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浙教版2024 八年级下册
八年级数学下册第一次月考卷03
（浙教版2024，测试范围：第1-2章）试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题
1 0.94 二次根式有意义的条件；求二次根式中的参数
2 0.85 由一元二次方程的解求参数；已知式子的值，求代数式的值
3 0.65 二次根式的混合运算；已知式子的值，求代数式的值；通过对完全平方公式变形求值
4 0.84 二次根式有意义的条件
5 0.65 二次根式的乘除混合运算；同类二次根式；二次根式的加减运算
6 0.65 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
7 0.65 公式法解一元二次方程；根据判别式判断一元二次方程根的情况
8 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数
9 0.65 解一元二次方程——配方法
10 0.65 二次根式的应用；等边三角形的性质；图形类规律探索
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集；分式有意义的条件
12 0.65 利用二次根式的性质化简；带有字母的绝对值化简问题
13 0.85 一元二次方程的定义；由一元二次方程的定义求参数
14 0.65 换元法解一元二次方程
15 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
16 0.65 二次根式的应用；无理数整数部分的有关计算
二、知识点分布
三、解答题
17 0.85 运用平方差公式进行运算；利用二次根式的性质化简；二次根式的混合运算；求一个数的立方根
18 0.65 解一元二次方程——配方法；因式分解法解一元二次方程
19 0.65 利用二次根式的性质化简
20 0.65 销售盈亏(一元一次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
21 0.65 二次根式的混合运算；分母有理化
22 0.65 由一元二次方程的解求参数；换元法解一元二次方程
23 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
24 0.4 运用完全平方公式进行运算；利用二次根式的性质化简2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷03
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C D C B D C
1．B
根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进行判断即可．
A、，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式；
B、，含有二次根号，且被开方数，一定是二次根式；
C、，含有三次根号，不是二次根式；
D、含有二次根号，但当时，，不是二次根式．
本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
2．C
本题考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把的值代入原方程，从中获取代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
先把代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解．
解：∵a是方程的一个根，
∴，
整理得：，
∴
．
故选：C．
3．D
本题考查了二次根式的混合运算，先求出、的值，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
解：∵，，
∴，，
∴
，
故选：D．
4．B
根据二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，列不等式求解，即可解题．
解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴被开方数满足，
解不等式得．
5．C
本题主要考查二次根式的混合运算，分别根据同类二次根式的概念、二次根式的乘除运算法则计算可得，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
解：A、与不是同不类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
B、3与不是同不类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
C、，计算正确，故选项符合题意；
D、，原式计算错误，故选项不符合题意；
故选：C．
6．D
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据单循环赛制的比赛场数计算公式，结合已知总比赛场数，列出对应的一元二次方程即可．
解∶∵赛制为单循环，个队参赛时，每个队需与个队比赛，且每场比赛被重复计算了2次
∴总比赛场数为
又∵计划安排45场比赛
∴可列方程为
故选D．
7．C
本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，先将方程化为标准形式，再计算判别式的值，掌握相关知识是解题的关键．
解： ，
∴，
∴，，，
∴ ，
故选：C．
8．B
本题考查一元二次方程的求根公式，根与的关系，新定义的倍根方程的意义．①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，设两根为和，利用根与系数的关系判断；④设根为和，利用根与系数的关系，消去得出关系式，进行判断即可．
解：①解方程，
，
∴或，
解得，，，得，，
∴方程是倍根方程，故①正确；
②若是倍根方程，，
因此或，
当时，，∴；
当时，，∴；故②错误；
③∵，假设关于的方程是倍根方程，
∴设两根为和，则两根和为 ，两根根积为 ，
代入 ，得 ，解得 ，满足两根根和为 ，故③正确；
④对于倍根方程 ，设根为和，则两根和为 ，
两根积为 ，消去得 ，故④正确；
综上，①③④均正确，
故选：B．
9．D
本题考查配方法的几何意义与方程求解，先利用方程的解求出参数的值，再根据几何构造的面积关系求出大正方形的面积．
解：将方程的正数解代入方程，得，
展开化简：，解得．
根据图2的构造，大正方形的边长为，
代入、，得边长为，
因此大正方形的面积为；
故选：D．
10．C
此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识，此题得出相邻三角形面积比，从而表示出各三角形面积是解决问题的关键．
由题意，表示剪去n个小正三角形后剩余图形的面积．和分别表示剪去2024个和2025个小正三角形后的剩余面积，其差值等于第2025个被剪去的小正三角形的面积．利用正三角形面积公式和边长变化规律，可计算该面积．
解：∵ 第n个被剪去的小正三角形的边长，
∴ 其面积．
∵
∴．
故选：C．
11．
根据二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为0，据此列不等式求解即可．
解：∵式子有意义，
∴二次根式的被开方数需满足，且分式的分母，
即，
解得．
12．/
本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题．
解：，
，，
因此，，
原式，
故答案为：．
13．或
本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解．
解：由题意，方程为一元二次方程，
则满足，
解得，
即或．
当时，二次项系数；当时，二次项系数．
故均符合条件．
故答案为：或．
14．
本题考查了换元法求分式方程，根据换元法及完全平方公式求解．
解：原方程可化为：，即：，
故答案为：．
15．1
本题考查了一元二次方程的应用，掌握通过平移将不规则种植区转化为规则长方形，根据面积列方程并检验解的合理性是解题的关键．
将种植区通过平移转化为长为、宽为的规则长方形，根据种植区面积列方程求解，舍去不符合实际的解．
解：设所修道路的宽为．根据题意，得，
整理，得，解得（不合题意，舍去），，
即所修道路的宽为．
故答案为：1．
16．/
本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可．
解：由题意知，，
，
∵，
∴的值为，
故答案为：．
17．
本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质、立方根的定义及平方差公式进行化简，再进行加减运算即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
解：原式
．
18．(1)
(2)
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
（1）方程运用配方法求解即可；
（2）方程移项后运用因式分解法求解即可．
（1）解：，
，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
或，
．
19．(1)；证明见解析
(2)
本题考查了找规律及二次根式的化简，掌握二次根式的相关性质是解题的关键．
（1）根据已知条件写出，再化简二次根式进行验证即可；
（2）根据已知条件总结规律，再化简进行验证即可．
（1）解：由题意可得，，
验证： ，
∴正确；
（2）由（1）中的规律可知，
∴，
验证：；正确．
20．(1)“夏黑”葡萄每千克的售价为元；
(2)的值为．
本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设“夏黑”葡萄每千克的售价为元，则“阳光玫瑰”葡萄每千克的售价为元，依题意得，然后解方程即可；
（）设月日，“夏黑”葡萄的销量为千克，则“阳光玫瑰”葡萄的销量为千克，依题意得，然后解方程并检验即可．
（1）解：设“夏黑”葡萄每千克的售价为元，则“阳光玫瑰”葡萄每千克的售价为元，
依题意，得，
解得，
答：“夏黑”葡萄每千克的售价为元．
（2）解：设月日，“夏黑”葡萄的销量为千克，则“阳光玫瑰”葡萄的销量为千克，
依题意，得，
整理，得，
解得：（不合题意，舍去），，
答：的值为．
21．(1)
(2)
本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化：
（1）根据二次根式的性质化简即可；
（2）先分母有理化，再和并即可求解．
（1）解：方法一：；
方法二：；
（2）解：
22．(1)
(2)
(3)
本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．
（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可；
（2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案；
（3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可．
（1）解：设所求方程的根是，则，
所以，
把代入，
得；
（2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025，
，
，
是方程的实数根．
故答案为：．
（3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，
，
，
方程
化为：方程，
整理得，
因式分解得，
解得．
23．任务1：， ；任务2：该设计达标，理由见解析；任务3：
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键．
任务1：依据题意，由矩形大棚的宽为x米，则长为米，则，进而可以判断得解；
任务2：依据题意，结合任务1，，进而计算可得，，则对角线，故，再根据当系统P到矩形内任意一点包括边上的距离不超过28米时视为达标，进而可以判断得解；
任务3：依据题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，则，进而计算可以得解．
解：任务1：由题意，矩形大棚的宽为x米，则长为米，
故答案为：，
任务2：该设计达标．理由如下：
由题意，结合任务1，，
不合题意，舍去或
，
对角线
当系统P到矩形内任意一点包括边上的距离不超过28米时视为达标，
该设计达标．
任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，
或此时，不合题意，舍去
24．（1），；（2），；（3）
本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给出的，与，的关系式，列式算出结果即可；
（3）将所给式子两边平方求解即可．
解：（1），
，
故答案为：，．
（2）由题意可知：
，
∵，，，均为正整数，
∴，，
故答案为：，．
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷03
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若a是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
3．若，，则代数式的值是（ ）
A． B．11 C．13 D．
4．若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．为增强学生体质，丰富学生的课外生活，某市各学校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（参赛的每两队间比赛一场），根据场地和时间等条件，各学校计划安排45场比赛．设该市各学校共邀请个队参赛，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．用公式法解一元二次方程时，的值为（ ）
A． B．8 C．16 D．17
8．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（ ）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的方程是倍根方程，则
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
9．形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，原图是一块边长为1，面积记为的正三角形纸板，沿原图的底边剪去一块边长为正三角形纸板后得到图①，面积记为，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的后，得图②、③面积依次记为，，……，记第块纸板的面积为 ，则等于（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．使式子有意义的x的取值范围是________．
12．已知，化简______．
13．若关于的方程是一元二次方程，则___________．
14．用换元法解方程时，设，则原方程可化为 ______________ ．
15．如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为________m．
16．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．观察下列各式及其验证过程：
，
验证：．
，
验证：．
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且n为整数）表示的等式．
20．某生鲜超市在六月第三周购进“夏黑”和“阳光玫瑰”两种葡萄，已知“夏黑”葡萄的售价比“阳光玫瑰”葡萄的售价每千克少10元．
(1)若六月第三周超市购进千克的“夏黑”葡萄，“阳光玫瑰”葡萄的购进质量是“夏黑”葡萄购进质量的2倍，全部销售完后，销售额为元，则“夏黑”葡萄每千克的售价为多少元？
(2)由于两种葡萄销量很好，六月第四周超市又购进了两种葡萄若干千克．月日，两种葡萄的售价与第三周的售价相同，其中“夏黑”葡萄与“阳光玫瑰”葡萄当天的销量之比为，月日是端午节，超市决定调整销售方案，“夏黑”葡萄的售价每千克降价，销量比月日增加了，“阳光玫瑰”葡萄的售价每千克上涨，销量比月日增加了，结果月日两种葡萄的总销售额比月日两种葡萄的总销售额增加了，求的值（）．
21．【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
； ①
； ②
． ③
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
． ④
(1)【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简．
(2)【拓展应用】化简：．
22．请阅读下列材料：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得，
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．
(2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根．
23．根据以下素材，探索完成任务．
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量．
素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物．已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长比宽多10米．
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统视为一个点，当系统P到矩形内任意一点包括边上的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统．
素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米．
任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为______米，根据素材1的信息可列方程：______．
任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请给出改进方案．
任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值．
24．【观察发现】
∵．
∴；
∵，
∴．
【初步探索】
（1）化简： ； ；
（2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
【解决问题】
（3）若，且，均为正整数，求的值；
