广西壮族自治区河池市2026届高三毕业班3月教学质量联合测试数学试题（含答案）

高三数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂 黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将 答案写在答题卡上.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. ( )
A. 1 B. -1 C. i D. -i
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 满足 ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
4. 已知某圆锥的轴截面是顶角为 的等腰三角形,侧面展开图是圆心角为 的扇形,则 ( )
A. B. C. D.
5. 在一次校园活动的组织过程中, 由甲、乙等 5 名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目, 每名同学只负责一个服务项目, 且每个服务项目至少有一名同学负责. 若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有( )
A. 18 种 B. 36 种 C. 48 种 D. 54 种
6. 如图,函数 的图象与 轴交于点 ,若 的最小正周期为 ,则 ( )
A. B. C. D. -1
7. 已知椭圆 以 和 为焦点,且与直线 相切,则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 若关于 的方程 在 上有解,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 下列结论正确的是( )
A. 样本数据12,13,15,18,19,21,23,24,26,27的第 70 百分位数为 23
B. 若一组样本数据 的方差 ,则这组样本数据的总和为 60
C. 若随机变量 服从二项分布 ，则
D. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
10. 已知数列 满足 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 是递增数列
B. 当 时,
C.
D.
11. 如图,平面 平面 为线段 的中点, ,直线 与平面 所成角的大小为 为平面 内的动点,则下列说法正确的是 ( )
A. 球心为 、半径为 的球面被平面 截得的圆周长为
B. 若点 到点 和点 的距离相等,则点 的轨迹是抛物线
C. 若点 到直线 的距离为 ，则 的最大值为
D. 满足 的点 的轨迹是椭圆
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 的展开式中 的系数为_____.
13. _____.
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,其一条渐近线的斜率为 ，过点 且斜率存在的直线 与 的右支交于 ， 两点. 若 ， 分别为 和 的内心，且四边形 的面积为 ，则直线 的斜率的绝对值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 如图，在 中， 为 的中点，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
16. 如图,在四棱锥 中, ，平面 平面 是棱 的中点.
(1) 求证: 平面 ;
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 已知函数 .
(1)讨论 的极值；
(2)当 时，证明: .
18. 已知抛物线 ，过 上一动点 作斜率为 2 的直线 与 交于另一点 ,当点 与原点 重合时, .
(1) 求 .
(2)当 不经过点 时,直线 与 交于另一点 ,直线 与 交于另一点 .
(i) 证明: ;
(ii) 试判断直线 与 是否交于定点,若是,请求出定点的坐标,否则,请说明理由.
19. 每届高考结束后, 某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享.2025 届高三年级班号依次为 0,1,2,...,27 , 高三 0 班的优秀学生代表为 2 名男生和 2 名女生, 其余各班的优秀学生代表均为 1 名男生和 1 名女生. 第一场分享会的 4 名学生嘉宾由从高三 0 班的优秀学生代表中选出的 2 名和高三 1 班的 2 名优秀学生代表共同组成, 第二场分享会的 4 名学生嘉宾由从上一场的 4 名嘉宾中选出的 2 名和高三 2 班的 2 名优秀学生代表共同组成,..., 按照这样的方式, 依次进行到第二十七场分享会.
(1)求第一场分享会的学生嘉宾中恰有 2 名男生的概率;
(2)求第二场分享会的学生嘉宾中恰有 2 名男生的概率;
(3)记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为 ，求 的分布列和数学期望.
1. C
因为 ,所以 .
2. A
由题意, ,
又 ,
所以 ,所以 选项正确.
3. B
因为 ,
所以 ,则 ,
因为 ,所以 ,即 与 的夹角为 .
4. D
根据等腰三角形的性质,可得 的关系,根据扇形的性质,可得 的关系, 即可得答案.
设圆锥的母线长为 ,底面半径为 ,
由题意得 ,侧面展开图为扇形,对应的弧长为 ,
所以 .
5. B
将甲、乙视为 1 个人,即相当于将 4 名同学安排到 3 个项目的方案,有 种.
6. C
由函数周期可求得 ,又图象过点 ,可得 或 ,再根据函数图象的单调性,可得 ,进而可求得
因为函数 的最小正周期为 ,即 ,所以 ,
所以 ,又函数 的图象与 轴交于点 ,
所以 ,即 ,
所以 或 ,
当 时, ,
令 ,
解不等式得 ,
所以函数 在区间 上单调递增,
而当 时， ，
又 ,所以函数 在 附近单调递增,
与图象不符,所以 ,
当 时, ,
令 ,
解不等式得 ,
所以函数 在区间 上单调递减,
而当 时, ,
又 ,所以函数 在 附近单调递减,
与图象相符,所以 ,所以 ,
所以 ,故 正确.
7. A
根据椭圆焦点确定 ,并写出含 的椭圆标准方程,将直线 代入后利用相切条件求出 ,最后计算离心率即可.
由题意得 椭圆焦点为 ,因此焦点在 轴上, ,
由 ,得 ,椭圆标准方程为 .
将直线 代入椭圆方程,整理得 , 因为椭圆与直线相切,因此一元二次方程判别式 , 整理得 ,解得 舍去,因 ,因此 , 离心率 .
8. D
由 ,得 ,即 , 即 .
设 ,则 ,因为 ,所以 在 上单调递增,所以 ,即 .
设 ,则 ,
当 时, ,则 在 上单调递减,
当 时, ,则 在 上单调递增,
所以 ,所以 .
9. BCD
选项 A，样本共 个数据， ，7 为整数，第 70 百分位数为第 7 项和第 8 项数据的平均值,即 , A 错误
选项 B,方差 ,因为 ,故样本均值 ,样本总和 , B 正确
选项 ,若 ,则 ,根据期望性质 , 得 正确
选项 D,正态分布 的对称轴为 ,由对称性得
,则 , D 正确
10. ABD
利用作差法可判断数列的单调性, 判断 A 的真假; 利用数列的单调性, 结合累加法和累乘法可判断 BC 的真假; 利用裂项求和法可判断 D 的真假.
对于 ,易知 ,由 ,得 ,所以 ,所以 是递增数列, 故 A 正确;
对于 ,由对 的分析,知 ,
所以 (仅当 时取等号),
由 ,得 ,
所以当 时,
所以当 时, ,
因此当 时, ,故 正确;
对于 ,由 ,得 ,
由对 的分析知,当 时, ,所以 ,
故当 时, ,
所以 ,故 错误;
对于 ,由 ,得 ,
即 ,
所以 ,故 D 正确.
11. AC
A 利用 可求; 建立坐标系,利用关系式求得点 轨迹即可; 利用已知信息，求点 轨迹，得出椭圆，再转化为椭圆内焦点三角形的顶角最大问题；
对于 ,因为直线 与平面 所成角的大小为 ,所以点 到平面 的距离
球心为 、半径 的球面被平面 截得的图形为圆,圆的半径 , 所以圆的周长为 ,故 A 正确;
对于 ,由于平面 平面 ,所以以 所在直线为 轴,在平面 内过 作 轴 ,平面 内作 轴 ,
建立如图 1 所示的空间直角坐标系,
则 ,
设 ,则 ,即 化简得 ,
故 到点 和点 的距离相等,则点 的轨迹是一条直线,故 错误;
对于 ,
所以 到直线 的距离为 ,
化简可得 ,
所以点 的轨迹是平面 内的椭圆 上一点,
如图 2,当 在短轴的端点时, 最大,
由于 ，故 是正三角形，因此 ，故 C 正确；
图1
图2
对于 ,
若 ，
则 ，
化简得 且 ,
故满足 的点 的轨迹是双曲线的一部分, 错误.
12. -40
二项式展开式的通项公式为: ,
令 可得: 的系数为: .
故答案为-40 .
点睛: 在 中, 是该项的二项式系数,与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指 ,而后者是字母外的部分,前者只与 和 有关,恒为正,后者还与 有关,可正可负.
13.
,
又 ,
所以 ,
所以 .
14. 2
先利用双曲线定义求出点 的横坐标,然后设出 的倾斜角,表示 长度,从而解出倾斜角,得到 的斜率.
由题知 ,所以 ,即 .
设点 在 上的投影分别为 ,如下图:
则有 ,
而 ,所以解得 ,即点 横坐标为 ,
所以,点 横坐标为 . 同理可得点 横坐标为 ,则 .
所以四边形 的面积为
,得 .
设直线 的倾斜角为 ,则 ,
所以
,解得 ,则 ,
所以 ,即直线 的斜率的绝对值为 2 .
15. (1)
(2)
(1) 利用三角形的面积公式可求 .
(2)在 和 中，分别利用余弦定理，即可求 ，进而可得 .
(1) 因为 为 的中点,所以 ,
则 ,
即 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,即 .
(2)不妨令 ，则 ， ，设 ，则 .
在 中,由余弦定理得 ,
即 . ①
在 中，由余弦定理得 ，即
. ②
①②联立，解得 ， ，
所以 .
16.
(1)通过面面垂直得到线面垂直, 再利用线面垂直的判定定理即可;
(2)通过建立空间直角坐标系求出平面 与平面 的法向量，再代入公式即可.
(1)如图，取 的中点 ，因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,所以 ,
又 平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)
因为 为 的中点， ，所以 .
过点 作 交 于点 ,由 平面 平面 ,可得 ,则 .
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 .
设平面 的法向量为 ,则
令 ,得 . 设平面 的法向量为 ,
则
令 ,得 .
设平面 与平面 的夹角为 ,则 ,
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17.
(1)确定函数定义域后求导,根据参数 的不同取值范围分类讨论导数的符号变化,进而判断 的极值存在情况与具体极值;
(2)先对要证明的不等式做等价化简，将其转化为证明 ，再分区间讨论、构造函数求最值,结合给定的 的范围完成证明.
(1) 函数 的定义域为 ,求导得: ,
当 时, 对任意 恒成立,故 在 上单调递减,无极值;
当 时,令 ,得 ,
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减, 故当 时 取得极大值 ,无极小值. 综上,当 时, 无极值; 当 时, 的极大值为 ,无极小值.
(2)因为 ，
所以原不等式等价于 ，因 ，两边除以 得:只需证 .
当 时,不等式显然成立;
当 时, ,只需证 ,因为 ,故只需证 .
令 ,求导得: ,
令 在 上单调递减,且 ,
故存在唯一 ,使得 ,即 .
当 时, 单调递增; 当 时, , 单调递减.
故当 时， 取得极大值也是最大值 .
代入 得: ,令 ,
则 恒成立,则 在 上单调递减, 故 ,即 成立.
综上,原不等式 得证.
18.
(1) 联立直线方程求出点 ,再由 计算可得 ;
(2)(i)将直线 与抛物线联立，可知 ，再将直线 的方程与抛物线联立,同理联立直线 ,整理可得 ,即 ;
(ii) 求出直线 的方程为 ,可知直线 与 交于定点
(1)当点 与原点 重合时,直线 过原点且斜率为 2，其方程为 ， 联立 得 ,解得 或 ,所以 .
所以 ,解得 .
(2)由(1)知 ，设 ，直线 .
联立 与 ,得 ,
所以 且 .
(i) 设 ,如下图:
直线 过点 和 ,设直线 的方程为 ,
联立 ,得 ,则 ,
整理可得 . ①
同理,对于直线 ,可得 . ②
因为 ,所以 ,③
由①②作商，结合③，得 ，即 .
所以 ,
所以 .
(ii) 设 的中点为 的中点为 ,因为 ,所以直线 ,
又因为 ,所以 与 的交点即直线 与 的交点.
由②③，得 ，所以 .
直线 的斜率 ,
直线 的方程为 .
在该方程中,令 ,可得 ,所以直线 与 交于定点 , 故直线 与 交于定点 .
19.
(2)
(3)
1 2 3
(1)借助概率公式计算即可得；
(2)借助全概率公式计算即可得；
(3)借助全概率公式计算可得 ，则可利用等比数列定义及其性质求出 的通项公式,再得到随机变量所有可能取值及其对应概率即可得分布列,再利用数学期望公式计算即可得期望.
(1)设第 场分享会的学生嘉宾中有 1 名男生为事件 , 有 2 名男生为事件 ,有 3 名男生为事件 ,则 ;
(2)
(3)当 时，
由 ,得 即有 ,又 ,
所以 ,
所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,
则 ,即 ,
结合对称性可知, 每次分享会的学生嘉宾中有 1 名男生的概率与有 3 名男生的概率相同,
故 ,又 ,
所以 ,
第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数 的所有可能取值为1,2,3,
故其分布列为:
1 2 3
则 .