2025-2026学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（下）第一次学情分析数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（下）第一次学情分析数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 190.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-26 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（下）第一次学情分析数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A. B. C. D.
2.人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；Deepseek-V3模型参数可达6710亿个，其中数6710亿用科学记数法表示为（ ）
A. 6710×103 B. 6.71×1010 C. 6.71×1011 D. 0.671×1012
3.8个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看到的形状图是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.下列运算正确的是（ ）
A. 2m6-m2=m4 B. （-2a）2=-4a2 C. -12a2÷4a=3a D.
5.一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数
成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■
则被遮盖的两个数据依次是（ ）
A. 80，82 B. 81，82 C. 80，80 D. 81，80
6.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图∠1=45°，∠2=125°，则∠3+∠4=（ ）
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
7.如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB=3∠BOC，若∠ACB=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A. 30°
B. 20°
C. 15°
D. 10°
8.近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低.某品牌智能手机原售价为m元，现打九折，再优惠n元，那么该手机现在的售价为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
9.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠ABC=27°，BC=36cm,则高AD约为（ ）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A. 8.10cm B. 11.22cm C. 9.18cm D. 16.02cm
10.若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（ ）
A. -2＜m＜-1 B. -1＜m＜0 C. 0＜m＜1 D. 1＜m＜2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.使代数式有意义的x的取值范围是______．
12.已知xy=-3，x+y=2，则代数式x2y+xy2的值是______．
13.若关于x的方程x2-x+p=0有两个不相等的实数根，则p的取值范围是 .
14.如图，点M是函数y=2x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=，则k的值为______．
15.已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为 .
16.扑克牌游戏：
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是______；
（2）图1中∠α的度数是______，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：.
19.(本小题6分)
先化简，再求值：（2x+y）（2x-y）-（x-2y）2+（6x4-10x2y2）÷（-2x2），其中，y=-2．
20.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE=BD；分别以点D和点E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G.
（1）连接EF、DF，通过证明△BEF≌△DEF，得到∠ABG=∠CBG，从而得到BG是∠ABC的平分线，其中证明△BEF≌△BDF的依据是______（填序号）.
①SAS
②ASA
③AAS
④SSS
（2）当∠A=56°，∠BGC= ______；
（3）若AC=3，BC=4，P为AB上一动点，求GP的最小值.
21.(本小题8分)
如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、点F分别为OA，OC的中点，连接BE，DF.
（1）求证：BE=DF；
（2）已知EF=2，，若BD=2AB，求 ABCD的面积.
22.(本小题9分)
某家电销售商场电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商场用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润．
23.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点E，点D为AC的中点，连接DE.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若CE=1，OA=，求∠ACB的度数.
24.(本小题10分)
我们约定：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与一元二次方程cx2+bx+a=0（c≠0）互为“轮转对称方程”.二次函数+c（a≠0）与二次函数互为“轮转对称函数”.
（1）直接写出3x2-2x-1=0的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”；
（2）对于任意非零实数m,n,点P（m,t）与点Q（n,t）（m≠n）始终在关于x的函数的图象上运动，函数y2与y1互为“轮转对称函数”.
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，a+c＞0且c≥a,其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是AB的中点，点O是坐标原点.已知，试求：的最大值.
25.(本小题10分)
如图1，AC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，∠ADC的平分线DB交⊙O于点B，交AC于M，连接AB、CB.
（1）填空：=______，=______，=______；（直接将结果写在相应的横线上）
（2）如图2，过点D作DN⊥AC，垂足为N，若，求tan∠ABD的值；
（3）如图3，记DC=m,DA=n,
①试用含m,n的式子表示DM MB；
②若点I是△ACD的内心，试用含m,n的式子表示.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】x≥且x≠3
12.【答案】-6
13.【答案】p＜
14.【答案】2
15.【答案】120°
16.【答案】5
17.【答案】（1)40
(2)54° , C级的人数是：40-6-12-8=14（人），
如图：
(3) 700
（4）根据题意画树形图如下：
共有12种情况，选中小明的有6种，
则P（选中小明）==．
18.【答案】2．
19.【答案】解：（2x+y）（2x-y）-（x-2y）2+（6x4-10x2y2）÷（-2x2）
=4x2-y2-x2+4xy-4y2-3x2+5y2
=4xy，
当，y=-2时，原式=4××（-2）
=-4．
20.【答案】解：（1）④；
（2）73°；
（3）如图，过点G作GH⊥AB于点H．
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
由作图过程可知：BG平分∠ABC，GC⊥BC，GH⊥AB，
∴GH=GC，
设GH=GC=x,则有×5 x+×4 x=×4×3=S△ABC，
∴x=，
∴GH=，
∵P为AB上一动点，
则GP的最小值为．
21.【答案】证明见解答；
ABCD的面积为12．
22.【答案】解：（1）设每台空调的进价为m元，则每台电冰箱的进价为（m+400）元，
根据题意得：=，
解得：m=1600，
经检验，m=1600是原方程的解，
∴m+400=1600+400=2000．
答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元．
（2）设购进电冰箱x台（x为正整数），这100台家电的销售总利润为y元，
则y=（2100-2000）x+（1750-1600）（100-x）=-50x+15000，
根据题意得：，
解得：33≤x≤36，
∵x为正整数，
∴x=34，35，36，
∴合理的方案共有3种，
即①电冰箱34台，空调66台；
②电冰箱35台，空调65台；
③电冰箱36台，空调64台；
∵y=-50x+15000，k=-50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y有最大值，最大值为：-50×34+15000=13300（元），
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
23.【答案】（1）证明：如图，连接OD，OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵点D是AC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥BC，
∴∠OBE=∠AOD，∠OEB=∠DOE，
∴∠AOD=∠EOD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AE，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵点D为AC的中点，
∴设AD=CD=x，
∴AE==，
∵∠C+∠CAE=90°，∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠C=∠BAE，
∴△AEC∽△BEA，
∴=，
∴=，
∴x=，
两边平方，得
（4x2-1）x2=3，
整理，得4x4-x2-3=0，
∴（x2-1）（4x2+3）=0，
∴（x2-1）=0或（4x2+3）=0，
解得，x=±1（负值舍去），（4x2+3）=0无解，
∴x=1，
∴AC=2x=2，
∴cos∠C==，
∴∠C=60°．
答：∠ACB的度数为60°．
24.【答案】-x2-2x+3=0；x1=1，x2=-3 ①对称轴为直线；②过定点（0，1）， 6
25.【答案】2;; 2 ①；②
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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A. B. C. D.
2.人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；Deepseek-V3模型参数可达6710亿个，其中数6710亿用科学记数法表示为（ ）
A. 6710×103 B. 6.71×1010 C. 6.71×1011 D. 0.671×1012
3.8个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看到的形状图是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.下列运算正确的是（ ）
A. 2m6-m2=m4 B. （-2a）2=-4a2 C. -12a2÷4a=3a D.
5.一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数
成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■
则被遮盖的两个数据依次是（ ）
A. 80，82 B. 81，82 C. 80，80 D. 81，80
6.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图∠1=45°，∠2=125°，则∠3+∠4=（ ）
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
7.如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB=3∠BOC，若∠ACB=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A. 30°
B. 20°
C. 15°
D. 10°
8.近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低.某品牌智能手机原售价为m元，现打九折，再优惠n元，那么该手机现在的售价为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
9.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠ABC=27°，BC=36cm,则高AD约为（ ）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A. 8.10cm B. 11.22cm C. 9.18cm D. 16.02cm
10.若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（ ）
A. -2＜m＜-1 B. -1＜m＜0 C. 0＜m＜1 D. 1＜m＜2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.使代数式有意义的x的取值范围是______．
12.已知xy=-3，x+y=2，则代数式x2y+xy2的值是______．
13.若关于x的方程x2-x+p=0有两个不相等的实数根，则p的取值范围是 .
14.如图，点M是函数y=2x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=，则k的值为______．
15.已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为 .
16.扑克牌游戏：
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是______；
（2）图1中∠α的度数是______，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：.
19.(本小题6分)
先化简，再求值：（2x+y）（2x-y）-（x-2y）2+（6x4-10x2y2）÷（-2x2），其中，y=-2．
20.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE=BD；分别以点D和点E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G.
（1）连接EF、DF，通过证明△BEF≌△DEF，得到∠ABG=∠CBG，从而得到BG是∠ABC的平分线，其中证明△BEF≌△BDF的依据是______（填序号）.
①SAS
②ASA
③AAS
④SSS
（2）当∠A=56°，∠BGC= ______；
（3）若AC=3，BC=4，P为AB上一动点，求GP的最小值.
21.(本小题8分)
如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、点F分别为OA，OC的中点，连接BE，DF.
（1）求证：BE=DF；
（2）已知EF=2，，若BD=2AB，求 ABCD的面积.
22.(本小题9分)
某家电销售商场电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商场用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润．
23.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点E，点D为AC的中点，连接DE.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若CE=1，OA=，求∠ACB的度数.
24.(本小题10分)
我们约定：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与一元二次方程cx2+bx+a=0（c≠0）互为“轮转对称方程”.二次函数+c（a≠0）与二次函数互为“轮转对称函数”.
（1）直接写出3x2-2x-1=0的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”；
（2）对于任意非零实数m,n,点P（m,t）与点Q（n,t）（m≠n）始终在关于x的函数的图象上运动，函数y2与y1互为“轮转对称函数”.
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，a+c＞0且c≥a,其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是AB的中点，点O是坐标原点.已知，试求：的最大值.
25.(本小题10分)
如图1，AC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，∠ADC的平分线DB交⊙O于点B，交AC于M，连接AB、CB.
（1）填空：=______，=______，=______；（直接将结果写在相应的横线上）
（2）如图2，过点D作DN⊥AC，垂足为N，若，求tan∠ABD的值；
（3）如图3，记DC=m,DA=n,
①试用含m,n的式子表示DM MB；
②若点I是△ACD的内心，试用含m,n的式子表示.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】x≥且x≠3
12.【答案】-6
13.【答案】p＜
14.【答案】2
15.【答案】120°
16.【答案】5
17.【答案】（1)40
(2)54° , C级的人数是：40-6-12-8=14（人），
如图：
(3) 700
（4）根据题意画树形图如下：
共有12种情况，选中小明的有6种，
则P（选中小明）==．
18.【答案】2．
19.【答案】解：（2x+y）（2x-y）-（x-2y）2+（6x4-10x2y2）÷（-2x2）
=4x2-y2-x2+4xy-4y2-3x2+5y2
=4xy，
当，y=-2时，原式=4××（-2）
=-4．
20.【答案】解：（1）④；
（2）73°；
（3）如图，过点G作GH⊥AB于点H．
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
由作图过程可知：BG平分∠ABC，GC⊥BC，GH⊥AB，
∴GH=GC，
设GH=GC=x,则有×5 x+×4 x=×4×3=S△ABC，
∴x=，
∴GH=，
∵P为AB上一动点，
则GP的最小值为．
21.【答案】证明见解答；
ABCD的面积为12．
22.【答案】解：（1）设每台空调的进价为m元，则每台电冰箱的进价为（m+400）元，
根据题意得：=，
解得：m=1600，
经检验，m=1600是原方程的解，
∴m+400=1600+400=2000．
答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元．
（2）设购进电冰箱x台（x为正整数），这100台家电的销售总利润为y元，
则y=（2100-2000）x+（1750-1600）（100-x）=-50x+15000，
根据题意得：，
解得：33≤x≤36，
∵x为正整数，
∴x=34，35，36，
∴合理的方案共有3种，
即①电冰箱34台，空调66台；
②电冰箱35台，空调65台；
③电冰箱36台，空调64台；
∵y=-50x+15000，k=-50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y有最大值，最大值为：-50×34+15000=13300（元），
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
23.【答案】（1）证明：如图，连接OD，OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵点D是AC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥BC，
∴∠OBE=∠AOD，∠OEB=∠DOE，
∴∠AOD=∠EOD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AE，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵点D为AC的中点，
∴设AD=CD=x，
∴AE==，
∵∠C+∠CAE=90°，∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠C=∠BAE，
∴△AEC∽△BEA，
∴=，
∴=，
∴x=，
两边平方，得
（4x2-1）x2=3，
整理，得4x4-x2-3=0，
∴（x2-1）（4x2+3）=0，
∴（x2-1）=0或（4x2+3）=0，
解得，x=±1（负值舍去），（4x2+3）=0无解，
∴x=1，
∴AC=2x=2，
∴cos∠C==，
∴∠C=60°．
答：∠ACB的度数为60°．
24.【答案】-x2-2x+3=0；x1=1，x2=-3 ①对称轴为直线；②过定点（0，1）， 6
25.【答案】2;; 2 ①；②
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