七年级数学下册试题 第7章《幂的运算》章节检测卷--苏科版（含答案）

第7章《幂的运算》章节检测卷
一、选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（ ）（结果用科学记数法表示）
A． B． C． D．
2．若，，则等于（ ）
A．7 B．10 C．25 D．32
3．已知，，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．若，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则，的大小关系是( )
A． B． C． D．无法确定
7．如图，一质点P从距原点8个单位长度的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点处跳到的中点处，第三次从点处跳到的中点处，如此不断跳动下去，则第2023次跳动后，该质点到原点O的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．阅读材料，回答下列小题．
某种微生物的数量随时间呈指数增长，经过t小时培养后数量为，其中为微生物的初始数量，为每小时微生物数量的增长倍数（）．
例：当时，经过4小时后微生物的数量为．
如图，该微生物培养小时后的数量是初始数量的3倍；培养小时后的数量是初始数量的5倍．那么培养小时后，微生物的数量是初始数量的（ ）倍．

A．15 B．30 C．45 D．75
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．计算： ．（结果用幂的形式表示）
10．某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作25秒可执行的运算次数用科学记数法表示为 次．
11．定义新运算：，则的运算结果是 ．
12．计算： ；若有意义，则的值应满足的条件是 ．
13．填空：
（）；
（）；
（）；
（）．
括号内依次填入 、 、 、 ．
14．一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第1个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n（且n为整数）个月他们募集到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为 （参考数据：，，）．
15．若，则 ．
16．如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ．
三、解答题（11小题，共68分）
17．计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
18．一台电子计算机每秒可做次运算，它工作可做多少次运算？
19．已知与为任意正整数，请分别计算下列整式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．（1）已知，．
①求的值．
②计算的结果．
（2）若，求的值．
21．在幂的运算中规定：若（且，、均是正整数），则，利用上面结论解答下列问题：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
22．为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即．
仿照上面的计算的值．
23．在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务：
趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值．
闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得．
24．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则．
(1)若，则：① ； ② 当 ；
(2)若，化简：．
25．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，计算______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象，，小明给出了如下证明：
设，则，即，
∴，即，
∴．
请你尝试用这种方法证明下面这个等式：．
26．代数推理是强大的抽象思维工具，下面让我们利用这一工具，根据除法的意义推导同底数幂的除法法则．
【观察、思考、发现】
因为除法是乘法的逆运算，计算（m、n为正整数，且，）实际上是要求一个式子“？”，使．
【尝试推导】
（1）假设这个式子“？”是（为正整数，待定），
即应有，即_____，
所以__________，得_____．
因此，要求的式子“？”应是_____．
由同底数幂的乘法法则，可知（ ）_____．
【得出结论】
（2）______（m、n为正整数，且，）
【语言叙述】
（3）用语言概括（2）的结论：同底数幂相除，_____．
27．阅读与思考
请阅读以下材料并解答相应的问题．
小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法：
方法一：化同指数幂比较底数大小．
例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”）
解：，，且，
，
．
方法二：化同底数幂比较指数大小．
例如：比较，，的大小．
解：，，，且，
．
(1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项）
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)比较与的大小．
已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
解：．
故选：B．
2．B
解：∵，，
∴；
故选B．
3．D
解：∵， ，
∴，，
∴，
故选：D．
4．D
解：∵，
∴，
∴．
故选D．
5．C
解：，
故选：C．
6．B
解：∵，，
又∵，
∴，
即
故选：B．
7．C
解：第一次跳动到OM的中点处，得，
第二次从跳到的中点处，得，
第三次从点跳到的中点处，得，
则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为，
∴第2023次跳动后，该质点到原点O的距离为，
∵，
∴．
故选C．
8．C
解：根据题意得： ，，
∴，，
∴，
∴微生物的数量是初始数量的45倍，
故选：C．
二、填空题
9．
根据同底数幂的乘法法则，．
故答案为：．
10．
解：芯片每秒执行100亿次运算，即次运算，
∴工作25秒，总运算次数为，
∴，
故答案为：．
11．
解：∵ ，
∴ ．
故答案为：．
12．
解：，
若有意义，则的值应满足的条件是
∴，
故答案为：；．
13．
解：（）；
（）；
（）；
（）；
故答案为：，，，．
14．14
解：第1个月募集资金为1万元，每月增长，则第个月募集资金为万元．
由题意得．
参考数据：，，．
计算得，
，
故，．
故答案为：14．
15．81675
解：∵
，
则
∴
，
故答案为：81675．
16．4
解：由题意，设，
，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵．
，
，
故答案为：4．
三、解答题
17．（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
18．解：．
19．（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
20．解：（1）①，
，
，
即；
②，
，
，即，
；
（2），
．
21．（1）解：，，
，
，
解得：，
的值是；
（2）解：，，
，
，
解得：，
的值是．
22．解：设，
则，
，
，
，
即．
23．解：关卡一：
，，，
，
．
关卡二：
，，
，
．
闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可）
24．（1）解：①由于，
而，
所以；
故答案为：125；
②，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2）解：，
，，，，……，，
．
25．（1）解：，
，
故答案为：1；
（2）证明：设，，，
，，，
，
，
，
，即．
26．（1）解：根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可得；
已知，即；
∵同底数幂相等时，指数相等（），
∴；
解得；
因此，要求的式子“？”应是；
由同底数幂的乘法法则，可知
故依次填：；；；；；；；
（2）解：由（1）的推导可知，除法是乘法的逆运算，当时，（、为正整数，且，）．
故答案为：；
（3）解：（2）中（、为正整数，且，），用语言概括为“同底数幂相除，底数不变，指数相减”．
故答案为：底数不变，指数相减．
27．（1）解：上述求解过程中，逆用幂的乘方运算性质，
故选：C．
（2）解：，，且，
．
，，之间存在等量关系．
证明：，，，，
，
，
，
．