2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷03
（测试范围：八年级下册人教版2024，第19-20章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D B A C A D A A
1．A
本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求解直角三角形的斜边长度即可．
解：∵在中，，，
∴根据勾股定理，
∴，
故选A．
2．D
本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案．
解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意；
D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
3．D
本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键．
解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为，
最小长度为，
故箭在投壶外面部分的长度可能是，
故选：D．
4．B
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可．
解：如图，连接，
∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积的面积的面积
故选：B．
5．A
根据勾股定理可求出的长，周长为，且根据作图可知，是的垂直平分线，可求出，由此即可求解．
解： ∵在中，，，，
∴，
∵周长为，且根据作图可知，是的垂直平分线，
∴，
∴周长为．
6．C
本题考查流程图与实数运算，二次根式的混合运算，正确理解流程图是关键．
根据流程图的计算公式进行计算即可．
解：根据题意，当输入时，，
∵，
∴循环计算；
当输入时，，
∵，
∴输出的结果为．
故选：C．
7．A
如图，延长至，使，连接，证明，可得，再证明，可得，，再进一步求解即可．
解：如图，延长至，使，连接，
∵恰为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：A
本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键．
8．D
①取的中点G，连接，可证得是等边三角形，推出，利用勾股定理可得，根据平行四边形性质可得，可判断①正确； ②由题意得，即，根据平行四边形性质可得，利用等腰三角形性质可得，可判断②正确； ③过点E作，交的延长线于H，设，则，利用直角三角形性质和勾股定理可得：，，由勾股定理可得，求得，可得，再由勾股定理可得，得出，可判断③错误； ④由于，可判断④正确．
解：①如图，取的中点G，连接，
则，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
②∵的周长等于周长的一半，又周长的一半，的周长，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，故②正确；
③如图，过点E作，交的延长线于H， 则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
而，
∴，
∵，，，
∴，故③错误；
∵ ，
∴，故④正确；
综上所述，说法正确的是①②④．
故选：D．
本题考查了平行四边形性质的性质，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，等边三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，角平分线的判定，三角形面积等，是常考的中考选择题压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
9．A
先利用完全平方公式化简前几项，归纳得到的一般规律，再代入的值计算．
解：∵，为正整数，
∴．
∵ ，
∴．
同理可得，
归纳得到规律：．
当时，，
∵ ，
∴ ．
10．A
要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，据此分别列出不等式求解，即可得到x的取值范围．
∵要使有意义，需同时满足两个条件：
①二次根式被开方数非负，即，
②分式分母不为0，即，解得，
∴的取值范围为且．
11．2
本题考查二次根式的定义和化简；先把化简成，再根据是整数分析最小正整数n的值即可.
解：∵且是整数，
∴是完全平方数，
∴正整数n的最小值是2.
故答案为：2.
12．
本题考查了非负数的性质，二次根式的乘法运算，先利用非负数的性质可得，，即得，再利用积的乘方的逆运算可得，再代入计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．
解：∵，
∴ ， ，
解得 ，，
∴，
∴ ，
故答案为：．
13．符合
先在中利用勾股定理求出，然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案．
解：在中，，dm，dm，
由勾股定理，得
因为dm，dm，
所以，
所以，
所以，即，
所以该婴儿车符合安全标准．
14．72
本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求六个小正方形的面积之和．
解：根据勾股定理知：，，，
∴．
故答案为：．
15．
本题考查了勾股定理，二次根式的应用，30度的直角三角形的性质，平行线的性质，过点作交于点，交于点，作于点，构造两个的直角三角形，根据直角三角形的性质求解即可．
解：过点作交于点，交于点，作于点，如图所示，
∵索道的倾斜角为，
∴
∵米，
∴（米）
在中，（米），
∴（米），
∵这一时刻索道之间如图均匀分布着五个车厢
∴（米），
∴（米），
在中，（米），（米），
∴（米），即米，
∵车厢的宽高之比是，
∴（米）
故答案为：
16．11
本题考查的知识点是勾股定理的拓展知识，读懂题意，从图形中找出有用的信息是解题的关键．作于点H，先求出，由图可得出，化简代入数值即可．
解：作于点H，
在等边中，，
，
，
，
同理，，
在中，，
，
∵，，，
，
故答案为：11．
17．(1)
(2)
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．是等边三角形．理由见解析
此题考查了二次根式和绝对值的非负性的应用，等边三角形的判定，首先由得到，推出，，得到，进而求解即可．
解：是等边三角形．理由如下：
，
，
．
，，
，，
，，
．
是等边三角形．
19．(1)见解析
(2)
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得，则，证明，即可证明；
（2）由勾股定理得到，则可求出，再利用勾股定理即可求出答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
20．(1)小亮
(2)
本题考查乘法公式，二次根式的性质以及绝对值的化简，根据给定条件正确运用相关性质进行化简是解答本题的关键．
（1）根据得，所以原式，所以小亮的解法是不正确的；
（2）先根据乘法公式化简得：，再根据，得，所以，，代入上式即可解答．
（1）解：，
，
，
小亮的解法是不正确的，
故答案为：小亮；
（2）解：原式，
，，
原式．
21．(1)12
(2)
本题考查了代数式求值，以及二次根式的应用．
（1）将代入中求解，即可解题；
（2）将代入中求解，即可解题．
（1）解：当时，．
故答案为：12．
（2）解：当时，．
因为，所以．
答：此时的车速约为．
22．(1)
(2)
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在中利用勾股定理直接计算即可；
（2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答．
（1）解：由题意得，，，，
在中，，
，
．
答：绳子的总长度为．
（2）解：如图，
由题意得，，，
，
由（1）得，绳子的总长度为，
，
在中，，
，
，
答：滑块向左滑动的距离为．
23．(1)证明见解析
(2)24
(3)1.2
（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理；
（2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积；
（3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可．
（1）证明：，
，
，
，
，即，
，
，
，即；
（2）解：，，，
有勾股定理得，，
，，
，
，
，
答：阴影部分面积为24；
（3）解：设千米，则千米，
，
，
在中，，
在中，，
，即，
整理得，，
解得，，
千米，
（千米），
答：新修路的长为1.2千米．
24．(1)
(2)
(3)2026
本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
（1）根据题意可知与的乘积不含二次根式，即互为有理化因式；
（2）利用分母有理化及平方差公式即可得到本题答案；
（3）将括号内每个分数进行化简，再相加继而得到，再利用平方差公式即可求出本题答案．
（1）解：∵两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，
∵，
∴的有理化因式是：，
故答案为：；
（2）解：∵，
故答案为：；
（3）解：
，
，
，
．(共6张PPT)
人教版2024 八年级下册
八年级数学下册第一次月考卷03
（人教版2024，测试范围：第19-20章）试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.9 求一个数的算术平方根；用勾股定理解三角形
2 0.85 二次根式的识别
3 0.85 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
4 0.65 勾股定理逆定理的实际应用；用勾股定理解三角形
5 0.65 线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
6 0.65 程序设计与实数运算；二次根式的混合运算
7 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的定义；化为最简二次根式；用勾股定理解三角形
8 0.65 含30度角的直角三角形；二次根式的乘除混合运算；利用平行四边形的性质求解；等边三角形的判定和性质
9 0.77 运用完全平方公式进行运算；利用二次根式的性质化简
10 0.75 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 求二次根式中的参数；利用二次根式的性质化简
12 0.65 积的乘方的逆用；利用算术平方根的非负性解题；二次根式的乘法；绝对值非负性
13 0.82 勾股定理逆定理的实际应用；用勾股定理解三角形
14 0.85 以直角三角形三边为边长的图形面积
15 0.65 二次根式的应用；含30度角的直角三角形；根据平行线的性质求角的度数；用勾股定理解三角形
16 0.65 以直角三角形三边为边长的图形面积；二次根式的除法；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 运用完全平方公式进行运算；利用二次根式的性质化简；二次根式的混合运算
18 0.85 利用二次根式的性质化简；绝对值非负性；等边三角形的判定
19 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；化为最简二次根式；利用平行四边形的性质证明；用勾股定理解三角形
20 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的乘法
21 0.65 二次根式的应用；已知字母的值 ，求代数式的值
22 0.51 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)；用勾股定理解三角形
23 0.5 勾股定理逆定理的实际应用；全等三角形的性质；用勾股定理解三角形
24 0.65 二次根式的乘法；二次根式的混合运算；分母有理化2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷03
（测试范围：八年级下册人教版2024，第19-20章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在中，，若，，则的值是（ ）
A．10 B． C． D．4.8
2．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，分别以、为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点、，连接，与、分别相交于点、，连接，当，时，周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，和都是等腰直角三角形，的延长线交于点，且恰为的中点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．9
8．如图，在中，对角线AC，BD交于点，，直线EF过点，连接的周长等于周长的一半，下列说法正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④
9．设n为正整数，，已知，则（ ）
A．1822 B．2021 C．3624 D．4042
10．若要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知是整数，则满足条件的最小正整数n是___．
12．若，则______．
13．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准．
14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为______．
15．如图1是某位游客拍摄的景区缆车实景图．如图2是该段索道抽象出的平面示意图，索道的倾斜角为，长度米，其两端由、两座等高的支架架设，这一时刻索道之间如图均匀分布着五个车厢，车厢的宽高之比是，若点J，L，D恰好在同一直线上，米，则__________米．
16．小明根据课本第84页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中的内容改编出如下问题：如图，分别以直角三角形的三条边为边，向外分别作正三角形，已知，，，则的面积是________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．若，，为的三边长，且，判断是什么形状，并说明理由．
19．如图， 在平行四边形中，于点E，于点 F．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
20．学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程．
小亮：解：原式；
小芳：解：原式，
，原式，
(1)________的解法是不正确的；
(2)化简：，其中，．
21．在左权县的智慧交通建设中，当地交管部门引入了智能测速与紧急制动预警系统．该系统基于滑行距离公式，其中s表示紧急刹车后的滑行距离（单位：），v表示刹车前的速度（单位：），结合车载传感器实时采集的车速v（），可自动计算紧急刹车后的滑行距离s（），并通过车联网技术提前向驾驶员预警安全车距．
(1)当时，请算出紧急刹车后的滑行距离______；
(2)若某车辆监测到前方障碍物需紧急制动，当系统显示滑行距离时，求此时的车速．（，结果精确到1）
22．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
23．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．
(1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理
(2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积；
(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长．
24．先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是________；
(2)化去式子分母中的根号：________；（直接写结果）
(3)利用你发现的规律计算下列式子的值：．
