浙江省2026年初中学业水平考试数学模拟卷 含解析

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浙江省2026年初中学业水平考试数学模拟卷
满分120分 时间120分钟
一、选择题（共30分）
1．-7的倒数是（ ）
A．+7 B． C． D．
2．如图，由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．中国某款超高速飞行器的飞行速度已接近马赫（约每小时千米）．“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，直线和被所截，，则DF的长为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．14
5．计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
6．“阅读与人文滋养内心”，某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的2倍少10页，若小明、小颖平均每天分别阅读页、页，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ 　）
A． B． C． D．
9．某兴趣小组开展了一次探究活动，过程如下：设，现把长度相等的小棒依次摆放在射线AB、AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上，从点A1开始，依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．若只能摆放5根小棒，则的范围是（ ）．
A．15°＜θ＜18° B．15°＜θ≤18°
C．15°≤θ＜18° D．15°≤θ≤18°
10．如图1，在矩形中，点在边上，连接．点、都以的速度同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿线段运动到点时停止．连接．设点的运动时间为秒，的面积为，两点运动的过程中，与的函数关系如图2所示，则下列结论中正确的个数是（ ）
①；②；③当时，；
④当在线段上，且平分时，．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共18分）
11．计算：_________．
12．小明参加物理实验考试，若每人只能从A、B、C、D、E五个实验中随机抽取一个，则抽中C实验的概率是___________．
13．中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为_____．
14．如图，一辆小车沿着坡度的斜坡向上行驶10，则小车上升的高度是__________．
15．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则____________．
16．如图，在正方形中，对角线，相交于点，是线段上的动点（点F不与点O，D重合）连接，过点F作分别交，于点H，G，连接交于点M，作交于点E，交于点N．有下列结论：①当时，；②；③时，；④．其中正确的是________（填序号）．
三、解答题（共72分）
17．（6分）先化简，再求值：，其中．
18．（6分）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的各个顶点都在格点上．

(1)在边上作一点，使得的面积是，并求出的值；
(2)作出边上的高，并求出高的长．
（说明：只能使用没有刻度尺的直尺进行作图，并保留画图痕迹）
19．（8分）某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息：
说题成绩在组的人数统计表
成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89
人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1
根据以上信息解决下列问题：
(1)所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分．
(2)请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数．
20．（8分）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接．

(1)求证：四边形为矩形；
(2)若菱形的边长为4，，求的长．
21．（10分）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共辆调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜吨和肉制品吨；一辆中型车可运蔬菜吨和肉制品吨．
（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；
（2）若一辆大型车的运费是元，一辆中型车的运费为元，试说明中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？
22．（10分）如图，中，，以为直径的交边于点D，过点D作的切线交于点E．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的值．
23．（12分）已知抛物线（b、c为常数）经过点．
(1)若抛物线经过点．
①求抛物线的函数表达式；
②若抛物线上的点在直线的上方，当时，求m的取值范围．
(2)若抛物线与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，求证：．
24．（12分）如图，在四边形中，，，，，与边交于点，且满足．
(1)填空：_____，_____．
(2)如图2，等腰直角三角形的顶点与点重合，再绕点逆时针旋转，当与交于点，与交于点时，求证：①；②
(3)如图3，在（2）的条件下，，设的初始位置为，共线，然后绕点以每秒的速度旋转，当点落在边上时，停止旋转，进而立即沿着边所在直线从点向点方向平移，且平移的速度为每秒个单位长度，当点与点重合时，停止移动．
①在平移的过程中，若为的中点，连接，，求的最小值；
②设的运动时间为，直接写出当点落在四边形边上时的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 10
答案 D D A D C B B
1．D
【分析】根据倒数的概念求解即可．
【详解】解：-7的倒数是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了倒数的概念，解题的关键是掌握相乘得1的两个数互为倒数．
2．D
【分析】看几个小正方体组成的立体图形的俯视图，俯视图是要求从上面向下看得到的图形是俯视图，从上面看到两行小正方形，第一行一个，排在最右边，第二行看到三个小正方形最右边小正方形与前行对齐即可．
【详解】解：从上面看易得：有两行小正方形，第二行边有3个正方形．第一行有1个正方形排在第二行前边，而且与最右侧的小正方形对齐．
故选择：D．
【点睛】本题考查组合立体图形的三视图问题，掌握主视图，左视图，即俯视图的区别与联系，它们要长对正，高平齐，宽相等，注意三视图的位置．
3．A
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，按照科学记数法表示时关键要正确确定及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．按照规则表示即可得到答案．
【详解】解：，
故选：A．
4．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可；
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴.
将代入，得.
解得 ，
故．
故选：D．
5．C
【分析】根据方差、平均数、标准差的定义逐一判断每个结论的正误即可．
【详解】解：①原式中共有5个数据项，分母为5，因此一共有5个数据，①正确；
②方差公式中每个数据减去的是平均数，原式中每个项均为，因此平均数为10，②正确；
③已知方差，标准差为方差的算术平方根，因此标准差为，③正确；
④由原方差得原平方和为，添加数据10后，新数据总和为，新数据个数为6，因此新平均数为，新平方和为，新方差为，因此方差改变，④错误．
综上，正确的结论共3个，因此选C．
6．B
【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意列出方程组是解题的关键；根据小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，得方程；根据小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的2倍少10页，得方程，即可得方程组．
【详解】解：由题意得：；
故选：B．
7．B
【分析】由等边三角形的性质得，，，再结合角的转换可证明，得．结合，推出，再由内角和得，最终由三角形内角和即可求解．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵
∴
，
∴
．
【点睛】本题以共顶点等边三角形为模型，通过“”全等实现角度转化，将已知角与目标角建立关联，再结合三角形内角和定理完成求解，凸显了全等变换在几何角度计算中的核心作用．
8．B
【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解．
【详解】解：设点的横坐标为，
则、间的横坐标的差为，、间的横坐标的差为，
放大到原来的倍得到，
，
解得：
故选：B
9．C
【分析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，用θ表示出其它角度，再题目条件，列出不等式，即可求出最后的范围．
【详解】解：∵A1A2=AA1，
∴为等腰三角形，
再根据三角形外交的性质，
得，
又∵小棒长度都相等，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
同理可得到，
，
，
又∵只能摆放五根小棒，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题只要考察了一元一次不等式，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是找到等量关系，列出相应的不等式，求出最后答案．
10．B
【分析】本题考查动点在矩形中运动，其过程轨迹和函数图象相结合．观察点P的移动轨迹，确定出图1和图2的对应点：，，，，观察点Q的移动轨迹，确定出图1和图2的对应点：，，，依次求出，，长度都为；，解得，即，也是，然后作出，点，使得平分，利用的面积公式，解得，，，据此计算逐一判断即可．
【详解】解：图1中，当点P移到点E时，对应图2中的点，同时点Q也到点，
即线段和用时5秒，而点P移动速度是，则，
图1中，当点P从点E到时，对应图2中从点到点，用时，
同时点Q从到C，点对应点，用时5秒，故，
∴，，
解得，
当P移到时，平分，
则，
在中，，，得，
∴，
∴，①说法错误；
∴，②说法正确；
又，
在中，，，得，
∴，
在中，，
，，
∴，
∴，
∴当点P在线段上，且平分时，t的值等于秒，④说法正确；
当时，如图，
，，
∵矩形，
∴，
∴，
∴此时与不可能相似，③说法错误；
故选：B．
11．
【详解】解：
．
12．
【分析】本题考查了求概率．
总共有五个等可能的实验，抽中C的概率为五分之一．
【详解】解：从A、B、C、D、E五个实验中随机抽取一个，每个实验被抽中的可能性相同．
总可能结果数为5，抽中C的结果数为1，
则抽中C实验的概率是．
故答案为：．
13．228
【分析】本题考查数学常识，解题的关键是掌握数学的历史文化．据此解答即可．
【详解】解：根据“天元式”规定的意义，图2表示的多项式是：，
∴一次项系数为228，
故答案为：228．
14．
【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设此时该小车离水平面的垂直高度为xm，则水平前进了xm．
根据勾股定理可得：x2+（x）2=102．
解得x=5．
则小车上升的高度是5m．
故答案为5m．
【点睛】考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度．本题也可利用坡度求出坡角的度数，再利用三角函数求解．
15．2-180°
【分析】先根据作图可知DE和FG分别垂直平分AB和AC，再利用线段的垂直平分线的性质得到∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，即可得到∠MAN的度数．
【详解】解：由作图可知，DE和FG分别垂直平分AB和AC，
∴MB＝MA，NA＝NC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC，
在△ABC中，，
∴∠B＋∠C＝180° ∠BAC＝180° ，
即∠MAB＋∠NAC＝180° ，
则∠MAN＝∠BAC （∠MAB＋∠NAC）＝ （180° ）＝2-180°．
故答案是：2-180°．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
16．①②③
【分析】①正确．利用面积法证明即可；
②正确．如图3中，将绕点顺时针旋转得到，连接．则，，，，证明，利用勾股定理，即可解决问题；
③正确．如图2中，过点作于，于，连接．想办法证明，再利用相似三角形的性质，解决问题即可；
④错误．假设成立，推出，显然不符合条件．
【详解】解：如图1中，过点作于．
，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，故①正确，
过点F作，如图所示：
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
在正方形中，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图3中，将绕点顺时针旋转得到，连接．则，，，，
∵，
，
∵，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
∵，，O为的中点，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
，，
，
，
，故②正确，
如图2中，过点作于，于，连接．
，，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，即，
，故③正确，
假设成立，
，
，
，显然这个条件不成立，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．化简结果为：，求值结果为：；
【分析】先通分，再将除法转化成乘法约分到最简代入求解即可得到答案；
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
18．(1)画图见解析，；
(2)见解析，．
【分析】（）根据网格特征作即可；
（）根据网格特征作即可，
本题考查了无刻度尺的直尺作图—作垂线，熟练掌握无刻度尺的直尺作图的方法是解题的关键．
【详解】（1）如图，

由网格的特征可知：，
∴，
∴，
∴面积为，
∴即为所求；
（2）如图，根据网格作垂线的方法即可，

∴即为所求，
由网格的特征可知：，
∴，
∴．
19．(1)83
(2)720人
【分析】本题考查了统计表和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图．
（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）利用样本估计总体的方法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，中位数为第25，26个数据的平均数，
由条形统计图可得第25，26个数据在组，
而，
∴第25，26个数据为，，
∴中位数为，
故答案为：；
（2）解：（人），
答：全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数为720人．
20．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）利用菱形的性质得到，先判断四边形为平行四边形，再判断矩形；
（2）分别求出和，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：四边形为矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等，解题关键是牢记它们的概念与性质．
21．（1）符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；（2）方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元．
【分析】设安排辆大型车，则安排辆中型车，根据辆车调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各运输方案；
根据总运费＝单辆车所需费用租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设安排辆大型车，则安排辆中型车，
依题意，得：
解得：．
为整数，
．
符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车．
方案1所需费用为：（元），
方案2所需费用为：（元），
方案3所需费用为：（元）．
，
方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元．
答：（1）符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；（2）方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，则，再根据切线的性质得到，所以；
（2）过O点作于H点，连接，如图，根据垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得到，再证明，利用相似比可计算出，则利用勾股定理可计算出，利用正切的定义得到，然后
【详解】（1）解：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过O点作于H点，连接，如图，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质和解直角三角形．
23．(1)①；②
(2)见解析
【分析】（1）①用待定系数法，即可求解；②根据二次函数和不等式的关系，即可求解；
（2）根据抛物线经过点，可得，则，分别求出点C、D的坐标，即可求证．
【详解】（1）解：①抛物线经过点，点，
，解得，
；
② ，
顶点坐标，开口向下，点在抛物线上，
，
当时，；，即时，；
点在直线的上方，
当时，m的取值范围是：；
（2）证明：抛物线经过点，
，则，
当时，，即，
当时，，解得，，
，
，
．
24．(1)；
(2)①详见解析；②详见解析
(3)①；②7或
【分析】（1）先求得，是等腰直角三角形，求得，再利用直角三角形的性质可求得，再解直角三角形即可求解；
（2）①利用三角形内角和定理求得，再证明即可；
②将绕点逆时针旋转得到，连接，，证明，推出，，再证明，得到，在中，利用勾股定理求解即可；
（3）①如图，过点作于点，连接并延长与交于点，过点作直线的垂线，垂足为，证明四边形是矩形，求得，即点在固定直线上运动，作点关于的对称点，连接与交于点，则当点与点重合时，满足最小，据此利用勾股定理求解即可；
②分当从初始位置旋转到点落在上和当平移到点落在上时，两种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解；连接，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；；
（2）证明：①∵，
，
∴，
∵，
∴；
②将绕点逆时针旋转得到，连接，，
则，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴；
（3）解：①如图，过点作于点，
∴，为的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
连接并延长与交于点，过点作直线的垂线，垂足为，
∵，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即点在固定直线上运动，作点关于的对称点，连接与交于点，
则当点与点重合时，满足最小，
∵，，
∴，
∴的最小值为；
②当从初始位置旋转到点落在上时，如图，作于点，
在等腰直角三角形中，，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴在同一直线上，
∴，
则旋转所用时间为；
当平移到点落在上时，如图，
根据题意得，
∴，
在上取点，连接，使得，
则，
设，则，，
∵，
∴，
解得，
∴点的平移距离为，
∴平移时间为，
∴平移到点落在边上时，运动的总时间为，
综上，的值为7或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．