广西钦州市第四中学2026年春季学期高一年级第一周考试数学试卷（含答案）

广西钦州市第四中学 2026 年春季学期高一年级第一周考试 数学试卷
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2. 四答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 四答非选择题时, 将答案 写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题(共8小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 假定现在时间是 12 时整,再过 小时,分针与时针第一次重合,则 ( )
A. B. C. D.
2. 探索下图所呈现的规律，判断 2015 至 2017 箭头的方向是 ( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知函数 的图象关于直线 对称,且对 都有 当 时， . 则 ( )
A. -1 B. 1 C. 2 D. -2
4. 已知定义在 上的函数 满足 ,且当 时, ,若直线 与曲线 恰有三个公共点,那么实数 的取值的集合为( )
A. B.
C. D.
5. 挂钟的时针和分针从凌晨 0 时起到下午 14 点所在的 14 小时内, 分针与时针会重合 ( ) 次 (注意: 0 时开始的那次重合不计算在内)
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
6. 已知 是定义在 上周期为 2 的函数,且 的图象关于 对称. 当 时, ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，则 的值为( )
A. 3 B. 1 C. -1 D. -3
8. 已知函数 满足 ,且 ,则 ( )
A. -1010 B. -1010.5 C. 0 D. 2024
二、多选题(共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 若 的定义域为 是奇函数，且 是偶函数，则必有( )
A. B. C. D.
10. 已知 是定义在 上的奇函数， 为偶函数， ，则()
A. 的图象关于直线 对称 B. 是周期为 4 的函数
C. D. 的图象关于点 对称
11. 设函数 满足 ,且 ,则下列结论正确的是( )
A.
B. 的图象关于 中心对称
C. 是函数 的图象的一条对称轴
D.
第 II 卷 (非选择题)
三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知定义在 上的偶函数 满足 ,则 的值为_____.
13. 已知奇函数 的定义域为 ,且函数 满足 ,当 时, ,则 _____.
14. 已知函数 的定义域为 ,且 ,若 的图像关于直线 对称，则以下说法正确的有_____.
① ②
③ ④
四、解答题(共 5 小题，共 77 分)
15. 水车上装有 16 个盛水槽, 每个盛水槽最多盛水 10 升, 假设水车 5 分钟转一圈, 计算 1 小时内最多盛水多少升
16. 函数 满足 ,那么,它是以 6 为周期的函数吗
17. 古希腊数学家毕达哥拉斯的故事: 一次毕达哥拉斯处罚学生, 要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(分别标记为 ),一直到指出第 1999 个数的柱子的标号是哪一个, 才能够停止. 你能帮助这名学生尽快结束处罚吗
252423222120
...
18. 讨论函数 ,画出它的图象,并观察其性质.
19. 已知函数 是定义域为 的奇函数.
(1)若 时， ，求当 时， 的解析式；
( 2 )若函数 在 上单调递增，判断函数 在 上单调递增还是单调递减，并证明;
(3)若函数 的图象还关于直线 对称，求证:函数 是一个周期函数.
1. A
由时针 1 小时转过 ,分针每分钟转过 求解.
解: 时针 1 小时转过 小时转过 ;
分针每分钟转过 小时转过 ,
所以 ,
解得 .
故选: A
2. D
根据探索图所呈现的规律, 找出探索图的周期, 进而即得.
观察题图可知每增加 4 个数字就重复相同的位置,而 ,
则 2015 至 2017 箭头的方向与 3 至 5 箭头的方向是相同的.
故选: D.
3. D
由已知可得 由此证明函数的周期性,确定其周期,再利用周期性的性质确定 .
函数 的图象关于直线 对称,
函数 的图象关于直线 对称,
,
取 可得 ,
又对 有 ,
取 可得 ,
所以 ,
,
,即 ,
的周期
. 故选: D.
4. A
根据函数的奇偶性与周期性作出函数图像, 数形结合解决交点问题.
函数 满足 ,所以函数为偶函数且周期为 2, 当 时， ，则函数图像如图所示:
若直线 斜率为 1,在 轴上截距为 ,当直线过点 时, ,
时,当直线 与曲线 相切,设切点坐标为 ,
由 ,切点坐标为 ,此时 ,
由图像可知, 时,直线 与曲线 恰有三个公共点,
由函数周期为 2,实数 的取值的集合为
故选: A
5. B
根据分针与时针的特点求解即可.
从凌晨 0 时起到下午 14 点, 共 14 个小时, 分针转了 14 圈, 时针转了 1 圈再多 2 个小时,
根据题目要求, 0 时开始的那次重合不计算在内,
因此从 1 时开始, 1 时到 2 时之间重合一次, 2 时到 3 时之间重合一次...
10 时到 11 时之间重合一次, 11 时到 13 时之间重合一次 (12 时), 13 时到 14 时之间重合一次.
每个小时分针与时针会重合 1 次,
所以一共会重合 12 次.
故选: B.
6. D
利用图象关于 对称,得到 ,再利用周期为 2 得到 ,故 .
因为函数 的图象关于 对称,所以 ; 令 ,得到
又因为 是定义在 上周期为 2 的函数,
所以 ,所以 .
故选: D.
7. D
由 变形可知原函数是周期 的周期函数,利用周期化简结合函数已知的解析式即可求解.
,
,且 ,
,且 ,
又可得 ,
是周期 的周期函数,
,
,
故选: D
8. B
根据题意,求出 是 的一个周期,利用周期性求解答案.
,
,所以 是 的一个周期,
又 ,
所以 .
故选: B.
9. BCD
根据题意得到 关于 中心对称, 关于 轴对称,点 关于 对称的点为 可判断 正确; 通过中心对称和轴对称得到可证明 可判断 正确; 通过 的周期 得到 关于 中心对称可判断 正确.
因为 是奇函数,所以 ,
用 替换 得 ,所以 关于 中心对称,
因为 是偶函数,所以 ,
用 替换 得 ,所以 关于 轴对称,
点 关于 对称的点为 ,所以 ,故 正确; 无法确定 一定正确;
因为 ,所以 , 用 替换 得 ,所以 ,
用 替换 得 ,所以 正确;
因为 的周期 ,由 关于 中心对称得 关于 中心对称,
因为 ,所以 ,故 正确;
故选: BCD.
10. ABC
根据函数的奇偶性、对称性、周期性及周期函数的求和求解即可.
因为 是定义在 上的奇函数,所以 ,且 .
因为 为偶函数,所以 .
选项 A: 由 ,令 ,则 ,
所以函数 的图象关于直线 对称,故 正确.
选项 B: 因为 ,即 ,
所以 ,
所以 是周期为 4 的函数,故 正确.
选项 C: 因为函数 的图象关于直线 对称,所以 .
因为 是周期为 4 的奇函数,所以 .
所以一个周期内的和 .
所以 ,故 正确.
选项 D: 奇函数 的定义域为 ,且 ,因此 的图象关于点 不对称, 故 D 错误.
11. AD
围绕函数 ,依据给定的等式关系,通过对不同变量赋值,来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值的和等性质.
令 ,得到 ,解得 ,故选项 正确;
令 ,得到 ,所以 ,
可得函数 是一个偶函数，故选项 B 错误；
令 ,可得 ,
即 ,
令 ,则 ,可得 是函数 的一个周期,
当 ,可得 ,
即 ①
令 时,可得 ②
由①+②得到 ,
因为 ,所以 ,
代入②得到 ，解得 ，
令 ,得到
即 ,即
又因为 ;
即 ,所以函数 关于点 中心对称;
因为 是函数 的一个周期,所以 也是函数的对称中心,故选项 C 错误;
由前面分析得到 ,所以 ,
所以 ,
因为 是函数 的一个周期且
所以 ,故选项 D 正确.
故选: AD.
12. 0
根据已知条件求出 的周期,结合特殊值法,即可求解.
因为 ,所以 ,即 ,
又 为偶函数,所以 ,所以 ,
所以 ,即 ,
综上, ,即 ,故 是以 4 为周期的周期函数.
由 ,令 ,得 ,即 ,所以 .
由 ,令 ,得 .
所以 .
故答案为: 0 .
13. -1
由 得到函数 对称轴为 ,结合函数 为奇函数,得到函数 的最小正周期为 8,所以 .
因为 ,所以函数 对称轴为 ,
所以 ,又因为函数 为奇函数,所以
所以 ,即函数 的周期为 8
所以 ,
又因为函数 对称轴为 ,所以
所以 ;
故答案为: -1
14. ②③④
利用对称性、奇偶性和周期性的性质,结合 与 之间的关系,逐项判断即可.
因为 ,所以 ;
又因为 ,所以 ;
所以 ,所以④正确；
因为 的图像关于直线 对称,
所以 ,所以 ,
用 替换 可得 ,
所以 ,
所以 的周期为 ,所以 ,所以②正确；
因为 的图像关于直线 对称,
所以 ,所以 ,所以 是偶函数;
因为 ,所以 ;
所以 是偶函数,
所以 ,所以①错误;
因为 ,所以 ,所以 ;
因为 是偶函数,所以 ;
因为 的周期为 ,所以 ;
因为 ,所以 ;
所以 ,所以③正确；
故答案为:②③④.
15. 1920 升
先判断出水车转到的周期, 即可计算出 1 小时内最多盛水量.
因为 1 小时 分钟 分钟,且水车 5 分钟转一圈,所以 1 小时内水车转 12 圈. 又因为水车上装有 16 个盛水槽, 每个盛水槽最多盛水 10 升, 所以每转一圈, 最多盛水 (升,) 所以水车 1 小时内最多盛水 (升).
16. 不是
根据函数周期性的定义可得出结论.
解: 根据题意,函数 满足 ,
但对于 且 ,
故函数 不是以 6 为周期的函数.
17. 第 1999 个数的那根柱子标号为
通过所给的数据找出周期, 根据周期推理即可.
...
易知从“ ”开始数,周期为 12,而 ,
所以标号为 的柱子就是数到第 1999 个数的那根柱子,
故答案为: 第 1999 个数的那根柱子标号为 .
18. 根据高斯函数的定义,可得函数 的图象,观察图象即可得到周期性等.
函数 是指一个数减去不超过这个数的最大整数.
由于 ,所以 ,它的图象如图:
观察图,可以得到,对任意一个实数 ,每增加 1 的整数倍,其函数值保持不变.
这种变化是重复进行的, 所以该函数变化也是一种周期变化,
故函数 为定义域为 且周期为 1 的函数,值域为 ,在区间 上为增函数,
这个函数是物理中很有用的锯齿波函数.
19.
(1) 先求出 的解析式,再利用奇偶性写出即可.
(2)根据函数单调性的定义证明即可.
(3)结合函数的奇偶性、对称性求解即可.
(1)解: 因为函数 是定义域为 的奇函数，
设 ,则 ,
则
即当 时, .
(2)判断:函数 在 上单调递增.
证明: 设 ,则 ,
由函数 在 上单调递增,有 ,
所以 ,
因此,函数 在 上单调递增.
(3)证明:因为函数 是奇函数，
所以对于任意 ,都有 ,
又图象关于直线 对称,可得 ,即 ,
则 ,所以 ,
因此函数 为周期函数,周期为 12 .