八年级数学下册试题 第9章《因式分解》章节检测卷--苏科版（含答案）

第9章《因式分解》章节检测卷
一、选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将因式分解，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
4．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）
A． B．
C． D．
5．下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（ ）
分解因式：． 解：原式 =
A．①填 B．②填
C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法
6．取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码可以是（ ）
A．101030 B．010103 C．100130 D．301001
7．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
8．如图，大长方形由一个边长是a的小正方形和两个长、宽分别是a，b的小长方形组成．整个图形可表示出几个有关多项式因式分解的等式，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．因式分解：．
上述结果_______（填“正确”或“不正确”）．理由：_______．
10．化简，结果为_______．
11．设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断：
①；②；③；④．
其中正确推断的序号是__________．
12．规律探究题计算：_____．
13．因式分解：
（1）______________；
（2）______________；
（3）______________．
14．小明抄在作业本上的式子x ﹣9y2（“ ”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：__________________．
15．阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求m的值．
解法：设（A为整式）
∵上式为恒等式，∴当时，，
即，解得：．
若多项式含有因式和，则___________．
16．阅读材料：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成．
例如， ，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角：然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”．
解决问题：若多项式可以分解成（m，n为整数）的形式，则的最大值为_____．
三、解答题（11小题，共68分）
17．分解因式：
(1) ； (2) ； (3) ；(4)．
18．把分解因式．小亮的解法是这样的：
解：原式．
他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法．
19．在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值．
20．先将分解因式，然后当时，求A的值，并写出你对本题求值过程的感受．
21．阅读下列分解因式的过程，回答所提出的问题：
(1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次；
(2)若将分解因式，则需要应用上述方法________次，试写出分解因式的过程．
22．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
23．根据下面的探究过程完成内容：
猜想 比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除．
验证 （1） （写结果）= ．
推理 （2）比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除．
延伸 （3）请利用整数说明“比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为”．
24．阅读理解：
当一个多项式既不能用提公因式法又不能用公式法因式分解时，这里再介绍一种因式分解的方法，叫分组分解法．比如：
这种分组法是分组后用提公因式法分解．又比如：
．
这种分组后用公式法分解．根据以上信息分解下列因式：
(1)；
(2)．
25．利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式，进而解决求多项式的最值（最大值或最小值）问题．
例如：
①求多项式的最值．
解：，
，
，
当时，多项式有最小值，最小值为．
②求多项式的最值．
解：，
，
，
当时，多项式有最大值，最大值为1．
阅读上述材料，解决下列问题：
(1)已知，当______时，多项式有最______值（填“大”或“小”），最值为______；
(2)某公园计划用米长的篱笆围成一个长方形花坛．如图，当为多少米时花坛面积最大，最大面积是多少平方米？
26．【阅读与思考】：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：_____；
【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面式子分解因式：
（2）
【探究与拓展】
①类比我们已经知道：．反过来，就得到：．
（3）请你仔细体会上述方法并尝试对下面的式子进行分解因式：
①_____；
②若、均为整数，且、满足，则_____．
27．（1）[知识再现] 在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________．
（2）[知识迁移] 在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．
图3中的几何体的体积为_____________，
图4中的几何体的体积为_____________，
根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）．
（3）[知识运用] 因式分解：．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A．是整式乘法，不是因式分解；
B．右边不是积的形式；
C．左边是多项式，右边是积的形式，符合因式分解；
D．左边是单项式，不是多项式，不是因式分解．
故选：C．
2．A
解：∵
，
∴应提取的公因式是．
故选A．
3．B
解： ＋两项符号相同，无法运用公式法进行因式分解；
，能用公式法分解因式；
－，两项符号相同，不能用公式法分解因式；
，能用公式法分解因式；
，能用公式法分解因式；
，能用公式法分解因式．
综上，正确的有个．
故选．
4．C
∵甲看错了的值，
∴，
∴；
∵乙看错了的值，
∴，
∴，
∴分解因式正确的结果为：
，
故选：C．
5．B
解：
，
故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法，
故选：B．
6．A
解：∵，
∴当，时，，
∴产生的密码可以为：，，，
故选A．
7．B
解：,
因为,
所以,
当时，,
因此的最小值是，
故选：B.
8．B
解：A、把图形分割成一个正方形，两个长方形计算面积，则有：，故A正确；
B、无法分割得到，故B错误；
C、把图形分割成两个长方形，边长分别是，宽都是，则有：，故C正确；
D、用整个图形的面积减去一个边长为的长方形，得到另外一个长方形，边长是，即：，故D正确．
故选：B
二、填空题
9． 不正确 还可以再因式分解成
解：∵，
∴上述结果不正确，
理由：还可以再因式分解成．
故答案为：不正确；还可以再因式分解成．
10．
解：当时，
，
∴原多项式含有因式，即含有因式，
同理，原多项式含有因式和，
又∵原式是三次对称式，
∴化简后结果不超过三次，
∴设，
令，，，
∴，
解得．
∴结果为．
故答案为：．
11．①②
解：，
∴；故①正确；
；
∴；故②正确；
，
∴，故③错误；
∴；故④错误；
故答案为：①②．
12．
解：
故答案为：
13．
解：（1）；
（2）；
（3）
故答案为：，，．
14．（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）
解：由题意知，共有 ＝2时， ＝4两种情况：
情况①，当 ＝2时，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）；
情况②，当 ＝4时，x4﹣9y2＝（x2+3y）（x2﹣3y）；
综上所述，整式分解因式的结果：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）
故答案为：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）．
15．
∵多项式含有因式和，
∴设
∵上式为恒等式，
∴当时，，
当时，，
∴联立①②解得
∴．
故答案为：．
16．11
解：由题意得，，
∴，
∴，
∵，且，
∴的最大值为11，
故答案为：11．
三、解答题
17．（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
18．解：小亮的解法是不正确．
正确的解法：
．
19．解：∵，小明看错了b，
∴，
∵，小张看错了a，
∴，
∴，．
20．解：
；
当时，
，
感受是先分解因式后再计算较为简便．
21．（1）解：根据题意，上述分解因式的方法是：提公因式法
共应用了2次提公因式
（2）原式＝
＝
＝
……
＝
需要应用上述方法2024次．
22．解：设另一个因式为x＋p，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40．
23．解：（1）∵，，
∴；
（2）∵设偶数为（为整数），
∴，
，
，
．
∵为整数，
∴是的倍数，
∴ 比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除；
（3）∵根据整数，可知比大的数为，
∴，
，
，
，
，
，
．
∵为整数，
∴被除的余数为，
∴比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为．
24．（1）解：
；
（2）解：
．
25．（1）解：已知，
∵，
∴，
∴当时，多项式有最小值，最值为；
故答案为：；小；；
（2）解：设为米时花坛面积最大，
∴，，
∴长方形花坛面积为：，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
即当米时花坛面积最大，最大面积是平方米．
26．解：（1）如图，
．
故答案为：．
（2）如图，
，
．
（3）①
．
故答案为：．
②∵，
∴，
∴，
∵、均为整数，
∴或或或，
∴或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去），
∴当时，，
当时，．
综上所述，或3．
故答案为：7或3．
27．解：（1）根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式，
（2）如图3中的几何体的体积为；
图4的几何体体积为；
根据它们的体积关系得到关于的等式为：；
（3）根据（2）中结论可得．