2025-2026学年江苏省南京市建邺区致远初级中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2025-2026学年江苏省南京市建邺区致远初级中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知⊙O的半径是2，如果点P到圆心O的距离为3，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点P在⊙O外 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O内 D. 不能确定
2.抛物线y=ax2+c的顶点坐标是（0，2），且形状及开口方向与抛物线y=-x2相同，则a,c的值分别为（　　）
A. -，2 B. -，-2 C. ，2 D. ，-2
3.点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，下列说法错误的是（　　）
A. B.
C. D. BP≈0.618AP
4.如图，在灯光下，灯光与物体在地面上的影子最合理的是（　　）
A. B.
C. D.
5.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交BO的延长线于点D，若OB=1，则OD的长为（　　）
A. 2
B. 3
C.
D.
6.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0），（3，0）.下列结论：①；②c=2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④当-2＜x＜3时，；⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，当m1+m2＞1时，n1＞n2.其中正确结论的个数为（　　）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.若，则= .
8.抛物线y=x2+5x+4在x轴上截得的线段长度是 .
9.若关于x的方程x2+（k-3）x-k2=0的两根互为相反数，则k= .
10.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30m.若养鸡场面积为120m2，设AB=x m,则列方程得 .
11.图①是一种道路交通隔离警戒设施——交通锥，将其抽象成几何图形，近似地看成圆锥（如图②），测得底面半径r=20cm,母线l=70cm,则圆锥的侧面积是 cm2.（结果保留π）
12.小明对自己上学路线的长度进行了20次测量，得到20个数据x1，x2，…，x20，已知x1+x2+ +x20=40460，当代数式取得最小值时，的值为 .
13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，点E在上，连接EC，EB，若∠ADC=110°，则∠BEC= °.
14.实心球是越城区中考体育考试项目之一.某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从y轴上的点A（0，2）处出手，实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系为y=a（x-4）2+4，那么该男生本次投掷可得 分.（参考数据：≈1.41）
越城区体育中考评分标准（实心球男）
掷实心（m） 10.0 9.60 9.20 8.80 8.40 8.00 7.60 7.20 7.00 6.80
分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
注：掷实心球距离为a（m），当a≥10.0，得10分，当9.60≤a＜10，得9分，当9.20≤a＜9.60，得8分…依次类推，当a＜6.8时，得0分.
15.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M为BC的中点，点N在CD上，且∠AMN=90°，则CN= .
16.如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的顶点D（3，2），点P是对角线OC上的一个动点，已知A（-1，0），则AP+BP的最小值是 .
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
用适当的方法解下列方程：
（1）x2-4x-12=0；
（2）（x-3）2=7x-21.
18.(本小题8分)
圆的相交弦定理是这样的：圆内的两条相交弦，被交点分得的两条线段长的乘积相等.如图，⊙O的弦AB，CD交于点P，求证：AP BP=CP DP.
19.(本小题8分)
某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图.请根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）本次调查数据的中位数是______；
（2）抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少？
（3）若该校共有2000个学生，请根据统计数据，估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数.
20.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx-5（a≠0）的图象经过点（-4，-5）.
（1）若a=1，求该函数图象的顶点坐标.
（2）若a＜0，点A（-1，y1），B（m,y2）在该函数图象上，且y1＞y2，求m的取值范围.
（3）当x≥-4时，y≤-1，求该二次函数的解析式.
21.(本小题8分)
随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展，某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售.经统计，“双11”的前一周（10月30日-11月5日）的销售量为500件，该电商在“双11”期间（11月6日-11月12日）进行降价销售，经调查，发现该款T恤在“双11”的前一周销售量的基础上，每降价1元，周销售量就会增加50件.若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率=×100%）
22.(本小题8分)
为拓展学生的视野，某校准备组织四个课题活动，课题1—5G的发展前景；课题2—航空航天宇宙探索；课题3—传统优秀文化传承；课题4——网络信息筛选.由于课题活动时间重叠，每位同学只能选择一个课题，晓含和小婷两人决定采用抽签的方式确定课题的主题，四支签上分别写有四个课题的名称，晓含从这四支签中随机抽取一支，不放回，小婷再从剩下的三支签中随机抽取一支.
（1）晓含抽到课题1的概率是______；
（2）请用列表或画树状图的方法求晓含和小婷中有一人抽到课题3的概率.
23.(本小题8分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，AE⊥CD交CD的延长线于点E.
（1）求证：DA平分∠BDE；
（2）若 AE=4cm,CD=6cm,求AD的长.
24.(本小题8分)
已知：如图，AM是△ABC的中线，点G是重心，点D、E分别在边AB和BC上，四边形BEGD是平行四边形.
（1）求证DE∥AC；
（2）设，，用向量，表示= ______.
25.(本小题8分)
用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的.但对于特定度数的已知角，如90°角，45°角等，是可以用尺规进行三等分的.下面是小明的探究过程：
已知：如图1，∠AOB=90°.
求作：射线OE，OG三等分∠AOB.
作法：如图2，
①在射线OB上取任一点C；
②分别以O，C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在OB上方交于点E，在OB下方交于点F，连接CE；
③作直线EF交OC于点D；
④以D为圆心，OD长为半径作圆，交线段CE于点G（点G不与点C重合）；
⑤作射线OG，OE.
所以射线OG，OE即为所求射线.
（1）利用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：∵OE=OC=CE，
∴△COE为等边三角形.
∴∠COE=60°.
∴∠AOE=∠AOB-∠COE=30°.
∵OC为⊙D的直径，
∴∠CGO= ______°.
又∵OE=OC，OG⊥EC，
∴OG平分∠EOC ______（填推理的依据）.
∴∠COG=∠EOG=∠COE=30°.
∴∠AOE=∠COG=∠EOG.
即射线OE，OG三等分∠AOB.
26.(本小题8分)
已知二次函数y=x2+bx+c（b,c为常数）的图象经过点A（0，-5）和B（2，7）.
（1）求二次函数的表达式.
（2）若将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的图象上，求m的值.
（3）当n≤x≤2时，二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的和为-2，求n的取值范围.
27.(本小题8分)
如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5，BE=3.点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足.设BQ=x,CP=y.
（1）求半圆O的半径.
（2）求y关于x的函数表达式.
（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ.当△PQR为直角三角形时，求x的值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】
8.【答案】3
9.【答案】3
10.【答案】x（30+2-2x）=120
11.【答案】1400π
12.【答案】2023
13.【答案】20
14.【答案】9
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：（1）∵x2-4x-12=0，
∴（x+2）（x-6）=0，
∴x+2=0或x-6=0，
∴x1=-2，x2=6；
（2）∵（x-3）2=7x-21，
∴（x-3）2=7（x-3），
∴（x-3）2-7（x-3）=0，
∴（x-3-7）（x-3）=0，
∴x-3-7=0或x-3=0，
∴x1=10，x2=3．
18.【答案】如图：连接AD，BC，
∵，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠CPB=∠APD，
∴△CPB∽△APD，
∴，
∴AP BP=CP DP．
19.【答案】（1）3；
（2）×（1×4+2×8+3×15+4×10+5×3）=3（小时），
答：抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时；
（3）2000×=1400（人），
答：估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数为1400人．
20.【答案】（-2，-9）；
m＜-3或m＞-1；
y=-x2-4x-5．
21.【答案】解：设售价为每件x元，利润为y元，根据题意，得：
y=（x-40）[500+50（60-x）]=-50x2+5500x-140000=-50（x-55）2+11250，
∵销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，
∴，
解得40≤x≤52，
∵a=-50＜0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为直线x=55，
∴当40≤x≤52时，y随x的增大而增大，
∴当x=52时，y有最大值，最大值为y=-50（52-55）2+11250=10800（元），
答：当定价为每件52元，才能使利润最大，最大利润是10800元．
22.【答案】（1）；
（2）列表如下，
晓含小婷 课题1 课题2 课题3 课题4
课题1 课题1，课题2 课题1，课题3 课题1，课题4
课题2 课题2，课题1 课题2，课题3 课题2，课题4
课题3 课题3，课题1 课题3，课题2 课题3，课题4
课题4 课题4，课题1 课题4，课题2 课题4，课题3
共有12种等可能结果，符合题意的有6种，
∴晓含和小婷中有一人抽到课题3的概率为．
23.【答案】（1）证明：∵AE是⊙O的切线，
∴AO⊥AE，
∵AE⊥CD，
∴OA∥CE，
∴∠OAD=∠ADE，
∵AO=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠ADE，
即DA平分∠BDE；
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF=AE=4cm.EF=OA，
又∵OF⊥CD，
∴DF=CD=3cm.
在Rt△ODF中，OD==5cm,
即⊙O的半径为5cm,
∴EF=OA=5cm,
∴ED=EF-DF=5-3=2cm,
在Rt△AED中，AD==2cm.
24.【答案】（1）证明：∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GM，
∵四边形BEGD是平行四边形，
∴GE∥AB，DG∥BM，
∴BE：EM=AG：GM，
∴BE=2ME，
∴BE=MB，
∵AM是△ABC的中线，
∴MB=BC，
∴BE=BC，
∵DG∥BM，
∴BD：AD=MG：AG，
∵G是△ABC的重心，
∴MG=AG，
∴BD=AD，
∴BD=BA，
∴BD：BA=BE：BC=，
∵∠DBE=∠ABC，
∴△BDE∽△BAC，
∴∠BDE=∠BAC，
∴DE∥AC；
（2） （-）．
25.【答案】90 等腰三角形三线合一
26.【答案】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c（b,c为常数）的图象经过点A（0，-5）和B（2，7），
∴，
∴．
∴抛物线为y=x2+4x-5．
（2）∵y=x2+4x-5=（x+2）2-9，
∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
∵将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，
∴B1（2，16），
∴B2（-6，16），
∵再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的图象上，
∴将B2向左平移m（m＞0）个单位长度得到（-6-m,16），
把点（-6-m,16）代入y=x2+4x-5得，16=（-6-m）2+4（-6-m）-5，
解得m=1或m=-9（舍去），
∴m的值为1．
（3）由题意，当n＞-2时，
∴最大值与最小值的和为（n+2）2-9+7=-2．
∴n=-2不符合题意，舍去．
当-6≤n≤-2 时，
∴最大值与最小值的和为7-9=-2，符合题意．
当n＜-6时，最大值与最小值的和为 （n+2）2-9-9=-2，
解得n1=2 或n2=-6，不符合题意．
综上所述，n的取值范围为-6≤n≤-2．
27.【答案】解：（1）如图1，连接OD，设半径为r,
∵CD切半圆于点D，
∴OD⊥CD，
∵BE⊥CD，
∴OD∥BE，
∴△COD∽△CBE，
∴，
∴，
解得r=，
∴半圆O的半径为；
（2）由（1）得，CA=CB-AB=5-2×=，
∵=，BQ=x,
∴AP=，
∴CP=AP+AC，
∴y=；
（3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，
当∠RPQ=90°时，则四边形RPQE是矩形，
∴PR=QE，
∵PR=PC×sinC=，
∴，
∴x=，
当∠PQR=90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，
则四边形PHER是矩形，
∴PH=RE，EH=PR，
∵CR=CP cosC=，
∴PH=RE=3-x=EQ，
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴∠PQH=45°=∠QPH，
∴HQ=HP=3-x,
由EH=PR得：（3-x）+（3-x）=，
∴x=，
综上，x的值为或；
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