．春分、夏至、秋分、冬至四个节气刚好将一年的时间四等分
D．立春附近相邻两节气与立秋附近相邻两节气的时间间隔相同
【答案】B
【解析】根据图像可知，春分点与秋分点时，地球关于太阳对称，地球到太阳的间距相等，根据开普勒第二定律可知，地球环绕太阳公转速度大小相等，但方向不同，A错误；地球从小暑到冬至，离太阳越来越近，则做加速运动，B正确；
由于冬至时地球在近日点附近，夏至时地球在远日点附近，则地球从秋分经冬至到春分的平均速度大于地球从春分经夏至到冬至的平均速度，则地球从秋分经冬至到春分的时间间隔小于地球从春分经夏至到冬至的时间间隔，可知，春分、夏至、秋分、冬至四个节气并没有将一年的时间四等分，C错误；立春附近相邻两节气到太阳的间距小于立秋附近相邻两节气到太阳的间距，根据开普勒第二定律可知，立春附近相邻两节气位置的速度大小大于立秋附近相邻两节气位置的速度，则立春附近相邻两节气的时间间隔小于立秋附近相邻两节气的时间间隔，D错误．
5．月亮与木星相伴出现在夜空，上演了星月争辉的浪漫天象．关于天体运动，下列说法正确的是 ( )
A．木星与月亮均绕地球转动
B．地球和木星绕太阳运动的半长轴的立方与周期的平方之比不相同
C．月亮绕地球和木星绕太阳的半长轴的立方与周期的平方之比不相同
D．木星运行的方向始终与它和太阳的连线垂直
【答案】C
【解析】木星绕太阳转动，月亮绕地球转动，A错误；地球和木星均绕太阳转动，根据开普勒第三定律，地球和木星绕太阳运动的半长轴的立方与周期平方之比相同，B错误；木星绕太阳转动，月亮绕地球转动，两者中心天体不同，则月亮绕地球和木星绕太阳的半长轴的立方与周期的平方之比不相同，C正确；木星绕太阳沿椭圆轨道运动，则木星运行的方向不是始终与它和太阳的连线垂直，D错误．
课后提升训练
考点1 开普勒行星运动定律的理解
1．(2024年成都七中期中)下列四位科学家为天体物理学的发展作出了杰出贡献，根据他们做出的主要成果按时间排序依次是 ( )
①卡文迪许 ②牛顿 ③第谷 ④开普勒
A．③④②① B．③④①②
C．④③①② D．④③②①
基础对点练
【答案】A
【解析】首先第谷观测了行星的运行数据，之后开普勒研究第谷的行星观测记录，发现了开普勒行星运动定律，之后牛顿在前人的基础上发现了万有引力定律，后来，卡文迪许准确测出了引力常量的数值．
2．关于开普勒行星运动定律，下列说法不正确的是 ( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
B．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【答案】B
3．(2025年常州期末)对于两颗绕太阳运动的行星，下列轨道示意图满足开普勒第一定律的是 ( )
【答案】C
【解析】根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在它的一个焦点上．故选C．
4．(2025年百色期末)哈雷彗星和行星A围绕太阳公转的轨道如图所示，其中阴影部分分别为它们与太阳连线在相等时间内扫过的面积S1、S2、S3、S4，则 ( )
A．S1＝S2
B．S2＝S3
C．S3＝S4
D．S4＝S2
【答案】B
【解析】哈雷彗星和行星A是不同天体，不适用同一行星的规律，所以S1与S2、S3与S4、S4与S2不满足相等关系，A、C、D错误；S2和S3是哈雷彗星与太阳连线在相等时间内扫过的面积，根据开普勒第二定律，S2＝S3，B正确．
考点2 开普勒行星运动定律的应用
5．(2025年商丘段考)理论和实践证明，开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体(包括卫星绕行星的运动)都适用．对于开普勒行星运动定律的说法正确的是 ( )
A．只适用于轨道是椭圆的运动
B．卫星绕地球运动的速度是不变的
【答案】D
【答案】D
7．(2025年绵阳检测)黄道(ecliptic)，天文学术语，是从地球上来看太阳(视太阳)一年“走”过的路线，是由于地球绕太阳公转而产生的，该轨道平面称为黄道面．夏至日即视太阳运行至黄经90°位置．地球公转轨道的半长轴在天文学上常作为长度单位，叫作天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离(这只是个粗略的说法．在天文学中，“天文单位”有严格的定义，用符号AU表示)．已知火星公转轨道的半长轴是1.5 AU，则下列说法正确的是 ( )
C．夏至时，地球处于远日点，公转线速度最大
D．夏至时，地球处于近日点，公转线速度最小
【答案】A
8．(2025年黑龙江开学考)太阳系部分行星的公转轨道可近似看作圆轨道．地球与太阳之间的平均距离约为1.5×108 km，结合下表可知，木星与太阳之间的平均距离约为 ( )
A．5.9×108 km B．6.9×108 km
C．7.9×108 km D．8.9×108 km
【答案】C
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星
公转周期/年 0.24 0.6 1.0 1.9 12 30
9．如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运行轨道是椭圆．根据开普勒行星运动定律可知 ( )
A．太阳位于地球运行轨道的中心
B．地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C．火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
D．火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
综合提升练
【答案】C
【解析】根据开普勒第一定律可知，地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处，故A错误；地球绕太阳运行的过程中，近日点速度最大，远日点速度最小，所以地球靠近太阳的过程中，运行速率增加，故B错误；根据开普勒第三定律可知，火星绕太阳运行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴，可知火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，故C正确；根据开普勒第二定律可知，火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故D错误．
10．太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同．下列反映公转周期与行星轨道半长轴的关系图像正确的是 ( )
【答案】D
11．月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天．已知地球半径R0＝6 400 km，试计算在赤道平面内离地面多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？
解：月球和人造卫星都环绕地球运动，可用开普勒第三定律求解．设人造地球卫星轨道半径为R1，地球卫星的周期T1＝1天，
月球轨道半径R2＝60R0，月球周期T2＝27天．
