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浙教版2024 七年级下册
七年级数学下册第一次月考卷03
（浙教版2024，测试范围：第1-2章）试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 二元一次方程的解
2 0.94 与余角、补角有关的计算；垂线的定义理解；对顶角相等
3 0.85 已知二元一次方程组的解求参数
4 0.85 同位角、内错角、同旁内角
5 0.65 根据平行线的性质求角的度数
6 0.65 已知二元一次方程组的解的情况求参数
7 0.65 角平分线的有关计算；同旁内角互补两直线平行
8 0.65 利用平移的性质求解；整式加减的应用
9 0.65 二元一次方程组的特殊解法
10 0.65 根据平行线判定与性质求角度
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 利用平移的性质求解
12 0.65 几何问题(二元一次方程组的应用)
13 0.65 二元一次方程组的错解复原问题
14 0.65 已知二元一次方程组的解求参数
15 0.65 同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
16 0.65 两直线平行内错角相等；根据平行线的性质探究角的关系；根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 已知二元一次方程组的解求参数
18 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；方程组相同解问题
19 0.65 三角板中角度计算问题；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
20 0.65 有理数四则混合运算的实际应用；二元一次方程的解；销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
21 0.65 利用平移的性质求解；根据平行线的性质求角的度数；垂线的定义理解
22 0.65 二元一次方程的解；方案问题(二元一次方程组的应用)
23 0.65 等式的性质1；等式的性质2；已知二元一次方程组的解的情况求参数
24 0.4 根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算2025-2026学年七年级数学下学期第一次月考卷03
（测试范围：七年级下册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列四组数值中，是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知：如图，，垂足为，则与的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
3．已知方程组的解为，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
4．如图，下列结论中错误的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是内错角 D．与是同位角
5．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（ ）
A． B． C．8 D．10
7．如图，，平分，，以下结论：①；②；③；④；其中正确结论是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
8．在长方形中，，有三张边长分别为的正方形纸片，蛟蛟将纸片按图①方式放置，发现其中未被纸片覆盖的阴影部分周长为，川川将纸片按图②方式放置，发现其中未被纸片覆盖的阴影部分周长为，则（ ）
A．2 B． C． D．
9．若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（）
A． B． C． D．
10．如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜后，形成反射光束． 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，将沿方向平移3厘米后得到，若的长为4厘米，则______厘米．
12．如图，将张相同的长方形纸片不重叠的放在长方形内，已知小长方形纸片的长为，宽为，且，若未被覆盖的两个长方形周长相等，则与的数量关系用等式可表示为_____．
13．已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则________．
14．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________．
15．将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
16．如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则_____．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知是方程组的解，求k和m的值．
18．已知关于x，y的方程组与的解相同．
(1)求a，b的值．
(2)求的值．
19．综合与探究：
将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．
(1)若，求的度数；
(2)求证；
(3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，直接写出的度数．
20．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
21．如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，），
(1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ；
(2)如图2，当时，求的度数；
(3)在整个运动中，当时，则的度数为 ．
22．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．
(1)求、两种型号智能机器人的单价．
(2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．
23．若关于的二元一次方程变形为的形式（是常数），则其中一对常数称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为．
(1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________；
(2)已知是关于的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求的值；
(3)关于的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值．
24．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点．
(1)如图1，若，，求的度数．
(2)求证：．
(3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）．2025-2026学年七年级数学下学期第一次月考卷03
（测试范围：七年级下册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A B C C B A D B
1．D
将每个选项的和的值代入方程验证是否成立即可；本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
解：选项A：， ，代入方程得，不满足方程，
∴选项A不符合题意．
选项B：， ，代入方程得，不满足方程，
∴选项B不符合题意．
选项C：， ，代入方程得，不满足方程，
∴选项C不符合题意．
选项D：， ，代入方程得，满足方程，
∴选项D符合题意．
故选：D．
2．B
本题考查了对顶角，互补、互余的概念，掌握概念是解题关键．由对顶角相等可得，根据可得，由此即可求解．
解：根据题意，，
，
，
，
与互余，
故选：B．
3．A
本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键．
将代入得到，然后求解即可．
解：∵方程组的解为，
∴
∴得，．
故选：A．
4．B
本题主要考查同旁内角，内错角，同位角；根据同旁内角，内错角，同位角的定义逐一分析即可．
解：A 与是同旁内角，故正确；
B与不是内错角，故错误；
C与是内错角，故正确；
D与是同位角，故正确；
故选：B．
5．C
本题主要考查平行线的性质，根据，点在射线上，可求出，根据，即可求解．
解：∵，点在射线上，，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
6．C
本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案．
解：对方程组，
②－①×2，得，
∴，
∵关于x、y的方程组的解为整数，
∴，即，
∴满足条件的所有a的值的和为．
故选：C．
7．B
本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，故②正确；
∵与不一定相等，
∴不一定成立，故③错误；
∵，
∴
，
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的选项①②④，
故选：B．
8．A
本题考查了平移和整式的运算，掌握平移的性质是解题的关键．
先根据平移性质求出和的值，再代入计算即可．
解：∵，
，
∴
．
故选：A．
9．D
本题考查了解二元一次方程组，通过变量代换，将新方程组转化为已知解的原方程组形式，进而求解．
解：设，，
则新方程组化为：
∵原方程组的解为，
∴，，
即：，
解得，
故选D．
10．B
本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．如图：过点E作，则，设，根据平行线的性质得，由角的和差得，然后联立求解即可．
解：如图：过点E作，则，
∴，
设，
∴，
∴，解得：，
∴．
故答案为：B．
11．7
本题考查平移的性质，解题的关键是根据平移的性质求出．
根据沿方向平移3厘米得到求出，从而可求出．
解：∵将沿方向平移3厘米后得到，
∴厘米，
∵厘米，
∴厘米，
故答案为：7．
12．
此题考查了二元一次方程的应用，如图所示，结合已知分别表示出长方形与长方形的周长，依据周长相等可得结果．弄清题意，依据等量关系列方程是解本题的关键．
解：依题意，小长方形纸片的长为，宽为，
如图所示，
长方形的周长为：，
长方形的周长为：，
长方形的周长与长方形的周长相等，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解．
解：把代入二元一次方程组得，
，
∴由得，，
∵小强看错了系数得到，
∴，
∴，
①②得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴，
故答案为：11．
14．0
本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是关键．由于方程组的解互为相反数，因此，利用此条件与方程组联立求解．
解：由解互为相反数，得．与方程联立，
解得．
将代入方程，
得，
即2+5=3a+7，7=3a+7，
解得．
故答案为0．
15．①④⑤
根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，
∴mn，故①符合题意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CEm，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴ECn，
∴mn，故④符合题意；
∵∠ABC=∠2-∠1，
∴∠2=∠ABC+∠1，
∴mn，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．作，，根据平行公理的推论，平行线的性质，对顶角的性质和角平分线的性质表示出和，再结合即可求出．
如图，作，，
则，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
设，
∵，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
17．k和m的值分别为2和3
本题主要考查解二元一次方程组，根据题意将x和y代入方程组，即可解得k和m的值．
解：根据题意，把代入方程组，得
，解得．
即k和m的值分别为2和3．
18．(1)
(2)1
本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解．
（1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可；
（2）将（1）中的结果代入计算即可．
（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组
解得
把代入方程与中，
得
解得
（2）解：由（1）得
19．(1)
(2)见解析
(3)或
本题考查了平行线的判定，角度的和差计算，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
（1）依据，即可得到的度数，即可求解；
（2）依据，即可得到的度数，即可得证；
（3）依据平行线的判定，分两种情况讨论即可．
（1）解：，
，
，
；
（2）证明：，
；
（3）解：分两种情况：
如图所示，当时，，所以，
如图所示，当时，，所以，
综上所述，的度数等于或时，．
20．(1)A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元
(2)方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆；方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆；方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆
(3)购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元
本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程组是解题的关键．
（1）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答；
（2）设购买A型汽车辆，B型汽车辆，根据题意列出方程，得出，结合是整数，得出是5的倍数，且，再列举出所有符合题意的值，即可解答；
（3）结合（2）中的购买方案，计算每一种方案的获利，比较大小即可得出结论．
（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，
由题意得，，
解得：，
答：A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元；
（2）解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆，
由题意得，，
整理得，，
是整数，
是5的倍数，且，
，
当，，
当，，
当，，
购买方案有3种，分别是：
方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆；
方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆；
方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆；
（3）解：方案一获利：（元），
方案二获利：（元），
方案三获利：（元），
，
购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元．
21．(1)
(2)
(3)
本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键；
（1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解；
（2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解；
（3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解．
（1）解：依题意，，，
∵的周长为，
∴
∴阴影部分的周长为
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
依题意，，
∴，
（3）解： ∵，设，则
如图，连接，
∵，
∴
∴
解得：
即
故答案为：．
22．(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台．
（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
得：，解得：．
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：，
∵a、b为正整数，
∴此方程的解为：，，．
答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台．
23．(1)
(2)
(3)
本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键．
（1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可；
（2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入求出k的值即可；
（3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴二元一次方程的“相伴系数对”为，
故答案为：；
（2）解：∵方程的“相伴系数对”为，
∴该方程为，
∵是关于、的二元一次方程的一个解，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
即，
∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2，
∴，
整理得，
即．
24．(1)
(2)见解析
(3)
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法是解题关键．
（1）过点作直线，根据平行线的性质得、，利用即可求解；
（2）过点作直线，利用平行线的性质可得，通过角平分线的定义得、，结合（1）的即可求解；
（3）过点作直线，根据题意可得，结合（1）（2）可得，利用平行线的性质得即可求解．
（1）解：如图，过点作直线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图，过点作直线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵由（1）得，，
∴．
（3）解：如图，过点作直线，
∵，，
∴，
，
∵由（1）得：，
由（2）得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
