上海市同凯中学、世外中学2025-2026学年下学期九年级数学限时作业（一）（含答案）

上海市同凯中学、世外中学2025-2026学年下学期九年级数学限时作业（一）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果关于的不等式的解集为，那么实数的值为（ ）
A. B. C. D.
2.方程的解是（ ）
A. B.
C. D. 或或
3.关于函数的图像的表述中，不正确的是（ ）
A. 函数图像关于轴对称 B. 函数图像经过第一、三象限
C. 时，随的增大而减小 D. 函数图像与轴没有公共点
4.某校园举办校园文化节，需要从3名男生和2名女生中随机选取2人担任主持人，其中选出的2人恰好是1名男生和1名女生的概率是（）
A. B. C. D.
5.某工厂生产圆形零件，质检标准规定：将零件放入一个半径为圆形模板中，若零件完全在模板内且与模板至少有一个接触点，则为合格品．现有半径为的零件，要保证零件合格，那么这些圆形零件的圆心必须落在（ ）
A. 半径为的圆内 B. 半径为的圆上
C. 半径为的圆外且半径为的圆内 D. 半径为的圆外且半径为的圆内
6.已知命题：①有两边及其第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；②有两边及其中一条边的高对应成比例的两个三角形相似．下列对这两个命题的判断，正确的是（）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①和②都是真命题 D. ①和②都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.化简：=
8.计算
9.函数的定义域是 .
10.已知关于的一元二次方程，请赋予一个具体的数值，使得方程一定有两个不相等的实数根．那么值可以为 （写出符合题意的一个答案）．
11.如果反比例函数的图像经过点，那么当时，的取值范围是 ．
12.已知二次函数的图像经过原点，那么 ．
13.已知斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的正弦值为 ．
14.如图，已知四边形是梯形，为的中点，．，试用向量、的线性组合表示向量 ．
15.如果一个半径为的正多边形绕其中心旋转就可以与自身重合，那么该正多边形的边长为 ．（可以使用锐角的三角比表示）
16.已知，请设计一个二次函数，使得该函数的图像经过其中的三个点．那么该函数的解析式可以为： （写出一个答案即可）
17.已知在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，那么点在旋转过程中经过的路径长为 米（结果保留）．
18.定义一种“循环移位密码”，规则如下：（1）将个英文字母按顺序对应数字：．（2）密钥为三个字母：．（3）加密时，首先将明文每个字母对应的数字，加上密钥对应位置字母的数字（密钥可以循环使用）得到一个新数，然后求这个新数关于的余数，通过余数对应的字母，得到密文．例如：明文为“”，密钥为“”，那么加密计算规则以及加密后的密文如下表所示：
明文及对应数字 （） （） （） （） （） … …
密钥及对应数字 （） （） （） （） （） （） …
密文=明文+密钥 （） （） （） （） （8） …
…
如果明文为，那么密文应该是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共26分。
19.计算：．
20.解方程：
四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题13分)
如图，在中，，点在边上，点在边上，且，，当时，求的值．
22.(本小题13分)
某班同学在开展以折纸为主题的实践活动中，发现了三等分直角、三等分线段的方法．
(1) 如图，将矩形对折，使得与重合，得到折痕（其中，点、分别是边、的中点），然后再将矩形纸片展开．再次折叠矩形纸片，使得点落在上，记作点，且使折痕经过点，得到折痕．求证：、将三等分．
(2) 类比地，如图，将正方形纸片对折，得到折痕（其中，点、分别是边、的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长交于于．求证：．
23.(本小题14分)
已知：如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点重合），以为圆心、为半径画弧交半圆于点，交线段于点．连结．
(1) 求证：；
(2) 连结，如果，求证：．
24.(本小题15分)
在平面直角坐标系中（如图），已知：抛物线与轴交于点和，点在点的左侧，顶点为．
(1) 用含的代数式表示抛物线的顶点的坐标；
(2) 平移抛物线，使得平移后的抛物线经过点，且顶点在直线上．请在简单推理的基础上，赋予一个合适的值，并写出对应的抛物线的表达式；
(3) 平移抛物线：将点的对应点记为，点的对应点记为．当点落在轴上，四边形是正方形，且平移后的新抛物线依然经过点时，求的值．
25.(本小题15分)
已知：中，已知，点在射线上，的外接圆的圆心为，连接．
(1) 如图1，当点在线段上，且时，求的值；
(2) 如图2，当时，求的长；
(3) 如果点在的某一条边所在的直线上，求的长．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】 /
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】8/（不唯一）
11.【答案】
12.【答案】-4
13.【答案】 /
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】（或或）
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】解：原式
．

20.【答案】解：，
由①得：y=7-x③，
将③代入②得：x +（7-x） =25，
整理得：x -7x+12=0，
解得：x1=3，x2=4，
将上述x代入①得：y1=4，y2=3，
∴该方程组的解为，．

21.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
，即，
设，，则，，
，
，
，即，
，
，即，
．

22.【答案】【小题1】
解：由折叠得，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴、将三等分；
【小题2】
解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠得，，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴设，
∵点、分别是边、的中点，
∴设，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
∴，即．

23.【答案】【小题1】
证明：如图，连结、，
∵以为圆心、为半径画弧交半圆于点，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
证明：如图，连结，
设，由（1）可知，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∵以为圆心、为半径画弧，交线段于点，
∴，
∴，
∴四边形内接于，
∴，
即，
解得，即，
∴，
∴，
∴ ．

24.【答案】【小题1】
解：抛物线与轴交于点，
，对称轴为直线，
，
，
当时，，
抛物线的顶点的坐标为；
【小题2】
解：由（1）知：，
平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点在直线上，
设，
平移后的抛物线经过点，
，
取，则，
解得或，
若，则；
若，则；
【小题3】
解：四边形是正方形，设对角线的交点为，
，且，
点平移后的对应点落在轴上，，
，，
，
．

25.【答案】【小题1】
解：如图，过点作于点，
，
，，
，
，，
，
，
∴，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，
解得：，即，
，
；
【小题2】
解：如图，记与的交点为，过点作于点，
结合（1）可得：，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴.
【小题3】
解：如图，当在边上时，过作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在边上时，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在直线上时，过作于，过作于，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴.
综上：为或或.

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