(共6张PPT)
浙教版2024 八年级下册
八年级数学下册第一次月考卷05
（浙教版2024，测试范围：第1-2章）试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.95 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
2 0.85 由一元二次方程的定义求参数
3 0.85 零指数幂；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
4 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的乘法；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减运算
5 0.65 利用二次根式的性质化简；同类二次根式
6 0.5 二元一次方程的解；多项式的项、项数或次数；根据判别式判断一元二次方程根的情况
7 0.75 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
8 0.65 由一元二次方程的解求参数；解一元二次方程——直接开平方法；判断是否是一元二次方程的解；根据判别式判断一元二次方程根的情况
9 0.65 二次根式的应用
10 0.65 利用二次根式的性质化简；数字类规律探索
二、知识点分布
二、填空题 11 0.65 无理数的大小估算；利用二次根式的性质化简
12 0.85 由一元二次方程的解求参数；已知式子的值，求代数式的值
13 0.85 二次根式有意义的条件；求一个数的算术平方根
14 0.65 根据正方形的性质求线段长；与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
15 0.75 因式分解法解一元二次方程
16 0.65 二次根式的应用
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 解一元二次方程——直接开平方法；解一元二次方程——配方法
18 0.85 运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算；二次根式的混合运算
19 0.85 传播问题(一元二次方程的应用)
20 0.65 二次根式的应用
21 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；根据判别式判断一元二次方程根的情况
22 0.65 二次根式的混合运算；分母有理化；已知字母的值，化简求值
23 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的混合运算
24 0.47 由一元二次方程的解求参数；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷05
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知整式，其中为正整数，均为绝对值小于2的整数，规定中各项次数和为，且．下列说法：
①当时，满足条件的整式共有4种；
②当时，满足条件的所有整式中，能被5整除的有5个；
③若方程有解，则所有满足条件的整式共有18个．
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为．设车道的宽为．可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．对于一元二次方程，下列说法：①若，则方程必有一根为；②若，则方程一定没有实数根；③若是方程的一个根，且，则一定有成立；④当且方程存在实数根时，两个实数根相等.其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①③
9．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（ ）
A． B． C． D．
10．设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，那么的值约为_____．
12．若是方程的根，则代数式的值为______．
13．若x，y为实数，且，则_____．
14．将两张全等的等腰三角形纸片按照图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼成图②或图③所示的正方形．已知等腰三角形纸片的底边长为2，底边上的高为，并且．如果四边形的面积等于四边形面积的，那么的值是__________．
15．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ．
16．观察下列各式：
；
；
．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，可以猜想：＝____________________；
（2）利用上述规律计算：＝____________________．（直接写出答案）
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染．
(1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？
(2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？
20．如图是一块长方形空地，计划在正方形区域种植绿植，在正方形区域种植花卉，在长方形区域设置体育健身器材．已知正方形的面积为，正方形的面积为，求长方形健身区域的面积．
21．已知关于x的一元二次方程 .
(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根 ，满足 ，求k的值．
22．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．
（一）；
（二）；
（三）．
类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简：______，______，______，______．
(2)已知：，求的值．
(3)计算：．
23．综合与实践
小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
等式；
等式；
等式；
等式 ；
(2)观察、归纳，得出猜想．
为正整数，猜想等式可表示为 ，并证明你的猜想．
24．阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是．
(1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”．
(2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根．
(3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷05
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C D A B A B C
1．B
分式有意义要求分母不为零，二次根式要求被开方数非负，结合两个条件即可求解．
解：∵分式有意义时分母不能为0，分母含二次根式时，被开方数需满足大于0，
∴，
∴．
2．B
本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解．
∵ 方程是关于的一元二次方程．
∴ 二次项系数不能为，即 ．
解得 ．
3．D
本题考查代数式有意义的条件，需要分别根据二次根式、分式、零指数幂的有意义要求列不等式求解．
代数式有意义，
，，
且，
则实数x的取值范围是且．
4．C
本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质及运算法则分别运算即可判断求解，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
解：、，故该选项错误，不合题意；
、，故该选项错误，不合题意；
、，故该选项正确，符合题意；
、，故该选项错误，不合题意；
故选：．
5．D
本题考查二次根式的性质，同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内表达式相同，逐项判断即可．
解：A．，与不是同类二次根式，不合题意；
B．与不是同类二次根式，不合题意；
C．与不是同类二次根式，不合题意；
D．，与是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
6．A
对说法①，代表各项次数和为，满足条件的整式包括仅含一次项的单项式和含一次项与常数项的多项式，共种；对说法②，当时，将代入整式得，需其为的倍数：分和两类求解不定方程，各对应种符合条件的整式，总计种；对说法③，按、、分类统计方程有解的整式：时所有一次整式方程必有解，共种；时二次单项式及含常数项的二次整式方程有解，共种；时列举所有次数和为的整式并验证有解情况，共种，总计种．
解：∵均为绝对值小于2的整数，
∴可取，0或1，可取或
对于①，已知，是一次整式：
当是单项式时，仅含一次项，整式为，，共2种；
当是多项式时，含一次项和常数项，整式为，，，，共4种；
因此满足条件的整式共种，故说法①错误．
对于②，当时，，
∴，需能被5整除：
当时，，
要为5的倍数，只有，
此时或，对应整式为，，共2种；
当时，，
要为5的倍数，只有，
此时或，对应整式为，，共2种；
因此满足条件的整式共个，故说法②错误．
对于③，当时，整式有6种：，，，
对应的方程均有解，共6个；
当时，使方程有解的整式为，，，共4个；
当时，使方程有解的整式为，，，，，，，共个；
总共有个，故说法③错误．
综上，三个说法均错误，正确个数为0．
故选：A．
7．B
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．列出方程即可．
解：设车道的宽为米，则停车位总占地长为米，宽为米，
根据停车位总占地面积为平方米，列出关于的一元二次方程，
根据题意得：．
8．A
本题考查一元二次方程根的意义，根的判别式，解一元二次方程．根据相关定义和方法逐项分析判断即可．
对于一元二次方程 ()：
① ∵ ，∴ 将 代入方程得 ，∴ 方程一定有一根为 ，正确。
② 若 ，方程无实数根，正确；
③ 若 是方程的一个根，则 ，即 ，∵ ，则 ，正确；
④ 当且方程存在实数根时，两个实数根相等或互为相反数，故原说法错误。
综上，①②③正确，
故选：A．
9．B
本题考查了二次根式的实际应用，因为已知两个正方形的面积，所以可利用正方形面积公式求出两个正方形的边长，再确定大长方形的长和宽，最后利用长方形面积公式求总面积．
解：∵正方形面积为，
∴；
∵正方形面积为，
∴．
∴，
∴ ．
故选：B ．
10．C
计算，，，得出一般规律，从而得出，进而代入计算即可．
解：由题意得：，
，
，
，
，
∴，
．
11．
本题主要考查了算术平方根的性质以及二次根式的化简，熟练掌握被开方数的小数点移动与算术平方根小数点移动的关系是解题的关键．本题可先将变形为与已知相关的形式，再利用算术平方根的性质和已知近似值进行计算．
解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
故答案为：．
12．
根据一元二次方程解的定义得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可．
解：∵是方程的根，
∴，
∴．
13．4
先根据二次根式有意义的条件确定的值， 再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果．
解：由题意得，
解得，
把代入，
得，
将，代入，得．
14．
本题考查图形的拼剪，正方形的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．根据四边形的面积等于四边形面积的2倍，构建方程求解．
解：由题意得，
解得：（舍去）．
故答案为：．
15．0或
根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的值．
解：由得，，
，
，
，
或，
解得，或．
16．
（1）根据所给等式可得答案；
（2）先将所求式子变形为，再根据规律得出答案．
解：（1）猜想：；
故答案为：；
（2）
．
故答案为：．
本题考查了二次根式的性质与化简，找规律，弄清题中的规律是解本题的关键．
17．(1)
(2)
（1）用直接开平方法解一元二次方程；
（2）用配方法解一元二次方程．
（1）解：
（2）解：
18．(1)
(2)
（1）先进行二次根式的化简以及乘法运算，再合并同类二次根式；
（2）利用平方差公式以及完全平方公式进行二次根式的混合运算．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．(1)每轮感染中平均一人传染4人
(2)三轮后共有125人被感染
（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可；
（2）根据题意列出算式进行计算即可．
（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得：
，
解得，（舍去），
答：每轮感染中平均一人传染4人．
（2）解：人
答：三轮后共有125人被感染．
20．
本题考查了二次根式的应用，解题的关键是正确求出正方形和长方形的边长以及掌握二次根式的运算法则．
先求出正方形，正方形的边长，即可得到矩形健身区域的长和宽，即可求解面积．
解：∵正方形的面积为，正方形的面积为
∴正方形，正方形的边长分别为，，
∴矩形健身区域的宽，长，
∴矩形健身区域的面积为．
21．(1)见解析
(2)
本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）根据根与系数的关系，进行求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意，，
∴，
∴，
∴，
解得：．
22．(1)；；；
(2)16
(3)2024
本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解题关键是熟练掌握如何把二次根式分母有理化．
（1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可；
（2）先根据已知条件，把x，y化简，再利用完全平方公式把所求代数式分解因式，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可；
（3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可．
（1）解：，
，
，
；
故答案为：；；；；
（2）解：，
，
；
（3）解：
．
23．(1)
(2)，证明见解析
（1）根据前面三个等式中各数字与序号数的关系写出第4个等式；
（2）先根据数字变化规律得到为正整数），然后根据二次根式的性质进行证明．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
（1）解：根据题意可得等式；
故答案为：；
（2）解：为正整数，猜想等式可表示为．
证明如下：
．
故答案为：．
24．(1)方程是“差根方程”，见解析
(2)，，
(3)方程是“差根方程”，它的根是，或，
（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解；
（2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解；
（3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解．
（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
∴，
∴方程是“差根方程”．
（2）解：∵方程是“差根方程”，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴方程为，
解得，．
（3）解：∵，
∴
∵方程关于x的“差根方程”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），
∴，
∴，．
将代入方程可得：，
解得：，，
∴，
∴方程是“差根方程”，它的根为，．
即，或，．
∴方程是“差根方程”．它的根是，或，．
