(共6张PPT)
人教版2024 八年级下册
八年级数学下册第一次月考卷02
（人教版2024，测试范围：第19-20章）试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.95 勾股树（数）问题
2 0.94 求二次根式的值
3 0.85 勾股定理与折叠问题
4 0.85 零指数幂；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
5 0.65 勾股定理逆定理的实际应用；二次根式的混合运算；用勾股定理解三角形
6 0.65 利用二次根式的性质化简；带有字母的绝对值化简问题；完全平方公式分解因式；已知条件式，化简求值
7 0.65 角平分线的性质定理；作角平分线(尺规作图)；用勾股定理解三角形
8 0.65 最简二次根式的判断
9 0.65 二次根式的除法；用勾股定理解三角形
10 0.65 二次根式的应用；二次根式的混合运算
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 用勾股定理解三角形
12 0.85 二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集；分式有意义的条件
13 0.65 勾股定理逆定理的实际应用；线段垂直平分线的性质；等边对等角；三角形内角和定理的应用
14 0.65 以直角三角形三边为边长的图形面积
15 0.65 二次根式的应用
16 0.65 分式加减混合运算；运用平方差公式进行运算；二次根式的乘除混合运算
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 实数的混合运算；利用二次根式的性质化简；零指数幂；负整数指数幂
18 0.85 用勾股定理解三角形
19 0.65 利用二次根式的性质化简；已知字母的值 ，求代数式的值
20 0.65 等腰三角形的性质和判定；化为最简二次根式；用勾股定理解三角形
21 0.64 二次根式的混合运算
22 0.65 勾股定理的证明方法；用勾股定理构造图形解决问题；完全平方公式在几何图形中的应用
23 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；二次根式的应用；已知字母的值，化简求值
24 0.4 实数的混合运算；全等三角形综合问题；判断三边能否构成直角三角形；用勾股定理解三角形2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷02
（测试范围：八年级下册人教版2024，第19-20章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，3， B．2，4，5 C．6，8，10 D．5，10，15
2．下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
5．如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
8．下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个
9．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点D；再以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．中，三边分别为a，b，c，斜边，则的值为______．
12．代数式有意义时，应满足的条件是______．
13．如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则_________度．
14．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________．
15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为．已知的三边长a、b、c分别为4、5、6，则的面积是______．
16．人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，则______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
18．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地垂直高一尺尺），将它水平向前推进两步尺），此时踏板垂直升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度．
19．设三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式成立．
海伦公式：，其中．
秦九韶公式：．
若一个三角形的三边长分别为3，5，6，请分别利用上面的两个公式求这个三角形的面积．
20．【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
【应用探究】
(1)如图，在中，，求证：是“奇异三角形”；
(2)已知，等腰是“奇异三角形，，求底边的长．（结果保留根号）
21．记，则（n为非负整数）．
观察下列式子：①；
②；…
【计算观察】
（1）______，______；（直接写出结果）
【归纳验证】
（2）猜想______，并说明理由．
22．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解．
(1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程．
(2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且，
，；
要使最大，则值应最小．
由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______．
(3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________．
23．项目主题：面积公式的实际应用
素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，）
素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长）
任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，，
∴＝______（填最终结果）
根据海伦公式可得＝______（结果化到最简）
任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
24．综合与实践
定义：如图1，点，把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称，是线段的勾股分割点．
(1)若，，，则，_____线段的勾股分割点．（填“是”或“不是”）
(2)已知，是线段的勾股分割点，若，，求的长．
(3)如图2，在中，，，点，在斜边上，．
①试说明：是线段的勾股分割点．
②当，，求的长．2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷02
（测试范围：八年级下册人教版2024，第19-20章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D D A D C A A
1．C
勾股数是指满足的三个正整数，需同时满足是正整数且符合勾股定理这两个条件．
解：A选项：不是正整数，不符合勾股数定义，故A不符合题意；
B选项：∵，，，不满足勾股定理，故B不符合题意；
C选项：∵，，即，且6、8、10均为正整数，符合勾股数定义，故C符合题意；
D选项：∵，，，不满足勾股定理，故D不符合题意．
注意勾股数不仅要满足，还要满足三个数为正整数．
2．D
本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可．
解：A．的根指数是3，故不是二次根式；
B．的根指数是3，故不是二次根式；
C．的被开方数是负数，故不是二次根式；
D．是二次根式．
故选D．
3．C
本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
先根据折叠得到，，，，然后求出
解：由折叠性质得：，，，，
∵，，然后利用勾股定理求解即可．
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故选：C．
4．D
本题考查代数式有意义的条件，需要分别根据二次根式、分式、零指数幂的有意义要求列不等式求解．
代数式有意义，
，，
且，
则实数x的取值范围是且．
5．D
本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键．
首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出．
解：∵，中为上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
，
∴，
故选：D．
6．A
本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
．
故选：A．
7．D
由题目作图知，是的平分线，过点作，则，进而求解．
解：过点作于点，则， 由题目作图知，是的平分线，
则，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
．
8．C
本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判定即可．
解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
（a为正整数）是最简二次根式；
故选C．
9．A
本题考查了二次根式的除法，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先得出，，再设，然后用分别表示出与，再求出的值．
解：由题意得，，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴
，
∴
，
∴
，
∴，
故选：A．
10．A
本题考查了二次根式的混合运算．根据题意把，，代入求得的面积，再利用面积公式即可求解．
解：由题意得，，，，
，
∴b边上的高为，
故选：A．
11．8
利用勾股定理求出的值，再代入所求代数式计算即可得到结果．
解：为直角三角形，斜边，
由勾股定理得，，
所以．
12．
根据二次根式有意义的条件：中，以及分式分母不为零，列出不等式求解即可．
解：∵代数式有意义，
∴，
解得．
13．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，， 得到，， ，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形内角和定理计算即可．
解：如图所示，连接、，
边，的垂直平分线分别交于点，，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
连接，由勾股定理可得，再结合正方形面积公式求解．
解：如图，连接，
，
，
，，，
，，，
，
另一个正方形的面积为．
15．
本题主要考查了二次根式的化简，根据题意把a、b、c的值代入公式中化简求解即可．
解：由题意得，
，
故答案为：．
16．2024
本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出规律是解题的关键．
利用分式的加减法则分别可求，，，利用规律求解即可．
解：∵，
∴
∴
∴
故答案为：2024．
17．
先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式，再计算加减即可．
解：
．
18．
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设，根据题意易得到，在中，根据勾股定理得到，据此列方程，解方程即可．
解：设，
、
在中，由勾股定理得
解得
因此，秋千绳索的长度为尺．
19．
本题考查了代数式求值，二次根式的化简．
将3，5，6分别代入两式计算即可．
解：海伦公式：，
；
秦九韶公式：
．
20．(1)见解析
(2)底边的长为或．
本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，二次根式的化简以及中线定义的综合应用，解决问题的关键是运用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理进行计算求解．解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，即可得出是“奇异三角形”；
（2）需要分两种情况：①当腰上的中线时，则，过B作于E，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，即可求得的长；②当底边上的中线时，则，且，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，列出方程，即可求得的长．
（1）解：如图，取的中点D，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是“奇异三角形”；
（2）解：分两种情况：
如图，当腰上的中线时，则，过B作于E，
∵，
∴，，
∴，
∴中，，
∴中，；
如图，当底边上的中线时，则，且，
设，则，
∴，
又∵，
∴，
∴．
综上所述，底边的长为或．
21．（1），；（2），理由见解析
（1）根据所给公式代入求解即可；
（2）利用平方差公式可得，据此求解即可．
解：（1）由题意得，
；
；
（2）猜想，理由如下：
∵，则，
∴
．
22．(1)见解析；
(2)；
(3)
（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可；
（2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可；
（3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案．
（1）解：在图中，，
在图中，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴最大为．
（3）解：由图可得，，，
∴，
由（2）可知，点在线段上时，取最小值，
∴的最小值为的长，
∵正方形的边长为，
∴，
∴的最小值为．
23．任务一：11，；任务二：
本题考查二次根式的应用，正确计算是关键．
任务一：把数值代入直接计算即可；
任务二：先求出，，，再代入秦九韶公式计算即可．
解：任务一：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，，
∴，
根据海伦公式可得
，
故答案为：11，；
任务二：设三角形的三边长分别是，，，
，，，
秦九韶公式：
．
24．(1)是
(2)或
(3)①见解析②6
本题考查勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握新定义，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键：
（1）根据勾股定理逆定理进行判断即可；
（2）分为构成的直角三角形的直角边和为构成的直角三角形的斜边，两种情况，利用勾股定理进行求解即可；
（3）①过点A作，且，则，先证可得，再证可得，然后在中，最后由勾股定理得即可证明结论；②设，则，根据勾股定理，列出方程进行求解即可．
（1）解：∵，，，
∴，
∴，是线段的勾股分割点；
故答案为：是；
（2）由题意，当为构成的直角三角形的直角边时：；
当为构成的直角三角形的斜边时：
；
故的长为或；
（3）①证明：如图，过点A作，且，连接，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴点M，N是线段的勾股分割点．
②设，则，
由①知：，
∴，
解得；
故．
