2025-2026学年北京十一晋元中学九年级（上）月考数学试卷（1月份）（含答案）

2025-2026学年北京十一晋元中学九年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.抛物线y=-2x2+4x+3的顶点坐标是（　　）
A. （2，1） B. （1，5） C. （-2，5） D. （-1，2）
3.用配方法解一元二次方程x2-6x+3=0时，将它化为（x+m）2=n的形式，则m+n的值为（　　）
A. -6 B. -3 C. 0 D. 3
4.如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB=54°，则∠CBA的大小为（　　）
A. 46°
B. 36°
C. 42°
D. 49°
5.如图，AP、AQ分别与⊙O相切于B、C两点，点D在⊙O上，连接BD、CD.若∠A=60°，∠PBD=75°，CD=4，则⊙O的半径为（　　）
A. 2
B. 2
C. 3
D. 4
6.如图，小明在综合实践活动课上用纸板制作了一个底面半径为3，高CO为4的圆锥形漏斗模型，则这个圆锥形漏斗的侧面积是（　　）
A. 12π B. C. 24π D. 15π
7.已知二次函数y=a（x-1）2-a（a≠0），当-1≤x≤4时，y的最小值为-4，则a的值为（　　）
A. 或4 B. 或- C. -或4 D. -或4
8.已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0，c＞1）的图象与x轴的一个交点坐标为（-2，0），对称轴为直线x=1.有下列结论：①a-b+c＞0；②若点（-3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c-1=0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则-2＜x1＜x2＜4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤-9a.其中，正确的结论是（　　）
A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.如图，图形是由一个△OAB绕某点连续旋转若干次得到，每次旋转相同角度α，则α的最小值为 °.
10.函数y=（m-1）x2+2x+1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围 .
11.如图，正方形ABCD的边长是10cm，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF．四边形AEGF是矩形，矩形AEGF的面积y（cm2）与BE的长x cm（0＜x≤10）的函数关系是______．
12.社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率为 ．

13.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用.例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m,地面入口宽为1m,则该门洞的半径为______m.
14.如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，∠B+∠E=154°，则所对的圆周角度数为 .
15.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y=ax2-2ax+1（a＞0）上的两点，当t-1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4时，都有y1＞y2，t的范围为 .
16.如图，AB为⊙O的弦，C，D为圆上的两个动点.记弦AB所对的圆心角度数为α，弦CD所对的圆心角度数为β，若α+β=180°，下列结论：①∠A+∠C=90°；②若β=2α，则；③若B为弧AD的中点，则OA⊥CD；④AB2+CD2=4OC2.其中正确的是 .（填序号）
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：x2+4x-8=0．
四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，求代数式（2a-1）（2a-3）+5的值.
19.(本小题5分)
下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O．
求作：⊙O的内接正方形．
作法：①作⊙O的直径AB；
②分别以点A，B为圆心，大于AB同样长为半径作弧，两弧交于M，N；
③作直线MN交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC，AD，BD．
∴四边形ACBD就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵MN是AB的______，
∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°．
∴AC=BC=BD=AD．（______）（填推理依据）
∴四边形ACBD是菱形．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．（______）（填推理依据）
∴四边形ACBD是正方形．
20.(本小题5分)
已知关于x的一元二次方程x2+（2-m）x+1-m=0.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值.
21.(本小题5分)
如图，正方形ABCD中，点F在边BC上，E在边BA的延长线上，AE=3，BF=2.若△DCF按顺时针方向旋转后恰好与△DAE重合.
（1）则旋转中心是点______；线段DF扫过的面积为______；
（2）求四边形BFDE的面积.
22.(本小题5分)
如图，AB是⊙O的直径，点E是弦CD的中点，连接BD，过点C作CF∥BD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF.求证：AG=AF.
23.(本小题6分)
在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请根据下表估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）
摸球的次数n 2048 4040 10000 12000 24000
摸到白球的次数m 1061 2048 4979 6019 12012
摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．
24.(本小题6分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于G，连接BD，CD，过点D作DE⊥AC交延长线于E，作DM⊥AB于F，交⊙O点M，交BC于H.
（1）求证：DE为⊙O切线；
（2）若OB=5，BD=6，求FH.
25.(本小题6分)
某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100℃后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50℃水壶不加热；若水温降至50℃水壶开始加热，水温达到80℃时停止加热，此后一直在保温模式下循环工作，某数学小组对壶中水量为1L时，水温T（单位：℃）与时间t（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据.
1L水从20℃开始加热，水温与时间对照表
煮沸模式 保温模式
t 0 3 6 m 10 12 14 16 18 20 22 24 26 …
T 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 …
对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T和加热时间t呈线性关系.
（1）表中m的值为______；
（2）根据表中的数据，补充完成以下内容：
①在图中补全水温与时间的函数图象；
②当t=48时，T=______；
（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关，某天小明往水壶中注入IL温度为10℃的水，当水加热至100℃后，等水降温后再喝，从他注水开始计算，小明至少需要______分钟才能喝到不高于50℃的水.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与y轴交于点C.
（1）求抛物线的对称轴和点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）过点C作y轴的垂线l,将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形G，已知点P（a,p）和点Q（-2-a,q）是图形G上的点，设t=p+q,过点P作x轴的垂线交x轴于点M，当t随着OM的增大而增大时，求a的取值范围.
27.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α，N是BC中点，P为NC上一点，连接AP，D为△BAP内一点，且∠DAP=α，点D关于直线AP的对称点为点E，DE与AP交于点M，连接BD，CE.
（1）依题意补全图形；
（2）求证：BD=EC；
（3）连接MN，若∠DBC+∠ECB=90°，用等式表示线段BD与MN的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，-2），B（5，-2），C（-1，4）.
（1）在点D（-4，0），E（2，2），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是______；
（2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，
①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围；
②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】72
10.【答案】m＜2且m≠1
11.【答案】y=-x2+100
12.【答案】0.2
13.【答案】1.3
14.【答案】26°
15.【答案】
16.【答案】①②④
17.【答案】解：原式可化为x2+4x+4-4-8=0
即（x+2）2=12，
开方得，x+2=±，
x1=-2+；
x2=-2- ．
18.【答案】12．
19.【答案】解：（1）如图，四边形ADBC为所作；
（2）证明：∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°．
∴AC=BC=BD=AD．（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
∴四边形ACBD是菱形．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．（直径所对圆周角是直角），
∴四边形ACBD是正方形．
故答案为：垂直平分线；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；直径所对圆周角是直角．
20.【答案】（1）证明：∵一元二次方程x2+（2-m）x+1-m=0，
∴Δ=（2-m）2-4（1-m）
=m2-4m+4-4+4m=m2．
∵m2≥0，
∴Δ≥0．
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程x2+（2-m）x+1-m=0，
解方程，得x1=-1，x2=m-1．
∵m＜0，
∴-1＞m-1．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴-1-（m-1）=3．
∴m=-3．
21.【答案】D; 25
22.【答案】证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴=，
∴∠B=∠F，
∵CF∥BD，
∴∠AGF=∠B，
∴∠AGF=∠F，
∴AG=AF．
23.【答案】解：（1）0.5；
（2）由（1）得摸到白球的概率为0.5，
所以可估计口袋中白种颜色的球的个数为4×0.5=2（个）；
（3）列表得：
第二次
第一次 白1 白2 黑1 黑2
白1 （白1，白1） （白1，白2） （白1，黑1） （白1，黑2）
白2 （白2，白1） （白2，白2） （白2，黑1） （白2，黑2）
黑1 （黑1，白1） （黑1，白2） （黑1，黑1） （黑1，黑2）
黑2 （黑2，白1） （黑2，白2） （黑2，黑1） （黑2，黑2）
由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能，
∴P（颜色相同）=.
24.【答案】∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线
25.【答案】8 60 23
26.【答案】对称轴为直线x=-1，点C的坐标为
27.【答案】解：（1）依题意补全图形：
（2）证明：连接AE．
∵点D关于直线AP的对称点为E，∠DAP=α，
∴∠EAP=∠DAP=α，AD=AE．
∴∠DAC+∠EAC=2α．
∵∠BAC=2α，
∴∠DAC+∠DAB=2α．
∴∠DAB=∠EAC，
∵AB=AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=EC；
（3）BD=MN，理由如下：
连接DN并延长到F，使得NF=ND，连接FC，EF．
∴点N是DF中点．
∵点D关于直线AP的对称点为E，DE与AP交于M，
∴点M是DE中点．
∴MN为△DEF的中位线．
∴．
∵点N是BC中点，
∴NB=NC．
∵∠BND=∠CNF，NF=ND，
∴△BND≌△CNF（SAS），
∴CF=BD，∠DBC=∠FCN．
又∵BD=CE，
∴CF=CE，
∵∠DBC+∠BCE=90°，
∴∠FCN+∠BCE=90°．
∴∠ECF=90°．
∴∠CEF=∠CFE=45°．
∴．
∵BD=CE，，
∴．
∴．
28.【答案】D，F ①-2-≤t≤-2+；②≤k≤或≤k≤
第1页，共1页